Cours de math 1ère TIM
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COURS DE MATHEMATIQUES 1ERE ANNEE BACHELIER TECHNOLOGUE EN IMAGERIE MEDICALE
HAUTE ECOLE DE LA PROVINCE DE LIEGE ANNEE SCOLAIRE 2009-2010 X.RENARD
TABLES DES MATIERES Chapitre 1 : Analyse ........................................................................................................................................................... 5 1.
Notion de fonction ...................................................................................................................................................... 5
2.
Le domaine de définition d'une fonction .................................................................................................................... 5
3.
La parité d'une fonction .............................................................................................................................................. 6
4.
Croissance et décroissance d'une fonction, minimum et maximum ........................................................................... 7
5.
Intersections avec les axes .......................................................................................................................................... 8
6.
Les fonctions du 1er degré ........................................................................................................................................... 8
7.
Les fonctions du second degré : f(x) = y = ax² + bx + c (a0) ................................................................................. 10
8.
Autres fonctions algébriques .................................................................................................................................... 12
9.
Limites et asymptotes ............................................................................................................................................... 13
10.
Notion de borne au domaine de définition d'une fonction ................................................................................... 13
11.
Résumé sur les limites ......................................................................................................................................... 14
12.
Les asymptotes .................................................................................................................................................... 15
13.
Résumé : determination des asymptotes d'une fonction ...................................................................................... 17
14.
Exercices récapitulatifs sur les asymptotes .......................................................................................................... 18
15.
Exercices graphiques ........................................................................................................................................... 19
Chapitre 2 : Trigonométrie ............................................................................................................................................... 21 1.
Mesure des angles en radians .................................................................................................................................... 21
2.
Mesure des angles solides : le stéradian ................................................................................................................... 22
3.
Le cercle trigonométrique ......................................................................................................................................... 23
4.
Notions de sinus et de cosinus .................................................................................................................................. 23
5.
Notions de tangente et de cotangente ........................................................................................................................ 24
6.
Valeurs particulieres des sin, cos, tg et cotg ............................................................................................................. 25
7.
Signes des sin, cos, tg et cotg .................................................................................................................................... 25
8.
Formules des angles associés .................................................................................................................................... 26
9.
Exercices de réduction des angles au premier quadrant ............................................................................................ 27
10.
Principales formules de trigonométrie ................................................................................................................. 27
11.
Utilisation de la calculatrice pour calculer des sin, cos, tg et cotg....................................................................... 28 2
12.
Equations trigonométriques ................................................................................................................................. 29
13.
Les fonctions circulaires : sinus, cosinus, tangente et cotangente ....................................................................... 31
14.
Les fonctions cyclométriques .............................................................................................................................. 35
15.
Les ondes et l'analyse de fourier .......................................................................................................................... 38
Chapitre 3 : Les Dérivées ................................................................................................................................................. 41 1.
Définition .................................................................................................................................................................. 41
2.
Signification concrète de la dérivée de certaines fonctions ...................................................................................... 42
3.
Formules simplifiées de calcul des dérivées ............................................................................................................. 43
4.
Exercices ................................................................................................................................................................... 44
5.
Dérivée première et croissance d‘une fonction ......................................................................................................... 46
6.
Dérivée seconde et concavité d‘une fonction ........................................................................................................... 47
7.
Application des dérivées ........................................................................................................................................... 50
8.
Dérivées partielles .................................................................................................................................................... 53
9.
Différentielle d'une fonction ..................................................................................................................................... 54
Chapitre 4 : Fonctions exponentielles et logarithmes ....................................................................................................... 57 1.
Introduction .............................................................................................................................................................. 57
2.
La fonction exponentielle de base a : f(x) = ax ......................................................................................................... 57
3.
Quelques caractéristiques de la fonction exponentielle f(x) = y = a x. ....................................................................... 58
4.
Exercice de détermination de l'expression analytique de fonctions exponentielles .................................................. 59
5.
Etude mathématique de la fonction exponentielle f(x) = ax ...................................................................................... 59
6.
Cas particulier important : la fonction ex (exponentielle népérienne) ....................................................................... 61
7.
Etude mathématique de la fonction f(x) = ex ............................................................................................................ 61
8.
Dérivées de fonctions exponentielles ........................................................................................................................ 62
9.
Exercices divers sur les fonctions exponentielles ..................................................................................................... 63
10.
La fonction logarithme népérien: f(x) = ln x ....................................................................................................... 66
11.
La fonction logarithme de base a : f(x) = logax ................................................................................................... 69
12.
Relations entre les fonctions logarithmiques et exponentielles ........................................................................... 75
Chapitre 5 : Les vecteurs .................................................................................................................................................. 77 1.
Rappel de la notion de vecteur. ................................................................................................................................. 77
2.
Addition de deux vecteurs de même ligne d'action, même intensité et des sens opposé ......................................... 77
3.
Addition de vecteurs de même origine ..................................................................................................................... 77 3
4.
Addition de vecteurs consécutifs .............................................................................................................................. 77
5.
Soustraction de vecteurs ........................................................................................................................................... 78
6.
Multiplication d'un vecteur par un scalaire ............................................................................................................... 78
7.
Composantes d'un vecteur ........................................................................................................................................ 78
8.
Exercices ................................................................................................................................................................... 78
9.
Le produit scalaire .................................................................................................................................................... 80
10.
Le produit vectoriel ............................................................................................................................................. 81
Correction des exercices ................................................................................................................................................... 83 Bibliographie .................................................................................................................................................................... 89
4
CHAPITRE 1 : ANALYSE 1.
NOTION DE FONCTION
Voici le graphique de l'évolution de la température à chaque heure de la journée à Liège un jour d'été.
Les éléments du 1er ensemble ("ensemble des heures") qui ont un (des) correspondant(s) dans le second ensemble sont appelés les antécédents. Les éléments du second ensemble ("ensemble des températures") qui ont un (des) correspondant(s) dans le premier ensemble sont appelés les images. Par exemple, à l’antécédent "11 heures" correspond l'image "30°C". Une fonction est une relation pour laquelle chaque antécédent n’a qu’une seule image, c'est-à-dire pour laquelle chaque élément de l’ensemble de départ possède au plus une image.
Dans le cas de fonctions purement mathématiques, on utilisera « x » pour les antécédents et « y » pour les images. Une telle fonction sera notée" f(x)" ou" y" ("fonction dépendant de la variable x"). "x" est souvent appelée la variable indépendante et "y" la variable dépendante. Dans le cadre de ce cours, on se limitera au cas de fonctions à variables réelles, c'est-à-dire que les ensembles de départ (antécédents) et d'arrivée (images) seront toujours R ou une partie de R.
2.
LE DOMAINE DE DEFINITION D'UNE FONCTION
Le domaine de définition d'une fonction f(x), noté dom f, est l'ensemble des réels pour lesquels f est définie.
5
Exercices : Rechercher le domaine de définition des fonctions suivantes 1) f(x) = y = x 2 1
7) f(x) = y = (7 - 3x)
2 2) f(x) = y = x
8) f(x) = y = (x + 2).(x - 3)
3) f(x) = y = x - 2
9) f(x) = y = (x + 1).(x - 1).(x - 2)
4) f(x) = y =
1 x
1 2x - 5 x+2 6) f(x) = y = x -3
5) f(x) = y =
3.
3 10 ) f(x) = y = x - 3. 5 x .x 11) f(x) = y =
1 (4 - x 2 )
13) f(x) = y = (2x 2 4x 7) 14 ) f(x) = y = (x + 1).(5 - x) 15) f(x) = y =
4-x 9 - x2
16 ) f(x) = y = (4x - x 2 )
12 ) f(x) = y = (4 - x 2 )
LA PARITE D'UNE FONCTION
Une fonction paire est une fonction dont le graphe est symétrique par rapport à l'axe y des ordonnées (symétrie orthogonale). Il en résulte que f(x) = f(-x).
f(1) = f(-1) f(2) = f(-2) ...... f(x) = f(-x)
Une fonction impaire est une fonction dont le graphe est symétrique par rapport à l'origine des axes. Il en résulte que f(-x) = -f(x).
f(-1) = -f(1) f(-2) = -f(2) ...... f(-x) = -f(x)
6
4.
CROISSANCE ET DECROISSANCE D'UNE FONCTION, MINIMUM ET MAXIMUM
4.1.
Fonction décroissante f(x) La fonction f(x) est définie sur l'intervalle [a,b], partie de R et est décroissante si et seulement si : Pour tout x1 et x2 [a,b], avec x1 > x2, a x1
x2
b
f(x1) < f(x2)
On peut dire qu’une fonction décroissante est une fonction « qui descend de gauche à droite ». 4.2.
Fonction croissante f(x) La fonction f(x) est définie sur l'intervalle [a,b], partie de R et est croissante si et seulement si: Pour tout x1 et x2 [a,b], avec x1 > x2,
a
x1
x2
f(x1) > f(x2)
b
On peut dire qu’une fonction croissante est une fonction « qui monte de gauche à droite ». 4.3.
Cas d’une fonction constante
f(x)
La fonction f(x) est définie sur l'intervalle [a,b], partie de R et est constante si et seulement si: Pour tout x1 et x2 [a,b], avec x1 > x2, f(x1) = f(x2)
a
4.4.
x1
x2
b
Minimum et maximum
Une fonction admet un maximum si elle cesse de croître pour commencer à décroître. Une fonction admet un minimum si elle cesse de décroître pour commencer à croître.
7
5.
INTERSECTIONS AVEC LES AXES Intersection avec l’axe des x (axe des abscisses)
5.1.
Pour déterminer les intersections d'une fonction f(x) avec l'axe des abscisses, on résout l’équation f(x) = y = 0, ce qui équivaut à rechercher les racines de la fonction (appelées parfois aussi les "zéros de la fonction"). Intersection avec l’axe des y (axe des ordonnées)
5.2.
On remplace x par 0 dans l’équation de la fonction f(x), et donc on calcule f(0). Exercices : Rechercher par calcul les intersections avec les axes des fonctions suivantes
5) f(x) = y = x 2 1
1) f(x) = y = 2x - 3 2) f(x) = y =
6) f(x) = y = 3x 2 5x 2
3x - 6 2
-3 2x + 1 x² 1 8) f(x) = y = 2x³ + 1 7) f(x) = y =
3) f(x) = y = x 1 2
4) f(x) = y = x - 1 6.
LES FONCTIONS DU 1ER DEGRE Les fonctions linéaires : f(x) = y = ax (a 0)
6.1.
f(x) = y = ax avec a R0
L'expression analytique d'une fonction linéaire est :
Le graphique d'une fonction linéaire est une droite passant par l'origine des axes. a est appelé la pente ou le coefficient angulaire (ou taux d'accroissement) a = tg α où α est l'angle entre la droite et l'axe des x.
si a > 0, la droite est croissante si a < 0, la droite est décroissante
Dans ce cas, les variables x et y sont des "directement proportionnelles". 6.2.
Les fonctions affines : f(x) = y = ax + b
L'expression analytique d'une fonction affine est :
(a 0) f(x) = y = ax + b avec a et b R
Le graphique d'une fonction affine est une droite ne passant pas par l'origine des axes (sauf évidemment si b = 0).
a est appelé pente ou coefficient angulaire (ou taux d'accroissement). a = tg α où α est l'angle entre la droite et l'axe des x.
b est appelé l’ordonnée à l’origine (ordonnée du point d’intersection de la droite avec l’axe des y).
si a > 0, la droite est croissante si a < 0, la droite est décroissante
On constate également que les accroissements des valeurs de x et y sont proportionnels :
y a pente . x
8
6.3.
Signification géométrique du coefficient angulaire a
Soit la fonction f(x) = y = 3x - 1
La pente ou le coefficient angulaire vaut 3. Pour déterminer graphiquement la pente, on se place en un point quelconque sur la droite, par exemple le point C (1,2). On se déplace vers la droite de 1 unité (point D). On rejoint verticalement la droite jusqu'au point E. La distance DE est égale au coefficient angulaire soit ici 3. (négative vers le bas, positive vers le haut)
6.4.
Signes du binome du premier degré
Règle générale :
x ax b
signe contraire de a
b a
0
signedea
Exercices sur les fonctions du 1er degré
6.5.
1) Depuis près d’un siècle, on connaît une formule pour calculer le poids idéal en fonction de la taille : c’est la formule de Lorentz. t 150 P = (t – 100) - a P est le poids en kg, t la taille en cm
a = 4 chez l’homme
Transformer la formule selon que vous êtes un homme ou une femme.
Calculer son poids idéal.
Faire le graphique de la fonction.
et
2 chez la femme.
2) Un nouveau livre vient de paraître. Les conditions de vente sont les suivantes : -
un exemplaire se vend 5,5 €, TVA comprise. chaque commande fait l’objet de frais forfaitaires de port et d’emballage évalués à 1,5 €.
Déterminer l’expression analytique de la fonction f(x), le prix de la commande, en fonction du nombre d’exemplaires commandés x.
Tracer cette fonction
Questions : a) b) c) d)
Comment appelle-t-on ce type de fonction ? Pourquoi ? Déterminer son tableau de signes. Que vaut f(7,5) ? Résoudre l’équation f(x) = 38,5. 9
3) Tracer la droite qui passe par les points (-1, -2) et (1, 4). a) b) c) d)
Déterminer graphiquement son expression analytique. Que vaut f(2) ? Cette fonction est-elle positive ou négative en x = 3 ? Résoudre les équations f(x) = -3 et f(x) = 0.
4) Tracer sans faire de tableau de valeurs les fonctions f(x) = -2x + 3 et f(x) = ½ x + 4 . 5) Tracer dans le même système d’axes la fonction f(x) = y = 4x + 2 et la fonction g(x) = y = -2x. a) b) c) d) e)
7.
Déterminer graphiquement les coordonnées de leur point d’intersection. Que vaut f(-1) ? (graphiquement et par calcul) Que vaut g(3) ? (graphiquement et par calcul) Résous l’équation f(x) = 5 (graphiquement et par calcul) Résoudre l’équation g(x) = -1 (graphiquement et par calcul)
LES FONCTIONS DU SECOND DEGRE : F(X) = Y = AX² + BX + C (A0)
7.1.
Généralités
L'expression analytique d'une fonction du second degré est : f(x) = ax2 + bx + c avec a R0, b R et c R Les graphiques des fonctions du second degré sont des paraboles. Pour construire le graphique de la fonction f(x) = ax2 + bx + c, on peut utiliser la procédure suivante : a)
On détermine l’axe de symétrie de la parabole avec la formule suivante : x =
b 2a
b) Comme le sommet S de la parabole se trouve sur l’axe de symétrie, on connaît déjà son abscisse (xS =
b ) 2a
On détermine son ordonnée en remplaçant dans l’équation de f(x) et on obtient y S. c)
Si a>0, le sommet est un minimum. Si a 0
x1
ax 2 bx c
signe de a
0
2ème cas: si = 0 x2
signe contraire de a
x
0
signe de a
x1
ax 2 bx c
signe de a
0
signe de a
3ème cas: si < 0
ax
2
x bx c
pas de racines signe de a
En résumé, ax2 + bx + c a toujours le signe de a sauf si x est compris entre les racines de l'équation ax 2 + bx + c=0 7.3.
Exercices sur les fonctions du 2ème degré
1) Déterminer par calcul le sommet de la fonction f(x) = -2x². a) Tracer son graphique. b) Résoudre l’équation f(x) = 0.
c) Que vaut f(1,5) ? f(-2,3) ? d) Déterminer son tableau de signes.
2) Déterminer par calcul le sommet de la fonction f(x) = x² + 3x + 2. a) Tracer son graphique. b) Résoudre les équations f(x) = 2 et f(x) = 0. c) Déterminer son tableau de signes. 3) Parmi les fonctions suivantes, quelles sont celles qui ont leur concavité tournée vers les y positifs et qui ne passent pas par l’origine des axes ? a) f(x) = y = x² + 2 d) f(x) = y = 2 - x² b) f(x) = y = -x² + 2x e) f(x) = y = 4 + 2x² c) f(x) = y = 3x² + 2x +3 f) f(x) = y = -5x² 4) Esquisser le graphique des fonctions du 2ème degré suivantes en calculant d'abord le sommet et les racines. Déterminer leur tableau de signes et vérifier le résultat obtenu à l'aide du graphique. a) f(x) = y = 4 + x² b) f(x) = y = x² - 16 c) f(x) = y = 2x² - 2x - 1
d) f(x) = y = 1 - x² e) f(x) = y = 4x + 2x² f) f(x) = y = -5x² + x - 2
5) Pour les 12 premiers mois de l'année 1981, l'avoir d'une société, exprimé en millions de francs est donné par la formule y = t2 - 6t + 8, l'unité de temps étant le mois. a) Quand l'avoir de la société est-il positif ? b) Quand la société a-t-elle contracté des dettes ? c) A quelle date s'est-elle trouvée le plus endettée ? De quelle somme ? 6) Parmi les paraboles y = x2 + 2 px + 8, déterminer celle qui comprend le point (-2,3). Tracer ensuite cette parabole. (p est un réel, il faut donc trouver p) 11
8. 8.1.
AUTRES FONCTIONS ALGEBRIQUES Les fonctions polynômes
Ce sont des fonctions du type : f(x) = anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ... + a1x + a0
où an, an-1, an-2, …, a0 R et n est un entier positif (n N)
8.2.
Les fractions rationnelles
Ces fonctions sont définies comme le rapport de deux polynômes :
f(x) =
8.3.
an xn an -1xn -1 an - 2xn - 2 ... a1x a0 bm xm bm -1xm -1 bm - 2xm - 2 ... b1x b0
Les fonctions irrationnelles
Dans ce cas, la variable x apparaît sous un ou plusieurs radicaux.
12
9.
LIMITES ET ASYMPTOTES
9.1.
Introduction
Le calcul de limites et asymptotes est développé en détail dans l'enseignement secondaire. On se limitera à un rappel de quelques notions de base. 9.2.
Notion de limite
Soit la fonction f ( x ) y 2
1 . x
Quand les valeurs de x diminuent et tendent vers - , les valeurs de la fonction se rapprochent de 2. On dira que la limite de la fonction pour x tendant vers - est égale à 2. De même, quand les valeurs de x augmentent et tendent vers + , les valeurs de la fonction se rapprochent également de 2. On dira que la limite de la fonction pour x tendant vers + est égale à 2. On écrira :
lim f ( x ) 2
x
et
lim f ( x ) 2
x
10. NOTION DE BORNE AU DOMAINE DE DEFINITION D'UNE FONCTION
Considérons une fonction f(x) ayant comme dom f l'intervalle [2 , 4[.
La borne inférieure de cet intervalle vaut 2 et est compris dans celui-ci. ("le crochet est fermé") La borne supérieure de cet intervalle vaut 4 et n'appartient pas à celui-ci. ("le crochet est ouvert")
Considérons une fonction f(x) ayant comme dom f l'intervalle ]-3, 2[.
La borne inférieure de cet intervalle vaut -3 et n'appartient pas à celui-ci. ("le crochet est ouvert") La borne supérieure de cet intervalle vaut 2 et n'appartient pas à celui-ci. ("le crochet est ouvert") La notion de bornes de dom f qui n'appartiennent pas à celui-ci est utilisée dans le calcul des asymptotes horizontales. Exercices: Quels sont les bornes des intervalles suivants et qui n'en font pas partie? 1) ]2, 6] 2) [-2 ,9]
3) [4, 13[ 4) ]-3, -2[
13
11. RESUME SUR LES LIMITES
Limites pour x tendant vers un réel a a) si a n’appartient pas au dom f et n’est pas une borne (à "crochet ouvert") du dom f alors la limite de f(x) pour x tendant vers a n’existe pas. Exemple : b) si a appartient au dom f ou si a est une borne (à "crochet ouvert") du dom f, deux cas sont possibles :
si f(x) est une fonction usuelle, on calcule la valeur numérique de f(x) pour x = a. et lim f(x) f(a) . x a
Exemple :
si f(x) est une fonction rationnelle du type f(x)
-
N(x) , trois cas sont possibles : D(x)
si D(a) 0, on calcule la valeur numérique de f(x) pour x = a et lim f(x) f(a) x a
Exemple :
-
si N(a) 0 et D(a) = 0, alors les limites à gauche et à droite de a sont infinies ; on précise le signe des infinis en étudiant les signes de D(x). Exemple :
-
si N(a) = 0 et D(a) = 0, c’est le cas d’indétermination
0 . On factorise N(x) et D(x), on 0
simplifie puis on recalcule la limite. Exemple :
Limites pour x tendant vers l’infini a)
si f(x) est un polynôme réel en x, on calcule la limite en + ou en - du terme de plus haute puissance en x de ce polynôme. Exemple : . On lève cette indétermination en calculant la limite en + ou en - du quotient des termes de plus haute puissance en x du numérateur et du dénominateur (après avoir simplifié)
b) si f(x) est un quotient de polynômes en x, on obtient une indétermination
du type
Exemple : c)
si f(x) =
a xn
(a est un réel non nul), on obtient une réponse nulle. Exemple :
14
12. LES ASYMPTOTES 12.1. Asymptote verticale 1 . Son dom f est R0. Le dénominateur s'annule en x = 0, mais on peut calculer la limite pour x² x tendant vers 0 puisque 0 une borne du dom f sans en faire partie.
Soit la fonction f(x) =
Plus x va tendre vers 0 (par des valeurs supérieures à 0), plus f(x) va grandir et tendre vers + . 1 On écrira : lim x 0 x² Plus x va tendre vers 0 (par des valeurs inférieures à 0), plus f(x) va grandir et tendre vers + . 1 On écrira : lim x 0 x² Les limites à gauche et à droite sont infinies. Par conséquent, la droite x = 0 est une asymptote verticale de la fonction f(x).
12.2. Définition d'une asymptote verticale: La droite x = a est asymptote verticale au graphique de la fonction f si et seulement si la limite à gauche ou la limite à droite en a est infinie. c'est-à-dire si et seulement si: lim f(x) ou xlim f(x) a
x a
12.3. Détermination des asymptotes verticales éventuelles d'une fonction
MARCHE A SUIVRE POUR DETERMINER LES EVENTUELLES AV : On détermine le dom f - si dom f = R, il n'y a pas d'asymptote verticale. - si dom f R, on détermine toutes les bornes du dom f qui ne lui appartiennent pas. Si les limites à gauche ou à droite de f(x) en ces bornes sont infinies, alors le graphique de la fonction admet des asymptotes verticales en ces bornes.
Déterminer la (les) asymptote(s) verticale(s) de la fonction f(x) définie par : 1) 2)
3 1 - 4x x2 1 f(x) 9 x² f(x)
3)
f(x)
4)
f(x)
x2 5 x 2 x
x ² 12 15
12.4. Asymptote horizontale On détermine les asymptotes horizontales de la manière suivante:
On calcule :
lim f(x)
et lim f(x)
-
a) si on trouve un nombre a, alors le graphique de la fonction admet une A.H. d' équation y = a b) si on trouve , alors le graphique de la fonction n' admet pas d' A.H.
Exercices : déterminer les asymptotes horizontales et verticales des fonctions suivantes:
2x - 3 x -3 2 = 4x - 1 5 = - 9x 3 = 4x+2 -2 = 9 3x + 7
1) f(x) = 2) f(x) 3) f(x) 4) f(x) 5) f(x)
6) f(x) = 4x 2 5x 1 7) f(x) = 2x 3 7x 2 6x 21 8) f(x) = 9) f(x) =
4x 3 7 x 2 4x 1 2x 3 4x 2 3 1 - 3x + 4x 2 3x 3 4x 1
10) f(x)
4x 4 2x 1
12.5. Asymptote oblique L'asymptote oblique est une droite dont l'équation générale est y = mx + p. Pour trouver l'équation de l'asymptote oblique d'une fonction, il faut donc rechercher m et p.
MARCHE A SUIVRE
1) Calcul de m : f(x) . x On a ensuite 3 possibilités : On calcule m lim
f(x) pas d' A.O. x f(x) b) si lim 0 pas d' A.O. car m 0 et donc y p (A.H.) x f(x) c) si lim nombre, alors m = nombre, il reste à calculer p. x 2) Calcul de p : a) si lim
On calcule p lim f(x) mx
et l' équation de l' A.O. est y = mx + p
16
Exercices: Calculer les asymptotes obliques (AO) des fonctions suivantes :
1) f(x) =
x 2 2x 3 x 1
(A.O. : y = x + 3)
5) f(x) x 3 x 2 1
2) f(x)
x2 1 x
(A.O. : y x)
6) f(x)
3) f(x)
2x 2 x 1
4) f(x)
x 3 2x x2 1
(A.O. : y 2x - 2)
7) f(x)
(A.O. : y x)
8) f(x) 9) f(x)
(A.O. : pas d' A.O.)
x3 1
(A.O. : y x)
x2 x2 1
(A.O. : pas d' A.O.)
x2 1 7
(A.O. : pas d' A.O.)
( x 1) 2 2x 4 3x ² 1
(A.O. : pas d' A.O.)
13. RESUME : DETERMINATION DES ASYMPTOTES D'UNE FONCTION ASYMPTOTE VERTICALE Déterminer le domaine de f(x) Déterminer les réels qui sont des bornes du dom f sans toutefois lui appartenir si les limites à gauche ou à droite de f(x) en ces bornes sont infinies, alors la fonction admet des asymptotes verticales en ces réels ASYMPTOTE HORIZONTALE
On calcule :
lim f(x)
et lim f(x)
-
(si + et - sont dans le dom f)
a) si on trouve un nombre a, alors le graphique de la fonction admet une A.H. d' équation y = a
b) si on trouve , alors le graphique de la fonction n' admet pas d' A.H.
ASYMPTOTE OBLIQUE 1) Calcul de m : On calcule m lim
f(x)
x
.
On a ensuit e3 possibilités : a) si lim
f(x)
x
b) si lim
f(x)
x
c) si lim
0 pas d' A.O.car m 0 et donc y p (A.H.)
f(x)
x
pas d' A.O.
nombre,alors m = nombre,il resteà calculer p.
2) Calcul de p : On calcule p lim f(x) mx
et l' équation de l' A.O.est y = mx + p
17
14. EXERCICES RECAPITULATIFS SUR LES ASYMPTOTES Déterminer le dom f, la parité, les intersections avec les axes et les asymptotes des fonctions suivantes et tracer le graphique.
1) f(x)
2x 2 1 x
4x 2 x 1 2) f(x) 1 - 2x 1 3) f(x) 2 x 1 2 4) f(x) x 3. 2 x 5) f(x) 6) f(x) 7) f(x)
10) f(x) 11) f(x) 12) f(x)
x 2 2x 3
3x 2 x x 2 2x 2 x 1
8) f(x)
3x 2 5x 1 x 1
9) f(x)
4x 8x 1 2x 1 2
x2 1 x3 x 1 1 2x 2
uniquement les asymptotes
x 2 3x 2 3x 2 1
13) f(x) x 3 2x 2 x - 1
x 2 5x 6 x 3 2x 2 3
x3
uniquement les asymptotes
3 2x 4 2 15) f(x) x3 14) f(x)
uniquement les asymptotes
16) f(x) 17) f(x)
x3 x 2 x2 4 x3
x 12
REMARQUES IMPORTANTES 1) Une fonction polynôme n’admet jamais d’asymptotes. 2) Une fonction n’admet jamais une AH et une AO ensemble (sauf cas très particuliers)
18
15. EXERCICES GRAPHIQUES Rechercher toutes les caractéristiques des fonctions suivantes.
19
20
CHAPITRE 2 : TRIGONOMETRIE 1.
MESURE DES ANGLES EN RADIANS
1.1.
Introduction
On donne un cercle de centre O et de rayon r. L'angle intercepte sur le cercle un arc [AB] de longueur L. La valeur L de cet angle est donnée par la formule : . L'angle est exprimé en radians qui est l'unité SI de l'angle plan. r B
L
O
A r
Un angle d’un radian est un angle au centre d’un cercle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon r du cercle. B
r
O
1 rad radian
A
r
Sur le cercle ci-dessus, l'angle représenté mesure donc 1 radian. D'après la définition du radian, on obtient le tableau suivant : 90° = /2 rad
Part de cercle
AB Cercle entier ½ cercle ¼ cercle 1/8 cercle ¾ cercle 1/7 cercle
longueur r 2r r r/2 r/4 3r/2 2r/7
+
Angle au centre Angle au centre (radians) (degrés) 180 = 57,3 ° 1
2 /2 /4 3/2 2/7
360° 180° 90° 45° 270° 51,4°
180° = rad
O
0°ou 360° I 2 rad ou 0 rad
270° = 3/2 rad
21
Donc pour passer d’un angle en degrés à un angle en radians, on multiplie les degrés par /180. Inversement, pour passer d’un angle en radians à un angle en degrés, on multiplie les radians par 180/ . Remarquons qu'un angle a plusieurs mesures en radians (ou en degrés) : elles diffèrent d’un multiple entier de 2 (ou de 360°). 2.
MESURE DES ANGLES SOLIDES : LE STERADIAN
Un angle solide est l'espace délimité par l'intérieur d'une surface conique ou pyramidale. Si on trace une sphère de rayon r centrée au sommet O et que l'on appelle S la surface sphérique interceptée par l'angle solide , la valeur de ce dernier est donnée par la relation :
S r²
L'angle solide se mesure en stéradians (sr). Le stéradian est l'angle solide qui, ayant son sommet au centre d'une sphère, découpe sur la surface de cette sphère une aire égale à celle d'un carré ayant pour côté le rayon de la sphère.
La surface de la sphère étant égale à 4r², l'angle solide total autour d'un point est égal à 4 sr. 4 L'angle solide formé par trois axes de coordonnées rectangulaires OX, OY et OZ est égal à ou sr. 8 2
Remarque : la notion d'angle solide est utilisée notamment dans le domaine des détecteurs de contamination utilisés en radioprotection.
22
3.
LE CERCLE TRIGONOMETRIQUE 90° = /2 rad
2è Q
180° = rad
+
1er Q O
Le cercle trigonométrique est un cercle de rayon 1, d'origine I et orienté positivement dans le sens inverse des aiguilles d'une montre.(antihorlogique)
0°ou 360° 2 rad ou 0 rad
Il est muni en son centre d'un système d'axes (repère orthonormé) et il est formé de quatre quadrants.
I 3è Q
4è Q
270° = 3/2 rad
Exercices : 1) Tracer sur le cercle trigono les angles suivants: 30°, -45°, 60°, 2/3 rad, 5/6 rad. 2) Transformer en radians (indiquer à quels quadrants appartiennent ces angles)
Transformer en degrés
360° 270° 180° 30° 20° 10° 75°
2/3 7/6 7/9 -/12
4.
NOTIONS DE SINUS ET DE COSINUS
C
P
sin Soit un point P défini par l'angle sur le cercle trigonométrique. Son abscisse vaudra cos et son ordonnée sin .
B
cos
O
I
sin α = yP = mesure algébrique de OC cos α = xP = mesure algébrique de OB
Les angles α, α + 2, α + 4, ..., α + k2 (k Z) étant repérés par le même point sur le cercle trigonométrique, on en déduit immédiatement : cos α = cos (α + 2) = cos (α + 4) = ... = cos (α + k2)
avec k Z
sin α = sin (α + 2) = sin (α + 4) = ... = sin (α + k2)
avec k Z
(périodicité de période 2) 23
Exercice : Sur le cercle, mesurer cos 60°, sin 60°, cos 45°, sin 30°, sin /2, cos 3/2, … Remarque : par Pythagore dans le triangle OBP, on obtient aisément la formule : sin2 + cos2 = 1
5.
NOTIONS DE TANGENTE ET DE COTANGENTE Traçons la tangente au cercle au point I. L’intersection entre cette tangente et la droite OP donne le point T. La tangente de l'angle , notée tg , est l'ordonnée du point T. tg α = yT = mesure algébrique de IT Traçons la tangente au cercle au point J. L’intersection entre cette tangente et la droite OP donne le point C. La cotangente de l'angle , notée cotg , est l'abscisse du point C. cotg α = yC = mesure algébrique de JC cotg
J
T C P
tg
Il en résulte que tg 90o et tg 2700 n’existent pas.
I O
De même, cotg 00 et cotg 1800 n’existent pas.
On remarque que : tg α = tg (α +) = tg (α + 2) = ... = tg (α + k)
avec k Z
cotg α = cotg (α + ) = cotg (α + 2) = ... = cotg (α + k)
avec k Z
(périodicité de période )
Formules importantes
tg =
sin cos
cotg =
cos sin
tg =
1 cot g
cotg =
1 tg
Exercice : Sur le cercle, mesurer tg 60°, cotg 60°, tg 230°, cotg 125°, tg 7/6, cotg 3/2, …
24
6.
VALEURS PARTICULIERES DES SIN, COS, TG ET COTG
α
0° (0 rad)
30° (/6 rad)
45° (/4 rad)
60° (2/3 rad)
sin α
0
1 2
cos α
1
2 2 2 2
3 2 1 2
tg α
0
1
3
//////////
cotg α
////////////
1
3 3
0
3 2 3 3
3
90° (/2 rad)
1
0
Méthode simple pour retenir le tableau : Pour le sinus :
0
1
2
3
1
0 0
½ ½
2/2 2/2
3/2 3/2
1 1
Pour le cosinus : idem mais les nombres de départ dans l’autre sens : 1 7.
3
2
1
0
SIGNES DES SIN, COS, TG ET COTG
SIN
+ + 0
-
0
COS
1
-
-1
0
- + + - +
1
0 -1 COTG
TG
0
/// //
0
+
+ ///
0
///
+
+ -
///
0 25
8.
FORMULES DES ANGLES ASSOCIES
Sur le cercle trigonométrique, on peut associer certains angles ayant comme sinus, cosinus, tangente ou cotangente des valeurs égales, opposées, ... selon les cas. Pour calculer les formules d’angles associés, on pourra utiliser le cercle suivant : sinus 90+
90- cos
sin
180-
cosinus -cos
-sin
sin
cos
-
180+ -sin
- -cos 270-
270+
Utilisation : sin (180 + )= -sin (on se place sur le cercle au repère 180+, puis on projette ce point sur l’axe des sinus) cos (90-)= sin (on se place sur le cercle au repère 90-, puis on projette ce point sur l’axe des cosinus) Angles opposés et - sin(-) cos(-) tg(-) cotg(-)
-sin() cos() -tg() -cotg()
Angles supplémentaires 180- et (leur somme vaut 180°) sin(180-) cos(180-) tg(180-) cotg(180-)
sin() -cos() -tg() -cotg()
Angles antisupplémentaires 180+ et (la valeur absolue de leur différence vaut 180°) sin(180+) cos(180+) tg(180+) cotg(180+)
-sin() -cos() tg() cotg()
26
Angles complémentaires 90- et (leur somme vaut 90°) sin(90-) cos(90-) tg(90-) cotg(90-)
cos() sin() cotg() tg()
sin(270+) cos(270+) tg(270+) cotg(270+)
-cos() sin() -cotg() -tg()
Autres angles
sin(270-) cos(270-) tg(270-) cotg(270-)
sin(90+) cos(90+) tg(90+) cotg(90+) 9.
-cos() -sin() cotg() tg() cos() -sin() -cotg() -tg()
EXERCICES DE REDUCTION DES ANGLES AU PREMIER QUADRANT
Réduire au 1er quadrant puis calculer en utilisant les formules des angles associés : cos 125° , tg 202°, sin 320°, sin 143°, cos 132°, sin (-200°), cotg (-162°), tg 232° 10. PRINCIPALES FORMULES DE TRIGONOMETRIE Relation fondamentale : sin2 + cos2 = 1 Formules d'addition : cos (a-b) = cos a.cos b + sin a.sin b cos (a+b) = cos a.cos b - sin a.sin b sin (a+b) = sin a.cos b + sin b.cos a sin (a-b) = sin a.cos b - sin b.cos a Formules de duplication : cos 2a = cos²a – sin²a
et
sin 2a = 2.sin a.cos a
et
1 tg²a 1 tg²a 2tga sin2a = 1 tg²a cos 2a =
Formules de Simpson :
a b a b sin a + sin b = 2.sin . cos 2 2 a b ab sin a - sin b = 2.cos .sin 2 2
a b a b cos a + cos b = 2.cos . cos 2 2 a b ab cos a - cos b = -2.sin .sin 2 2
27
11. UTILISATION DE LA CALCULATRICE POUR CALCULER DES SIN, COS, TG ET COTG. Chaque calculatrice scientifique possède 3 modes d’introduction d’un angle : les degrés (DEG), les radians (RAD), les grades (GRAD). On ne parlera pas ici du mode grade. Exercice 1 : Placer la machine en mode DEG et calculer cos 27,3°. cos 27,3° = 0,8886… On remarquera que le nombre 27,3 est en degrés décimaux. On aurait pu le donner au départ en degrés sexagésimaux (DMS). Que vaut donc 27,3 (degrés décimaux) en degrés sexagésimaux (DMS) ? Pour ce faire il faut taper 27,3 et pousser sur la touche DMS et on obtient : 27°18’ (27 degrés 18 minutes) Exercice 2 : Calculer sin 37°24’ D’abord, on transforme 37°24’ en degrés décimaux : 37°24’ DEG = 37,4. Il faut ensuite se placer en mode DEG et taper sin 37,4° = 0,607 Exercice 3 : Convertir en degrés décimaux 45°12’ 27°25’30’’
12°58’19’’ 136°5’9’’
–150°00'45’’ 00°37’19’’
Exercice 4 : Convertir en degrés sexagésimaux (DMS) 1,3417° 72,01°
98,765° 0,62395°
36,0036° –56,70809°
Exercice 5 Soit l’angle /6 rad donné en radians. Calculons tg /6. On se place en mode RAD et on calcule tg /6 = tg 0,5235 rad = 0,57721 Transformons /6 rad en degrés décimaux. /6 rad = (/6 * 180/ )° = 30° On se place en mode DEG et on calcule : tg 30° = 0,577
Exercice 6 : Calculer les sin, cos, tg, et cotg des angles suivants sin 40° cos 21,12° tg 34,273° cotg 3/4 cos 1,2° tg 35°17’25’’
sin 149°50’41’’ cotg 31,4° cos 0,0248° cos 12/5 cotg –612°15’ tg 7560°17’
tg –234,41° tg –234°41’ sin 1,2 cos 17/3
28
12. EQUATIONS TRIGONOMETRIQUES 12.1. Résolution de l’équation sin x = a Résolvons cette équation dans le cas où a = 0,5. sin x = 0,5 Sur le cercle trigo, on constate que le sinus vaut 0,5 pour un angle de 30° mais aussi pour un angle de 150° soit 180° - 30°. On peut ajouter un tour complet et dire que le sinus vaut aussi 0,5 pour un angle de 30° + 360° et un angle de 150°+360° et ainsi de suite. D’une manière générale, la solution de l’équation sin x = a est :
En radians : x = + 2k et x = ( - ) + 2k En degrés : x = + 360° et x = (180° - ) + 360°
On trouve la valeur de , soit à la calculatrice, soit sur le cercle trigonométrique. Exercices : résoudre les équations suivantes 1) sin x =
3 2
2) sin x = 0,2 3) sin 2x = 0,9137 4) sin 3x = 1 5) sin -x = -1 12.2. Résolution de l’équation cos x = a Résolvons cette équation dans le cas où a = 0,5 cos x = 0,5 Sur le cercle trigo, on constate que le cosinus vaut 0,5 pour un angle de 60° soit 2/3 mais aussi pour un angle de 300° ou – 60° soit -2/3. On peut ajouter un tour complet et dire que le cosinus vaut aussi 0,5 pour un angle de 60° + 360° et un angle de 60° + 360° et ainsi de suite. D’une manière générale, la solution de l’équation cos x = a est :
En radians : x = + 2k et x = - + 2k En degrés : x = + 360° et x = - + 360°
On trouve la valeur de , soit à la calculatrice, soit sur le cercle trigo. Exercices : résoudre les équations suivantes 1) cos x =
3 2
2) cos x = 0,3 3) cos 2x = -0,7314 4) cos -3x = 1 5) cos -x = -1
29
12.3. Résolution de l’équation tg x = a Résolvons cette équation dans le cas où a = 1 tg x = 1 Sur le cercle trigo, on constate que la tangente vaut 1 pour un angle de 45° soit /4 mais aussi pour un angle de 225° soit 5/4. On peut ajouter un demi-tour et dire que la tangente vaut aussi 1 pour un angle de 45° + 180°. D’une manière générale, la solution de l’équation tg x = a est :
En radians : x = + k En degrés : x = + k180°
On trouve la valeur de , soit à la calculatrice, soit sur le cercle trigo. Exercices : résoudre les équations suivantes 1) tg x = 8 2) tg -x = -2 3) tg 2x = - 1,5 4) tg x = - 0,2 5) tg -3x = -3
30
13. LES FONCTIONS CIRCULAIRES : SINUS, COSINUS, TANGENTE ET COTANGENTE 13.1. Graphique de la fonction f(x) = y = sin x: la sinusoïde
Tableau de valeurs x
/6
0
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
5/4
3/2
7/4
2
sin x
Caractéristiques du graphique de f(x) = sin x dans l'intervalle [0, 2] La fonction f(x) = sin x étant périodique de période 2, on peut se limiter à étudier ses caractéristiques dans l'intervalle [0, 2]. a) dom f = R et sin x prend ses valeurs dans [-1, 1] b) impaire c) Intersections : Axe des x : (0, 0) (, 0), ..., (k, 0) Axe des y : (0,0)
kZ
Variations x
0
/2
3 2
2
signes croissance concavité Exemples de fonctions sinusoïdales: 1) Les ondes:
- chute d'une pierre dans l'eau, - onde sinusoïdale: y = A sin (wt+) - ondes radio, .....
2) Courant alternatif 3) Instrument de musique: superposition d'ondes sinusoïdales 31
13.2. Graphique de la fonction f(x) = y = cos x: la cosinusoïde
Tableau de valeurs x
/6
0
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
5/4
3/2
7/4
2
cos x
Caractéristiques du graphique de f(x) = cos x dans l'intervalle [0, 2] La fonction f(x) = cos x étant périodique de période 2, on peut se limiter à étudier ses caractéristiques dans l'intervalle [0, 2]. a)
dom f = R et cos x prend ses valeurs dans [-1, 1]
b) paire c)
Intersections :
3 , 0) ( , 0), ..., ( + k, 0) 2 2 2 Axe des y : (0,1)
Axe des x : (
kZ
Variations x
0
/2
3 2
2
signes croissance concavité
32
13.3. Graphique de la fonction f(x) = y = tg x = Error!
Tableau de valeurs x
-/2
-/3
-/4
-/6
/6
0
/4
/3
/2
tg x
Caractéristiques du graphique de f(x) = tg x dans l'intervalle ] -
, [ 2 2
La fonction f(x) = tg x étant périodique de période , on peut se limiter à étudier ses caractéristiques dans l'intervalle ]- , [. 2 2 a)
dom f = R\{- /2, /2} et tg x prend ses valeurs dans ]-, ∞[
b) impaire c) Intersections :
kZ
Axe des x : (0, 0) (, 0), ..., (k, 0) Axe des y : (0,0)
Variations x
-/2
0
/2
signes croissance concavité
33
13.4. Graphique de la fonction f(x) = y = cotg x =
cos x sin x
Tableau de valeurs
x
0
/6
/4
/3
/2
2/3
3/4
5/6
cotg x
13.5. Les fonctions sinus et tangente pour de petits angles
Dans certains cas (par exemple dans le domaine de l'optique), il est intéressant de remplacer le sinus et la tangente d'un petit angle par la valeur de cet angle. En effet, pour de petits angles , on peut constater que :
sin
et
tg
A titre d'exercice, vous pouvez créer un graphique Excel reprenant : En abscisse : l'angle en degrés. En ordonnée : l'angle en radians, le sinus de et la tangente de . Interprétez le graphique obtenu.
34
14.
LES FONCTIONS CYCLOMETRIQUES
14.1. La fonction f(x) = y = arcsin x L'arcsinus d'un nombre x est l'angle en radians dont le sinus est x : x = sin y arcsin x = y
Tableau de valeurs (Attention : se placer en mode RADIAN) x
-10
-5
-1
3 4
1 2
1 4
0
1 4
1 2
3 4
1
5
10
arcsin x On constate que dom f = [-1,1] et que ses valeurs varient dans [-/2, /2]. Les fonctions sin x et arcsin x sont symétriques par rapport à la droite y = x (1ère bissectrice). On dit que ces fonctions sont réciproques l'une de l'autre. On a la relation : arcsin (sin x) = x.
14.2. La fonction f(x) = y = arcos x L'arc cosinus d'un nombre x est l'angle en radians dont le cosinus est x : x = cos y arc cos x = y
35
Tableau de valeurs (Attention : se placer en mode RADIAN) x
-10
-5
-1
3 4
1 2
1 4
0
1 4
1 2
3 4
1
5
10
arcos x On constate que dom f = [-1,1] et que ses valeurs varient dans [0, ]. Les fonctions cos x et arcos x sont symétriques par rapport à la droite y = x (1ère bissectrice). On dit que ces fonctions sont réciproques l'une de l'autre. On a la relation : arcos (cos x) = x
14.3. La fonction f(x) = y = arctg x Tableau de valeurs x
-5
-3
-2
-1
1 2
1 4
0
1 4
1 2
1
2
3
5
arctg x
Pour la fonction f(x) = arctg x, dom f = R et les valeurs d'arctg x varient dans ]-/2,/2[. On a la relation : arctg (tg x) = x
Les fonctions tg x et arctg x sont symétriques par rapport à la droite y = x (1ère bissectrice). On dit que ces fonctions sont réciproques l'une de l'autre.
14.4. Exercices 1) Tracer les fonctions arcsin (3x), arcos (x + 2), arctg (
x 2
), arcsin (-x), arcos (-4x).
2) Sur les deux graphiques de la page suivante, tracer ensemble sin x et arcsin x et confirmer la réciprocité de ces deux fonctions puis faire de même pour cos x et arcos x sur le deuxième graphique.
36
sin x et arcsin x
cos x et arcos x
37
15. LES ONDES ET L'ANALYSE DE FOURIER 15.1. Introduction Les ondes nous entourent en permanence et font partie de notre vie quotidienne. On peut subdiviser les ondes en deux catégories :
Les ondes matérielles, qui ont besoin d'un milieu (liquide, solide ou gazeux) pour se propager. Exemple : un cri, une explosion ou un diapason produisent de minuscules déplacements de particules d'air accompagnées de faibles modifications de pression (onde acoustique ou sonore). Une onde sonore ne se propage pas dans le vide.
Les ondes électromagnétiques, qui n'ont pas besoin d'un milieu propagation pour se propager. (par exemple : les ondes radio, les micro-ondes, les RX, les UV, ...). Elles peuvent donc exister dans le vide.
Dans les techniques d'imagerie médicale et en médecine en général, on utilise abondamment les ondes. Citons par exemple :
Les ultrasons (ondes sonores) : pour les échographies.
Les rayons X : pour les radiographies et le scanner X
Les ultraviolets : en puvathérapie
Les lasers : en ophtalmologie
Les rayons : pour les scintigraphies
Cette liste est très loin d'être exhaustive et peut être complétée en fonction des avancées régulières en technique médicale. 15.2. Superposition d'ondes On traitera le cas des ondes à la surface de l'eau (vague) et leur superposition. Les principes développés sont adaptables aux autres types d'ondes. Mathématiquement, une onde à la surface de l'eau se modélise par une fonction du type suivant :
y(t) = A. sin( wt )
y : l'élongation de l'onde en m A est l'amplitude de l'onde, c'est-à-dire, l'ampleur des oscillations. w représente le rythme des oscillations, dépendant de la fréquence f de l'onde. est la constante de phase (en radians) qui dépend de la position de l'onde à l'instant t = 0
Rigoureusement, en plus de la variable temporelle t, cette formule doit faire intervenir la variable spatiale x (voir cours de physique). Une caractéristique importante de toutes les ondes est que deux ou plusieurs ondes, qui se propagent dans la même région de l'espace, se superposent pour produire des effets caractéristiques facilement observables. C'est le principe de superposition.
38
Si deux ou plusieurs ondes arrivent en un point, à un instant donné, l'élongation résultante est égale à la somme algébrique des élongations en ce point de chacune de ces perturbations à cet instant. y(t) = y1(t) + y2(t) + … Après la rencontre, les ondes continuent à se propager indépendamment l'une de l'autre dans leur sens initial. Applications pratiques :
Le casque anti-bruit : Supposons qu'un diapason émette un "la" à la fréquence 440 Hz. Le casque va émettre lui aussi un "la" à 440 Hz mais déphasé d'une demi-période (opposition de phase), de telle sorte que les ondes se détruisent et on n'entend plus de son.
Pourquoi le plateau d'un four à micro-ondes tourne-t-il ? Les micro-ondes émises se réfléchissent sur les parois et se superposent. A certains endroits, elles s'additionnent alors qu'en d'autres, elles s'annulent. De la sorte, certaines zones de l'aliment peuvent brûler et d'autres rester froides. Grâce au plateau tournant, la position de l'aliment se modifie en permanence, conduisant, en théorie, à une cuisson homogène.
15.3. Exercices 1) Deux pointes1 s'enfoncent dans une cuve à ondes. Elles sont reliées à un même vibreur qui leur communique ainsi le même mouvement vertical harmonique ("sinusoïde"). Ces deux pointes sont deux sources S1 et S2 d'ondes circulaires de même fréquence, même amplitude et vibrant en concordance de phase. En un point P quelconque de la cuve, l'équation de la vibration provenant de S1 est : y1 = A sin (wt + 1) En ce même point P, l'équation de la vibration provenant de S2 est : y2 = A sin (wt + 2) Additionner ces deux vibrations et conclure. 2) Additionner les deux signaux suivants :
7 y1(t) = 2 sin .t 4 3
et
5 y2(t) = 2 cos .t 4 12
3) Le signal suivant résulte de la superposition en un point de deux ondes sinusoïdales de fréquences différentes :
17 7 y1(t) = sin .t . cos .t 24 24 4 4 Déterminer les équations des deux ondes et leurs fréquences (t s'exprime en 10 -6 s) 4) Le signal suivant résulte de la superposition en un point de deux ondes sinusoïdales de fréquences différentes :
3 5 13 13 .t .sin .t y1(t) = 6.sin 12 2 12 12 Déterminer les équations des deux ondes et leurs fréquences (t s'exprime en 10-6 s)
1
simulation : sur www.xrenard.sup.fr, page physique, ondes, interférences
39
15.4. Analyse de Fourier Une bonne technique mathématique pour analyser ou synthétiser les ondes a été conçue en 1807 par le physicien français Fourier. Il a établi que toute onde rencontrée dans la nature, peut être considérée comme résultant de la superposition d'ondes sinusoïdales. Cela peut se réaliser, par exemple, dans le cas du son, par l'oreille humaine ou un analyseur de spectre ou, dans le cas de la lumière, par un prisme. Selon Fourier, toute fonction périodique de fréquence f peut être considérée comme une somme de termes sinusoïdaux avec des amplitudes et des phases appropriées (en fait une combinaison linéaire de cosinus et de sinus dont les fréquences sont des multiples entiers positifs ou nuls de la fréquence de la fonction); le premier d'entre eux a la même fréquence f. C'est le fondamental ou le premier harmonique (f1 = f). Le terme suivant, de fréquence f2 = 2f, est appelé deuxième harmonique puis vient le terme de fréquence f3 = 3f appelé troisième harmonique et ainsi de suite. Ainsi, si s(x) est une fonction d'une variable x, de période T et de fréquence f, alors : s(x + kT) = s(x) pour tout k entier et s(x) = a'0 + a'1.cos(fx) + a'2.cos(2fx) + … + a'n.cos(nfx) + … + a1.sin(fx) + a2.sin(2fx) + … + an.sin(nfx) + … Exemple : la fonction périodique f(x) représentée ci-dessous (à gauche) peut-être décomposée en la somme de deux fonctions cosinus (à droite). On obtient : f(x) = 2.cos(10x) + cos(4x)
Dans le cas d'un son par exemple, si on recombine les sons simples (les différents harmoniques), ils reconstituent l'onde acoustique de départ. La musique et les paroles synthétisées électroniquement ne sont que des superpositions de Fourier d'ondes sinusoïdales. La transformée de Fourier peut être employée pour décrire des images. Au lieu d’étudier l’évolution de l’intensité du son dans le temps, on va s’intéresser à l’évolution de l’intensité du niveau de gris selon l’axe des abscisses, pour une image à une dimension (1D). Le domaine temporel devient le domaine spatial (variable temps t remplacée par l’abscisse x) et la fréquence devient la fréquence spatiale. Pour décomposer une image en deux dimensions, on effectue une transformée de Fourier 2D. La première étape de la transformée de Fourier 2D consiste à appliquer une transformée de Fourier 1D dans une première direction (par exemple ligne par ligne, axe des x). La deuxième étape de la transformée de Fourier 2D consiste à appliquer une nouvelle transformée de Fourier 1D sur le résultat obtenu à la première étape, selon la deuxième direction cette fois-ci. Lors d'une échographie, le signal détecté correspond à une superposition de plusieurs ondes réfléchies dont les fréquences sont caractéristiques des tissus traversés; retrouver les fréquences de chacune des composantes du signal (ce que permet l'analyse de Fourier) est essentiel pour recomposer la structure de l'organe étudié. La transformée de Fourier est utilisée également pour la reconstitution d'images bi ou tridimensionnelles en IRM et en tomodensitomètrie. Les techniques mathématiques utilisées dans l'analyse de Fourier dépassent largement le cadre de ce cours. 40
CHAPITRE 3 : LES DERIVEES 1.
DEFINITION
Soit une fonction f(x).
Recherchons le coefficient angulaire (la pente) de la tangente au point A (a,f(a)). Traçons d'abord une sécante comprenant le point A (a; f(a)) et le point B (a+h; f(a+h)). Le coefficient angulaire de cette sécante est donné par : m =
f(a h) f(a) f(a h) f(a) aha h
Si le point B tend vers le point A, h tend vers 0 et la sécante tend à devenir la tangente à la courbe au point A. Par conséquent, le coefficient angulaire de la tangente au point A est donné par : lim
h 0
f(a h) f(a) h
que l'on appellera dérivée de la fonction f(x) en x = a et qu'on notera f'(a). D'une manière générale, la dérivée en x = a d'une fonction f(x) définie en x = a est égale à :
f(a h) f(a) h 0 h
f' (a) lim
La dérivée f’(a) représente le "taux de variation" de la fonction en x = a et géométriquement, le coefficient angulaire de la tangente à la fonction au point d'abscisse x = a.
41
si le coefficient angulaire de la tangente en a est positif, la fonction f(x) est croissante en x = a et donc la dérivée f '(a) est positive. si le coefficient angulaire de la tangente en a est négatif, la fonction f(x) est décroissante en x = a et donc la dérivée f '(a) est négative Le coefficient angulaire de la tangente est négatif f '(b) est négatif
Le coefficient angulaire de la tangente est positif f '(a) est positif
f(x)
a
b
Une fonction est dérivable en un point si et seulement la dérivée en ce point existe. Une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert I si elle admet une dérivée en tout point de I.
Remarque : dans le cas d'une droite (fonction affine ou linéaire), la dérivée est égale à la pente, c'est-àdire au coefficient angulaire.
2.
SIGNIFICATION CONCRETE DE LA DERIVEE DE CERTAINES FONCTIONS
La dérivée d'une fonction porte parfois un nom précis qui évoque la signification concrète de la notion. En voici quelques exemples : fonction
variable indépendante
dérivée : "taux de variation"
distance parcourue par un mobile
temps
vitesse
vitesse
temps
accélération
longueur d'une barre
température
coefficient de dilatation
énergie
temps
puissance
charge électrique
temps
intensité de courant
altitude des points d'une route
projection de la distance sur un plan pourcentage local du profil de la horizontal route
volume d'un fluide
temps
débit
poids animal
temps
taux d'engraissement (amaigrissement)
habitants d'une population
temps
taux de natalité (mortalité)
capital
temps
taux d'enrichissement (appauvrissement)
42
3.
FORMULES SIMPLIFIÉES DE CALCUL DES DÉRIVÉES
Voici un résumé de toutes les formules permettant de calculer les dérivées des fonctions les plus courantes. (k R)
1) (k)' = 0 2) (x)' = 1 3) (xn)' = n.xn-1
Si f et g sont deux fonctions dérivables : 4) (f + g)'=f' + g'
de même: (f - g)'=f' - g'
5) (f . g)'= f'.g + f.g'
en déduire (k.x)' = k
6) (fn)'= n . fn-1. f' '
7)
f f' g fg' g2 g
8)
f ' 2 f' f
si f = x :
x ' 2 1x
9) (sin x)' = cos x
et
(sin f)' = cos f . f'
10) (cos x)' = - sin x
et
(cos f)' = - sin f . f'
et
(tg f)' =
11) (tg x)' =
1 cos2 x
12) (cotg x)' =
1 sin 2 x
13) (arcsin x)’ = 14) (arcos x)’=
1 1 x2 1
1 x2 1 15) (arctg x)’= 1 x2
et
(cotg f)' =
f' cos2 f
f ' sin 2 f
et
(arcsin f)’ =
et
(arcos f)’=
et
f' 1 f 2 f '
1 f 2 f' (arctg f)’= 1 f 2
43
4.
EXERCICES
Exercice 1 : Calculer les dérivées suivantes :
1) x 3 x 2 1 ' 2) (2x)' = 3) (7x )' 2
4) (5x 3 )'
6) - x ' 7) - 3x ' 8) 4x 3x ' 5) - x 3 ' 2
7
2
9) x 33 '
8
16) x . x 1' - x3 x2 17) x 1' 3 2 x-2 18) ' x 3 2-x ' 19 ) x2 x2 1 ' 20 ) 9 - x2 21) cos(3x) '
10) - x 2 4 ' 22 ) sin(-2x²) ' 11) - x - 2.(x 3) ' 23) cos(3 - x) ' 12) - x - 2.5' 24 ) sin(5x² - 3x³) ' 13) 2x 2 x 1 ' = 25) cos(3x).si n(2x) ' 14) 3x ' = 26 ) cos 2 (3x) ' 1 27 ) sin³(-2x) ' 15) - x 2 ' 2
Exercice 2 : Calculer les dérivées des fonctions suivantes : 16) 1) 3x 1 2) x+2 2 3) x .x + 1 4) x 12 5) 3x 2 6) x 2 7) 9x 6 8) x 1 . 2x 1 2x 3 9) x 1 10) 2x 2 1 11) x 12) x
7
13) 3x 4 2 2 14) 3x 5
15)
x 5
17) 2x 12
18) 3x 2 1
3
19) x 12 .2x 3 20) (x 3 1) 1 21) x5 2 22) x4 23)
x
24) 7x 3 25) 4x 12 26)
3x 1
27) 4
x 1
28) 9x x 1 1 29) x 2 1 2
30) 3
x4
x3 x2 3 2
44
Exercice 3 : dériver les fonctions suivantes : 1) f(x) = cos (3x4 – 5x + 6) 2) f(x) = 6.sin (2t +
3) f(x) = -7.cos (
3 ) 4
.t ) 4 3
4) f(x) = 5.tg (3x + 8) 5) f(x) = arcos (3x² + 2) 6) f(x) = 2.arctg (1 – x³) 7) f(x) = cotg (7x – 4x²) 8) f(x) = arcsin (
1 ) x²
Exercice 4 Tracer les fonctions f(x) = x² et g(x) = x³. Dériver ces fonctions et tracer les fonctions dérivées obtenues sur les graphiques correspondants. Interpréter les résultats obtenus.
45
5.
DERIVEE PREMIERE ET CROISSANCE D‘UNE FONCTION
Pour rappel, la dérivée première en un point d’une fonction f(x) représente le coefficient angulaire ou la pente (mtangente) de la tangente à la fonction en ce point. -
si la fonction f(x) est croissante, m tangente > 0 et donc f ’(x) > 0
-
si la fonction f(x) est décroissante, m tangente < 0 et donc f ’(x) < 0
On peut donc en déduire que :
f étant une fonction dérivable dans l’intervalle I, f est croissante/décroissante dans I ssi Pour tout x I : f ’(x) >< 0
5.1.
Extremums : les maximums et les minimums
Considérons les 2 fonctions suivantes :
2
1 -3 4 Cette fonction est décroissante sur ]-, 4] et croissante sur [4, +[. La dérivée 1ère f’(x) est donc négative sur ]-, 4] et positive sur [4, +[. On repère sur le graphique l’existence d’un minimum au point (4,1).
D’une manière générale, f étant une fonction dérivable dans un intervalle comprenant a, f est minimum en a ssi f ’ change de signe en s’annulant en a en passant de valeurs négatives à des valeurs positives
Cette fonction est croissante sur ]-, -3] et décroissante sur [-3, +[. La dérivée 1ère f’(x) est donc positive sur ]-, 3] et négative sur [-3, +[. On repère sur le graphique l’existence d’un maximum au point (-3,2).
D’une manière générale, f étant une fonction dérivable dans un intervalle comprenant a, f est maximum en a ssi f ’ change de signe en s’annulant en a en passant de valeurs positives à des valeurs négatives
46
5.2.
Exercices
Etudier la croissance et les extremums des fonctions suivantes : a) b) c) d) e) f)
on calcule la dérivée f’(x) on cherche les signes de f’(x) on déduit la croissance de f(x)
f(x) = x2 - 5x + 6 f(x) = 2x + 3 f(x) = 3 - 2x f(x) = ax + b f(x) = ax2 + bx + c f(x) = -2x3 + 9x2 –12x –1
x2 x 1 x2 h) f(x) x3 1- x i) f(x) 3 x g) f(x)
j) f(x)
6.
x 2 2x 3 x
DERIVEE SECONDE ET CONCAVITE D‘UNE FONCTION
L’étude du signe de la dérivée seconde f ’’(x) d’une fonction f(x) permet d’obtenir des informations sur la concavité des fonctions. Marche à suivre Soit une fonction f(x),
on calcule f’’(x), on étudie le signe de f’’(x), si f’’(x) est positive, la concavité de f(x) est tournée vers les y positifs si f’’(x) est négative, la concavité de f(x) est tournée vers les y négatifs
A l’endroit où la dérivée seconde change de signe en s'annulant, la fonction change de concavité : il y a un point d’inflexion.
6.1.
Exercices
Calculer la dérivée seconde et déterminer la concavité des fonctions suivantes : 1) f(x)=x 3
5) f(x)=
2) f(x)= x2-5x+6 3) f(x)= -2x2 +3x 4) f(x)=
1 x
6) f(x)= 7) f(x)=
1 2
x x2 1
x 1 x 3 4x 2
8) f(x)= 9) f(x)=
x4 2x 1 5
1 x2
x2 1
47
En résumé : Accélération de la croissance : si f ' > 0 et f '' > 0 Ralentissement de la croissance : si f ' > 0 et f '' < 0 Accélération de la décroissance : si f ' < 0 et f '' < 0 Ralentissement de la décroissance : si f ' < 0 et f '' > 0 6.2.
Exercices graphiques
Exercice 1 Six récipients de même volume et de même hauteur sont remplis à l'aide de six robinets qui ont tous le même débit. Ces six récipients A, B, C, D, E et F sont des surfaces de révolution, dessinées ci-dessous :
A
B
C
D
E
F
La hauteur h de l'eau dans chacun des récipients varie en fonction du temps t, suivant les six graphiques que voici :
1
2
3
4
5
6 48
Exercice 2 : Interpréter les deux graphiques suivants en utilisant notamment la notion de dérivée.
Exercice 3 : sur le site www.xrenard.sup.fr , page math, 1ère TIM, clic sur "Exercices de détermination de dérivées à partir de la fonction (exercices graphiques)" Exercice 4 Une contraction musculaire peut être provoquée par la décharge d'un condensateur de capacité C; l'énergie électrique nécessaire est donnée par la formule : 𝑏 𝐸 = 5𝐶(𝑎𝑅 + )² 𝐶 où a, b et R sont des constantes positives dépendant du muscle considéré. Déterminer la valeur de C pour laquelle cette énergie présente un extremum. Vérifier qu'il s'agit d'un minimum.
49
7.
APPLICATION DES DERIVEES
7.1.
Vitesse instantanée
On définit la vitesse moyenne d’un objet comme étant un objet ayant effectué un déplacement x pendant un temps t. x vmoy = t Une vitesse instantanée est une vitesse moyenne où l’intervalle de temps est infiniment petit. C'est à dire, proche de zéro, sans égaler zéro. Pour obtenir une vitesse instantanée exacte, on doit effectuer un calcul de dérivation. La vitesse instantanée s’obtiendra en dérivant la fonction déplacement par rapport au temps. x dx = = x’(t) t 0 t dt
v(t) = lim
La valeur de la dérivée en en t = t1 de la fonction x(t) (déplacement en fonction du temps) donnera alors : -
l’intensité de la vitesse instantanée en t1, la pente de la tangente à la fonction x(t) en t1.
o
Si on a la fonction du déplacement par rapport au temps, on peut donc obtenir la valeur de la vitesse instantanée en dérivant cette fonction.
o
Si on a le graphique de cette fonction, sans connaître son expression algébrique, on peut donc obtenir la valeur de la vitesse instantanée en un point déterminé en mesurant la pente de la tangente à cette fonction en ce point.
Exemple Si le déplacement en fonction du temps se traduit au travers de la relation x(t) = 0,25.t²
la dérivée de x(t) = 0,25.t² donne x’(t) = 0,25.2.t = 0,5.t = v(t) le valeur de la dérivée en t = 2 s donne x’(2) = 1 la vitesse est donc de 1 m/s après un temps de 2 secondes.
Si le déplacement en fonction du temps se traduit au travers du graphique suivant : (représentant la relation x(t) = 0,25.t²) :
La mesure de la pente de la tangente en t = 2 s donne une pente de 1, c’est-à-dire que la vitesse est bien de 1 m/s après un temps de 2 secondes. 50
7.2.
Accélération instantanée
Il y a accélération lorsqu'un objet passe d'une vitesse initiale vi à une vitesse finale vf dans un intervalle de temps t. amoy =
v t
Où, v représente la différence de vitesse, soit vf - vi = v L'accélération instantanée est une accélération moyenne où l'intervalle t est proche de zéro, sans être égale à zéro. Pour obtenir une accélération instantanée exacte on doit effectuer un calcul de dérivation. L’accélération instantanée s’obtiendra en dérivant la fonction vitesse par rapport au temps. v dv( t ) = = v’(t) t 0 t dt
a(t) = lim
La valeur de la dérivée en en t = t1 de la fonction v(t) (vitesse en fonction du temps) donnera alors : -
La valeur de l’accélération instantanée en t1, la pente de la tangente à la fonction v(t) en t1.
o
Si on a la fonction de la vitesse par rapport au temps, on peut donc obtenir la valeur de l’accélération instantanée en dérivant cette fonction.
o
Si on a le graphique de cette fonction, sans connaître son expression algébrique, on peut donc obtenir la valeur de l’accélération instantanée en un point déterminé en mesurant la pente à cette fonction en ce point.
Exemple : La vitesse en fonction du temps se traduit au travers de la relation v(t) = 0,5.t
la dérivée de v(t) = 0,5.t donne v’(t) = 0,5 = a(t) on constate que l’accélération ne varie pas avec le temps l’accélération est donc constante et de 0,5 m/s².
La vitesse en fonction du temps se traduit au travers du graphique suivant : (représentant la relation v(t) = 0,5.t)
La mesure de la pente de la droite représentant la variation de la vitesse en fonction du temps donne une valeur de l’accélération de 0,5 m/s² (constante). 51
7.3.
Exercices
1) Trouver la valeur de la vitesse instantanée et la valeur de l’accélération instantanée au temps t = 3s pour les fonctions suivantes : a)
x(t) = 2t² + 5t – 9
b) x(t) = 0,5t² + 3
2) Trouver la valeur de la vitesse instantanée au temps t = 2s à partir du graphique suivant :
3) Trouver la valeur de l'accélération instantanée au temps t = 2 s à partir du graphique suivant :
4) L'équation du mouvement d'un oscillateur sinusoïdal est donnée par la loi : (l'argument du sinus est en radians) x = 4.sin(0,1.t + 15)
avec x en m et t en s.
Déterminer la position, la vitesse et l'accélération de ce mouvement en t = 5 s. 5) Un corps pesant 3 kg est animé d'un mouvement rectiligne d'équation x = 1 + t + t², la distance parcourue x étant exprimée en cm et le temps t en secondes. mv ² (en joules) de ce corps, 5 secondes après son départ. 2
a)
Calculer l'énergie cinétique
b)
Calculer son accélération après 10 secondes.
6) Déterminer l'équation de la tangente à la courbe y = x² - 2 au point x = 1 (vérifier graphiquement).
52
8.
DERIVEES PARTIELLES
Elles se définissent dans le cas de fonctions à plusieurs variables indépendantes. Soit f(x, y, z, t, ...) une fonction dépendant des variables x, y, z, t, ... f s'obtient en dérivant la fonction x par rapport à x, considérant, lors de cette opération, toutes les autres variables indépendantes y, z, t, ... comme étant des constantes.
La dérivée partielle de la fonction f(x, y, z, t, ...) par rapport à x, notée
On peut évidemment définir de manière analogue la dérivée partielle par rapport à y, à z, ... qu'on notera f f , , ... y z Soit par exemple la fonction : f(x, y, z, t) = x² + y² + xtz³. On aura :
f = 2x + tz³ x
f = 2y y
f = 3xtz² z
f = xz³ t
Exercices : Rechercher les dérivées partielles des fonctions suivantes : 1) f(x,y) = 3x² - 3xy² + sin 4x 2) f(x,y) = arctg (xy) 3) f(x,y) = 2x4y³ - xy² + 3y + 1 4) f(x,y,z) = 2x²y³z4 + 2 5) f(x,t) = A.sin (wt –kx) 6) V(r, h) = .r².h 7) f(x, t) = A.w.cos (wt – kx) 8) f(x, y, z, t) = 2x²t + 3 xyzt – 2x²y³z4 + t4z²y 9) f(x, y) = arcos (2x + y²) 10) f'(t, w) = -2 arctg (3t4 + w) 11) f(x, y, t) = -5 cos (6x²+ 3y + 2t) 12) f(x, t) = - cos (5t² – 2x)
53
9. 9.1.
DIFFERENTIELLE D'UNE FONCTION Introduction
Le système différentiel dans une voiture : Vu l'écart entre les roues, les distances que parcourent les roues extérieures et intérieures dans un virage sont légèrement différentes. Ceci implique une vitesse de rotation différente entre ces deux roues. Le différentiel permet à la roue extérieure de prendre, dans un virage, une vitesse supérieure à celle de la roue intérieure. Cela implique une petite variation de vitesse qu'on pourrait écrire en mathématiques "dv" (différentielle de v). 9.2.
Définition
Soit la fonction y = f(x), continue et dérivable sur un intervalle I. On appelle différentielle df de cette fonction f(x), le produit de la dérivée f '(x) de la fonction par l'accroissement de la variable indépendante dx. (dx représente un accroissement infiniment petit de la variable x)
dy = y'.dx
ou
df = f'(x).dx
On peut dire que la différentielle permet de calculer la légère variation (dy) que subit une fonction si la variable x varie d'une valeur assez petite (dx). Remarque : De la relation précédente on tire : f '(x) =
dy df dx dx
La dérivée f '(x) d'une fonction f(x) peut être considérée comme le rapport entre la différentielle df de la fonction et la différentielle dx de la variable. 9.3.
Interprétation géométrique de la différentielle
Soit une fonction f(x) et son graphique.
Pour une valeur quelconque x de la variable indépendante, la fonction prend une valeur f(x) et la dérivée f '(x) de la fonction en ce point représente le coefficient angulaire de la tangente MT au graphe, menée au point M d'abscisse x (c'est-à-dire tg α). Si on donne à la variable x un accroissement x, la fonction subit un accroissement : y = NP = f(x + x) – f(x). D'autre part, dans le triangle rectangle MNT, on a : NT = dy = MN.tg α = MN.f '(x) = x.f '(x)
54
On observe qu'il y a une différence entre dy et l'accroissement y de la fonction lorsque x croît d'une quantité x. Cependant, la figure montre que si x tend vers zéro (on dira dx) alors dy tend vers y. Plus l'accroissement de la variable est petit, plus dy se rapproche de l'accroissement y de la fonction. Remarque : dy représente l'accroissement qu'on observerait si la fonction était linéaire. C'est une forme simplifiée de y.
9.4.
Différentielle d'une fonction de plusieurs variables
La différentielle d'une fonction f de plusieurs variables (par exemple x, y et z) est donnée par la formule :
df
f f f dx dy dz x y z
Cette formule est utilisée notamment en physique dans les théories de calculs d'erreur. 9.5.
Exemples d'utilisations de la différentielle
1) Le calcul de la différentielle permet un calcul approché mais simple et rapide de l'accroissement d'une fonction donnée. Soit la fonction f(x) = y = x². Calcul de la différentielle dy : dy = f '(x). dx = 2x. dx Calcul de y : y = f(x + x) – f(x) = (x + x)² - x² = x² + 2x.x + (x)² - x² = 2x.x + (x)² Si x est petit, (x)² est encore beaucoup plus petit et donc dy tend vers y. 2) Soit la fonction f(x) = y = x² + x + 1 et faisons varier x de 2 à 2,01. Calcul de la différentielle dy : dy = f '(x). dx = (2x + 1). dx = 5.0,01 = 0,05 Calcul de y : y = f(x + x) – f(x) = [(x + x)² + (x + x) + 1] – [(x² + x + 1)] = x² + 2x.x + (x)² + x + x + 1 – x² - x - 1 = 2x.x + (x)² + x = (2x + 1). x + (x)² = 0,0501 Si l'accroissement x était encore plus petit, le terme (x)² deviendrait négligeable et la différentielle dy serait encore plus proche de l'accroissement y. 3) Soit A, l'aire d'un disque de rayon r = 10 cm. Quelle est l'augmentation de l'aire du disque associée à un petit accroissement du rayon r = 1 mm ? (par calcul de la différentielle dA et par calcul direct de A) 9.6.
Exercices sur les différentielles
1) De combien se modifie le volume d'une sphère de 10 cm de rayon lorsque ce dernier augmente de 1 mm? 2) Les côtés d'un cube de métal doivent avoir une longueur de 5 cm. Le constructeur donne, pour les mesures de longueur, une tolérance de 0,001 cm. Quelle est la tolérance, exprimée en cm³ pour le volume du cube ? 3) On mesure le rayon d'un ballon sphérique et on trouve 30 cm. Sachant que l'imprécision ne dépasse pas 0,1 cm, quelle sera l'erreur maximale sur le volume de la sphère ? Estimer l'erreur relative (en %).
55
4) De combien augmente le volume d'un cylindre de 8 cm de hauteur et de 3 cm de rayon lorsque sa hauteur augmente de 0,2 cm et son rayon de 0,1 cm ? 5) La hauteur du cylindre de l'exercice précédent augmente de 0,2 cm. De combien faut-il modifier son rayon pour que son volume ne varie pas? 6) Soit la fonction f(x) = sin x. Déterminer par la méthode des différentielles l'accroissement de cette fonction si x augmente d'un angle . Que peut-on en déduire si x = 0 ?
56
CHAPITRE 4 : FONCTIONS EXPONENTIELLES ET LOGARITHMES 1.
INTRODUCTION
Les fonctions exponentielles et logarithmes sont des fonctions très importantes qui permettent de modéliser de nombreux phénomènes dans des domaines très variés. Citons par exemple :
La désintégration de noyaux radioactifs en physique,
Le calcul des intérêts composés, en sciences économiques,
Le pH en chimie,
L'échelle décibel en acoustique,
L'évolution d'une population dans certaines conditions en sciences humaines,
La magnitude d'un séisme en sismologie, ... "Malheureusement pour Constantin, l'empire Romain, était alors en proie à une grande agitation religieuse. Au cours des trois siècles suivant la crucifixion de Jésus, le nombre de ses disciples avait connu une croissance exponentielle"
2.
LA FONCTION EXPONENTIELLE DE BASE A : F(X) = AX
Extrait du roman "Da Vinci Code", écrit par Dan Brown en 2003.
Exemple introductif Une population de bactéries augmente de 50 % toutes les heures. Au moment de l’observation (à midi), il y a 100 bactéries. Ecrire la fonction qui permet de modéliser la réalité. Faire un graphique en considérant que l’origine du temps (t = 0) est à midi. Temps t (h) Nombre de bactéries n
10h
11h
12h
13h
14h
15h
16h
17h
18h
19h
20h
100
Questions : a) b) c) d)
Détermine dom f, Iox, Ioy, croissance, asymptotes et tableau de signes. Quel sera le nombre de bactéries au bout de 12 heures ? Quel était le nombre de bactéries à 4 heures ? Après combien de temps environ a-t-on 1000 bactéries ?
57
Autres exemples 1) Durant une sécheresse de cinq semaines, le volume d’eau d’un étang diminue du quart de sa contenance toutes les semaines. Au départ, l’étang contenait 4000 m3 d’eau. Comment évolue la quantité d’eau de l’étang en fonction du temps ? Faire un graphique. Questions : a) Déterminer dom f, Iox, Ioy, croissance, asymptotes et tableau de signes. b) D’après le graphique, quand le volume d’eau de l’étang a-t-il diminué de moitié ? c) Après combien de temps l’étang sera-t-il asséché ? Que pensez-vous dès lors de cette fonction ? 1 2) Dans un système d’axes, tracer points par points les fonctions f(x) = 2x, f(x) = ( ) x 2 Dans un autre système d’axes, tracer points par points la fonction f(x) = 3x. 1 En déduire le graphique de la fonction f(x) = ( ) x . 3 Déterminer dans chaque cas, le dom f, la croissance, les intersections avec les axes (graphiquement et par calcul), les équations des asymptotes et le tableau de signes de la fonction. 2 3) Tracer les fonctions f(x) = (0,4)x, f(x) =(1,5)x. En déduire les graphiques des fonctions f(x) = (2,5)x et ( ) x . 3 Déterminer dans chaque cas, le dom f, la croissance, les intersections avec les axes (graphiquement et par calcul), les équations des asymptotes et le tableau de signes de la fonction.
3.
QUELQUES CARACTERISTIQUES DE LA FONCTION EXPONENTIELLE f(x) = y = ax.
Grâce aux exemples et exercices précédents, on peut faire les constatations suivantes:
les fonctions de type ax prennent toujours des valeurs positives. (elles sont donc toujours tracées au-dessus de l’axe des x)
l’axe des x est toujours une AH (y =0).
si a > 1, la fonction est croissante, on parle de croissance exponentielle.
si 0 < a < 1, la fonction est décroissante, on parle de décroissance exponentielle.
Toutes les fonctions exponentielles passent par les deux points (0, 1) et (1, a)
58
4.
EXERCICE DE DETERMINATION DE L'EXPRESSION ANALYTIQUE DE FONCTIONS EXPONENTIELLES
1) Une population comptait 5000 habitants en 1985. Elle augmente de 0,4 % par an. Ecris la fonction qui représente l’évolution de la population p en fonction du nombre d’années x. (remarque : en 1985, x = 0) 2) La population d’une ville est de 100 000 personnes; elle augmente chaque année d’une unité par 20 habitants. Ecris la fonction qui représente l’évolution de la population p en fonction du nombre d’années x. 3) Un capital de 1500 euros augmente de 22 % par an. Ecris la fonction qui représente l’évolution du capital C en fonction du nombre d’années x. 4) La valeur d’une voiture coûtant à l’achat 10 000 euros (prix catalogue) diminue de 12, 5 % par an. Ecris la fonction qui représente l’évolution de la valeur de la voiture V en fonction du nombre d’années x. 5) Un enfant désire recevoir 1 cent d’argent de poche le premier jour du mois. Le 2 ème jour, ce montant sera doublé et ainsi de suite jusqu’au 30ème jour du mois. Ecris la fonction qui représente l’évolution de l’argent de poche A en fonction du nombre de jours x. Combien d’euros recevra-t-il le dernier jour du mois ? 6) Une chemise est soldée à 30 %. Par combien faut-il multiplier sa valeur pour obtenir le prix soldé ? 7) Un salaire diminue de 0,55 %. Par combien faut-il le multiplier pour obtenir le nouveau salaire ? 5.
ETUDE MATHEMATIQUE DE LA FONCTION EXPONENTIELLE f(x) = ax
On admettra que la fonction exponentielle de base a, f(x) = a x n'est définie que pour a strictement positif et différent de 1. Remarquons que: - si a = 1, on a f(x) = 1 pour tout réel x. - si a = 0, on a f(x) = 0 pour tout réel x non nul. 1) dom f = R et a R0+\{1} f(-x) = a-x -f(x) = -ax ni paire ni impaire pas de symétrie orthogonale d'axe y ou centrale.
2) Parité :
3) Intersection avec les axes : Avec l’axe des x : f(x) = 0 ax = 0 impossible pas d’intersection Avec l’axe des y : x = 0 a0 = 1 (0, 1) 4) AV : pas d'AV car dom f = R. 5) AH :
lim f ( x) lim a
lim f ( x) lim a
si a 1
0 si 0 a 1 0 si a 1
si 0 a 1 AH : y 0 à gauche si a 1 et à droite si 0 a 1
6) pas d’AO
59
7) f'(x) = ax.lna si a > 1 :
x f ' ( x)
si 0 < a < 1 :
x f ' ( x)
8) f''(x) = ax.ln²a
x f ' ' ( x)
9) Exemples de graphiques : f(x) = 2x et g(x) = ( ½ )x .
5.1.
Exercices x
1 Réaliser les études complètes des fonctions f(x) = 3x, f(x) = , f(x) = 1,5x, f(x) = 4x. 3
60
6. 6.1.
CAS PARTICULIER IMPORTANT : LA FONCTION ex (EXPONENTIELLE NEPERIENNE) Introduction:le nombre e
La découverte du nombre "e" date d'il y a seulement deux siècles. C'est un nombre particulier qui comme fait partie des nombres transcendants.
e = 2,718281828... La notation ex qui représente l'exponentielle en base e (appelée exponentielle népérienne) a été utilisée pour la première fois par le mathématicien Leonhard Euler, en 1728. On peut vérifier à la calculatrice que:
e 1
1 1 1 1 ... 1! 2! 3! 4!
mais aussi
1
e2
1
1
2
2 3 7.
3 4 ...
ETUDE MATHEMATIQUE DE LA FONCTION f(x) = ex
1) dom f = R f(-x) = e-x -f(x) = -ex ni P ni I pas de symétrie orthog. ou centrale. 2) Parité :
3) Intersection avec les axes : Avec l’axe des x : f(x) = 0 ex = 0 impossible pas d’intersection Avec l’axe des y : x = 0 e0 = 1 (0, 1) 4) AV : pas d'AV car dom f = R. 5) AH :
lim f ( x ) lim e
lim f ( x ) lim e 0
AH : y 0 6) pas d’AO 7) Dérivée 1ère : f '(x) = ex pas de racine, toujours strictement positive. 8) Dérivée 2de : f ''(x) = ex pas de racine, toujours strictement positive.
61
9) Tableau récapitulatif :
x f ' ( x) f ' ' ( x) f ( x)
0 AH
0 1
e 1
10) Graphique
8.
DERIVEES DE FONCTIONS EXPONENTIELLES
On a déjà vu que : (ax)' = ax.ln a
(ex)' = ex
Si l'exposant est différent de x, les formules de dérivation deviennent :
(au)' = au.ln a.u'
(eu)' = eu.u'
62
9.
EXERCICES DIVERS SUR LES FONCTIONS EXPONENTIELLES
EXERCICE 1 Le nombre de fleurs de nénuphars de cet étang double chaque jour. Aujourd'hui, la première fleur est apparue. 1) Combien y aura-t-il de fleurs dans trois jours ? Et dans cinq jours ? Et dans huit jours ? 2) Combien de fleurs y aura-t-il dans x jours ? (x > 0) 3) Représente graphiquement la fonction f(x) définie par : "le nombre de fleurs qu'il y aura dans x jours en fonction de x". 4) Lire sur le graphique la réponse à la question: "dans combien de jours y aura-t-il plus de mille fleurs de nénuphars ?" EXERCICE 2 Le taux de l'inflation est actuellement d'environ 1,2 % par an. Cela signifie qu'en un an, le prix moyen des biens de consommation augmente de 1,2 %. 1) 2) 3)
Si une marchandise coûte aujourd'hui 1000 =; C , combien coûtera-t-elle dans un an ? Et dans deux ans ? Dans trois ans ? Quel sera en fonction de x, le prix de cette marchandise dans x années ? Quel sera le prix dans x années d'une voiture coûtant aujourd'hui 125000=; C ? Et celui d'un bien valant actuellement C =; C ?
EXERCICE 3 1) 2) 3) 4)
Un salaire diminue de 2 %. Par combien est-il multiplié ? Le prix de l'essence diminue de 1 %. Par combien est-il multiplié ? Par combien faut-il multiplier un prix pour le diminuer de 25 % ? Et de x % ? Une matière radioactive perd 50 % de son activité tous les 7,6 jours. Par combien a-t-elle été multipliée au bout de 15,2 jours ? Et au bout de 22,8 jours ? Et après 1 jour ? Et après x jours ?
EXERCICE 4 Le nombre de bactéries d'une culture passe de 600 à 1800 en deux heures. En supposant que le taux de croissance est directement proportionnel au nombre de bactéries présentes, on demande de trouver: a) Une formule qui permet de calculer le nombre de bactéries n en fonction du temps t. b) Le nombre de bactéries après 4 heures. EXERCICE 5 Le radium se désintègre selon une loi exponentielle et sa demi-vie ou période - temps durant lequel la moitié des atomes initialement présents se désintègre - est d'environ 1600 ans. a) Trouver une fonction qui donne ce qu'il reste de 50 mg de radium pur après t années. b) Quand restera-t-il 20 mg de radium? EXERCICE 6 : LE SIDA ET L'EXPONENTIELLE L'office mondial de la Santé a publié des statistiques donnant l'évolution de la maladie du sida dans le monde. De 1984 à 1987, le nombre de malades était décrit par une fonction exponentielle f(t) =e 0,77t+6 où la variable t représente le nombre d'années depuis 1984. 1) Calcule le nombre de personnes atteintes par la maladie en 1985, en 1986 et en 1987. Que constates-tu du point de vue de la variation cette fonction f ? 2) Représente graphiquement cette fonction. 3) Calcule par tâtonnements, le nombre d'années nécessaires pour que le nombre de malades dépasse 1 202 604 ?
63
EXERCICE 7 Quelques questions : 1) Dans le cas de la fonction f(x) = ax, quelles sont les valeurs possibles pour "a" ? 2) La fonction f(x) = ax est-elle toujours croissante ? 3) La fonction f(x) = ax est-elle toujours strictement positive ? 4) Quelle est la valeur de la base dans le cas de l'exponentielle népérienne ? 5) Quel est le dom f d'une fonction exponentielle ? 6) Les fonctions exponentielles passent toujours par les deux points : ……………………… 7) Quel est la fonction obtenue par symétrie orthogonale d'axe y de la fonction f(x) = 9x ? 8) Quelle est l'expression analytique d'une fonction exponentielle passant par le point (1, 4) ? 9) Si une fonction exponentielle passe par le point (1, 10), elle passe nécessairement par le point (-1, ???). EXERCICE 8 Observe le graphique suivant: a) De quelle fonction f(x) la courbe dessinée est-elle le graphique ? b) Détermine son dom f. c) Calcule une valeur approchée de la racine de f(x). d) Que valent:
lim f ( x) =
x
lim f ( x ) =
x 1
lim f ( x) =
x
lim f ( x ) x 0
64
EXERCICE 9 : LE PROBLEME DU TONNEAU Un tonneau se vide d'un dixième de sa contenance chaque jour. 1) S'il contient C litres aujourd'hui, combien en contiendra-t-il demain ? Et dans trois jours ? Et dans cinq jours ? 2) Combien de litres contiendra-t-il dans x jours ? (x > 0) 3) Représente graphiquement les trois fonctions définies par: "le nombre de litres V contenus dans le tonneau dans x jours en fonction de x" pour C=50 litres, C= 100 litres et C=200 litres. 4) Pour les trois courbes, dans combien de jours le tonneau sera-t-il vidé de moitié ? 5) A l'aide d'une calculatrice, améliore l'approximation lue sur le graphique. EXERCICE 10 Un étang artificiel contenant 30000 litres d'eau pure est destiné à la pisciculture. A un moment donné, une eau polluée à 4 % par du purin se déverse dans l'étang de façon continue à la vitesse moyenne de 150 litres à l'heure. On suppose qu'à partir de ce même moment l'étang laisse échapper son liquide à la même vitesse. L'écologiste désire connaître à tout moment le pourcentage de purin présent dans l'eau de l'étang. Si on appelle y(t) le volume de purin se trouvant dans l'étang à l'instant t, et si on suppose que t = 0 correspond à l'instant où le phénomène commence, l'équation représentant le phénomène est donnée par : y(t) = 1200.(1 - e-0,005.t) a) b) c)
(t en heures)
Montre que cette fonction représente bien le phénomène à étudier. Trace le graphique. Interprète ce graphique. Calcule f '(t) et f ''(t).
65
10. LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN: F(X) = LN X 10.1. Introduction On retrouve le symbole "ln" (logarithme népérien) sur toutes les calculatrices scientifiques. A l’aide de la calculatrice, déterminons l’ensemble des valeurs de x pour lesquelles la fonction ln x est définie. (c'est-à-dire son dom f) x
-4
-3
-2
-1
0
1 2
1 3
2 3
1
2
3
4
ln x Constatations: f(x) = ln x est définie pour tout x R0+
dom f = R0+
CONSEQUENCE IMPORTANTE : On ne peut pas faire le logarithme népérien d’un nombre négatif. On ne peut pas faire le logarithme népérien de zéro.
10.2. Tracé points par points de la fonction ln x
10.3. Etude de la fonction ln x A partir du graphique obtenu, on peut déterminer certaines propriétés de ln x : a)
dom f = R0+ (voir graphique)
b) Parité : ni P ni I (voir graphique) c)
Intersection avec les axes Axe des X : ln x = 0 x = 1 (voir graphique) Axe des Y : ln 0 n’existe pas pas d’intersection
d) A.V. :
lim f ( x)
x 0
A.V. : x = 0
66
A.H. :
f)
A.O. : pas d'AO.
g)
f ' ( x) (ln x)'
h)
f ' ' ( x)
i)
x
x 1 x
1 x
x 1
1 x2
x2
0 ///
0 /// -
-
-
Tableau récapitulatif
x f ' ( x) f ' ' ( x) f ( x)
j)
pas d’A.H.
lim f ( x)
e)
0 /// /// ///
Graphique
Exercices supplémentaires : Tracer les fonctions 2ln x, ½ ln x, ln x + 3, … par exemple.
10.4. Dérivée de la fonction ln x
On a vu que (ln x)'
1 pour tout x R 0 . x
D' une manière générale : ln u(x) '
u ' ( x) u ( x)
pour tout x tel que u(x) 0
Exercices :
ln(4x
2
3x 1) '
8x 3 4x 3x 1 2
ln(cosx) ' sinx tgx cosx
ln(- x )' impossible car -
ln(3x ' 36xx 2
2
x 0
2 x
...
67
10.5. Propriétés de la fonction ln x Propriété 1 :
Pour tout a, b R0+, ln(a.b) = ln a + ln b
Ex. : ln2x = ln 2 + ln x Pour tout aq R0+, ln(aq) = q.ln a
Propriété 2 : Ex. : ln (x2) = 2.ln x Propriété 3 :
Pour tout a, b R0+, ln
a = ln a - ln b b
Conséquence des propriétés 2 ou 3 : Pour tout a R0+, ln(
1 ) = ln a-1 = - ln a a
Remarques importantes : ln 1 = 0
ln e = 1
ln e² = 2
...
Un logarithme népérien peut être négatif (si 0 < x < 1) mais on ne peut pas faire le logarithme népérien d’un nombre négatif.
10.6. QCM sur la fonction logarithme népérien 1) Combien l'équation ln(x²-3) = 0 admet-elle de solutions ? (a) aucune
(b) une
(c)
deux
2) La fonction f est définie par : f(x) = ln(3x-2) – ln (6x + 1). Que vaut la limite de f(x) lorsque x tend vers + ? (a) -
(b) 0
3) Soit f(x) =
(c) –ln(2)
1 ln x . Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont vraies ?
(a) dom f = ]0 , e[ 4) Soit f(x) = ln f? (a)
2x x² 1
(b) dom f = [0, e[
(c) dom f = ]0, e]
x² 1 1 . Parmi les fonctions suivantes, lesquelles peuvent prétendre incarner la dérivée de
(b)
2x x² 1
+1
(c)
x x² 1
1 5) Soit f(x) = ln . Que peut-on dire de la limite de la fonction f en + ? x² x 1 (a) -
(b) 0
(c) +
68
11. LA FONCTION LOGARITHME DE BASE a : f(x) = logax 11.1. Introduction La fonction logarithme de base a, notée logax avec x R0+ est définie par logax =
ln x . ln a
Pour que logax soit définie, il faut que a R0+\{1}. Remarque. : si a = 1, log1 x =
ln x ln x impossible . ln 1 0
En particulier, si a = 10, log10x est appelé « logarithme décimal ». C’est celui qu’on retrouve sur les machines à calculer. De même, si a = e, logex = ln x 11.2. Propriétés de la fonction logax
Propriété 1:
Pour tout x, y R0+, loga (x.y) = loga x + loga y
Ex. : loga2x = loga 2 + loga x Propriété 2 : Pour tout xq R0+, loga (xq) = q. loga x
Ex. : loga (32) = 2 loga 3 Propriété 3 : Pour tout x, y R0+, loga
x = loga x - loga y y
Remarques importantes : logaa = 1
et loga1 = 0
(à retrouver à partir de la définition de logax)
On a aussi : logaa² = 2
......
logex = ln x En effet,
log e x
ln x ln x ln e
69
11.3. Dérivée de la fonction logax Pour tout x R0+,
(logax)’=
1 x ln a
'
1 1 1 ln x . En effet, (logax)’= ln a ln a x x ln a D’une manière générale :
(loga u(x))’=
u ' ( x) u ( x) ln a
11.4. Exercices :
1) log 3 2 x 1'
2 2 x 1. ln 3
x
2x
'
2) log10 x 2 4
2
4 .ln 10
11.5. Graphique de la fonction logax Remarque : Il est important de repartir de la définition de log ax =
ln x pour trouver les asymptotes. ln a
1) dom f = R0+ et a R0+ /{1} 2) Parité : loga(-x) n’existe pas si x R0+ ni P ni I pas de symétrie orthog. ou centrale. 3) Intersection avec les axes : 4) Avec l’axe des x : y = 0 logax = 0 x = 1 Avec l’axe des y : x = 0 loga 0 = impossible pas d’intersection 5) AV : Si a > 1 lim f ( x) lim 0
0
ln x car a 1 lna 0 ln a
A.V. x 0
Si 0 < a 1 lim f ( x ) lim
ln x car a 1 lna 0 ln a
pas d' AH
Si 0 < a
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