Cours de maths - Terminale ES - Probabilités : lois à

Lois de probabilité à densité www.mathmaurer.com – Cours – terminale ES I – Loi à densité sur un intervalle Contrairement à une variable aléatoire discrète, une variable aléatoire continue X prend un nombre infini de valeurs dans un intervalle de . Exemple de variable aléatoire continue On lance une flèche sur une cible de rayon 1 mètre et on mesure la distance d entre le point d'impact et le centre de la cible (en mètres). Le réel d peut prendre une infinité de valeurs dans l'intervalle  0;1 . (On suppose que l'on dispose d'un outil de mesure "aussi précis que nécessaire".) Définition 1: On appelle fonction de densité sur un intervalle  a ; b , a  b , une fonction f telle que : • f est continue sur  a ; b  • Pour tout x   a ; b , f ( x)  0 •



b

f ( x)dx  1

a

 Définition 2: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité

f sur  a ; b  . On dit que P est la loi de probabilité de densité f lorsque pour tout intervalle

c ; d  inclus dans  a ; b , P  X  c ; d  est l'aire sous la courbe Cf

représentative de f limitée

par les droites d'équations x  c et x  d . .

Cf P  X   c ; d  



d

f ( x)dx

c

 y  2x

 Propriété 1: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f sur  a ; b  . (1) Pour tout c ; d    a ; b , 0  P  X  c ; d   1 et P  X   a ; b  (2) Pour tout c   a ; b , P  X  c   0 et P  X  c   P  X  c 



b

f ( x)dx  1

a

(3) Si c ; d   e ; f    alors P  X  c ; d   e ; f   P  X  c ; d   P  X  e ; f  (4) Pour tout c   a ; b , P  X   a ; c   P  X  c ; b  1 

II – Loi uniforme La loi uniforme modélise l'expérience aléatoire qui consiste à choisir un réel au hasard dans un intervalle  a ; b  . On déduit de l'activité 2 la définition suivante. Définition 3: On dit qu'une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur  a ; b  lorsqu'elle admet comme densité de probabilité la fonction f définie sur  a ; b  par :

Cf f ( x) 

1 , ab ba a

b

Propriété 2: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  . Pour tout c ; d    a ; b , P  X   c ; d  

d c ba

 III – Espérance mathématique d'une variable aléatoire Définition 4: Soit X une variable aléatoire continue à valeurs dans  a ; b  , munie d'une fonction de densité f sur  a ; b  . On appelle espérance mathématique de X le nombre E ( X ) tel que: E( X ) 



b

x f ( x) dx

a

 Propriété 3: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur  a ; b  .

E( X ) 

ab 2

IV – Loi normale centrée réduite Définition 5: On dit qu'une variable aléatoire continue suit la loi normale centrée réduite, notée  (0 ; 1), lorsqu'elle a pour densité la fonction f définie sur par :

f ( x) 

1 2

Cf

x2  e 2

Remarque : La fonction de densité de la loi normale centrée réduite f : x

1



x2 2

e n'a pas de primitive 2 explicite. On utilise donc la calculatrice pour calculer une aire sous cette courbe.



 Remarque : La courbe Cf est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées donc :

P( X  0)  P( X  0)  0,5 Conséquence : P( X  2)  P( X  0)  P(2  X  0)  0,5  0, 48  0,02 P( X  1)  P( X  0)  P(0  X  1)  0,5  0,34  0,84  V – Loi normale Définition 6: On dit qu'une variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) lorsque la variable aléatoire

X 



suit la loi normale centrée réduite  (0 ; 1).

Remarques : • La fonction de densité de la loi normale  ( ; 2) est la fonction f : x

1

 2

1  x     e 2  

2

.

• La courbe représentative de f est symétrique par rapport à la droite d'équation x   . x

Propriété 4: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors son espérance est : E( X )   Définition 7: Soit X une variable aléatoire qui suit la loi normale  ( ; 2). On appelle écart-type de X le nombre noté  et variance de X le nombre noté V ( X ) tel que :

V (X )   2 

Interprétation de l'écart-type Plus l'écart-type  est grand, plus les valeurs de X sont dispersées autour de l'espérance  .

 1

  1,5

 3

Propriété 5: Si la variable aléatoire continue X suit la loi normale  ( ; 2) alors : P(     X     )  0, 68 P(   2  X    2 )  0,95 P(   3  X    3 )  0,997 