Cours de probabilite - Benedicte FONTEZ / NGUYEN THE

Cours de Probabilité 1. Rappels sur la théorie des ensembles Définition Soit deux ensembles A et B. On note : A ∪ B leur union A ∩ B leur intersection A le complémentaire de l’ensemble A A ⊂ B signifie que l’ensemble A est contenu dans l’ensemble B A ⊄ B signifie que l’ensemble A n’est pas contenu dans l’ensemble B On utilise les accolades { } pour désigner un ensemble ∅ désigne l’ensemble vide Illustration :

A

B 2

C

5

3 6 4

1

L’espace étudié correspond aux chiffres 1 à 6. Dans cet espace on définit A = {2,4,6} comme l’ensemble des chiffres pairs et B = {3,6} celui des multiples de 3.

A ∪ B = {2,3,4,6} A ∩ B = {6} A = {1,3,5} = ensemble des chiffres impaires B ⊄ A, l’élément {3} ne fait pas parti de A

Propriétés sur les ensembles Commutativité : A ∪ B = B ∪ A Associativité : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) Distributivité : A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Transitivité : A ⊂ B et B ⊂ C fl A ⊂ C  A∪ B= A ∩ B  du Complémentaire :  A∩ B= A ∪ B  A⊂ B⇒ B ⊂ A Illustration suite : B ∪ C = {1,3,5,6} d’où A ∩ (B ∪ C) = {6}

(A ∩ B) = {6} et (A ∩ C) = ∅ d’où (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) = {6} A∪B ={1,5]

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A = {1,3,5} et B = {1,2,4,5} d’où A∩B = {1,5}

2. Rappels sur les dénombrements Permutations Permutations de n individus sur n places : n ! = n× (n-1) × (n-2) ×…× 3× 2× 1 0 ! = 1 par convention Illustration : Dans une salle de classe de 8 places, 8 étudiants (E1, E2, …, E8) peuvent s’asseoir où ils veulent. Le nombre de configurations possibles pour placer les 8 étudiants est de 8 ! = 8× 7× 6× …× 1 = 40320. Le premier élève qui arrive (E1) a 8 possibilités Le second (E2) en a 7 Etc. Le dernier (E8) n’a plus le choix, il a une seule place Examinons le cas des deux premiers étudiants en détail : E1 a 8 possibilités, représentées ci-dessous et pour chacune E2 a 7 places possibles. Donc, on compte pour E1 et E2 : 7+7+7+7+7+7+7+7 = 8× 7 possibilités de les placer dans la classe.

E1

E1

E1

E1

E1

E1

E1

E1

Le raisonnement se poursuit ainsi de suite jusqu’à E8.

Arrangements Arrangements de k individus sur n places : Ank = n! (n−k)! Illustration suite :

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Au lieu d’avoir 8 élèves, seulement k=2 élèves viennent. Le nombre de configurations possibles pour placer les k=2 étudiants sur les n=8 places de la classe est d’après le calcul précédent de 8×7. Dans l’arrangement, on enlève les permutations dues aux 6 élèves absents, soit :

8! = 8×7×6×5×4×3×2×1=8×7 = 56 (8−2)! 6×5×4×3×2×1

Combinaisons

Combinaisons de k individus sur n places : Cnk =

n! k!(n−k)!

Illustration suite : Les personnes ne sont plus identifiées (l’ordre n’est plus pris en compte). On a k=2 élèves présents. Dans la combinaison, on enlève les permutations des élèves absents et les permutations des k=2 individus sur les mêmes places, ce qui correspond respectivement aux termes (n-k) ! et k ! du dénominateur. En effet : E1

E2

E2

E1

Correspond à une seule configuration, car on ne tient plus compte de l’ordre (1,2,…8) E

E

Au final, on compte : 8×7×6×5×4×3×2×1= 8×7 =4×7=28 possibilités.

2×1×6×5×4×3×2×1 2×1

3. Probabilités Définition d’une expérience aléatoire

Une expérience est aléatoire si son résultat n’est pas connu à l’avance. Une issue ou une réalisation est le résultat observé d’une expérience aléatoire Un évènement désigne toute assertion basée sur le résultat d’une expérience aléatoire On note Ω l’ensemble des résultats d’une expérience aléatoire Un évènement élémentaire (ou fondamental) désigne un élément de Ω On définit : ∅ est un évènement impossible Ω est un évènement certain Deux évènements A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅ Illustration : L’utilisation d’un dé est une expérience aléatoire. Prenons un dé à 6 faces, alors Ω = {1,2,3,4,5,6}. On définit deux évènements : A= « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 » B= « l’issue du jet de dé est un chiffre pair » A ={1} est un évènement élémentaire, B = {2,4,6} est un évènement. Comme A ∩ B = ∅, les deux évènements sont incompatibles. En effet, le résultat du jet de dé ne peut pas être à la fois pair et égal à 1.

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Définition d’une probabilité

Soit A, un ensemble de parties de Ω, et (A, Ω) un espace probabilisable, on appelle probabilité l’application, notée P(.) de A dans [0,1] :P : A →[0,1] a → P(a) Telle que : P(Ω) = 1 Deux évènements a ∈ A et b ∈ A étant incompatibles alors P(a ∪ b)=P(a) + P(b) La dernière condition se généralise : Soit (an)n>0 une suite d’évènements incompatibles 2 à 2, alors P(∪n>0 an) = ∑n>0 P(an), où ∪n>0 an = a1 ∪ a2 ∪…∪ an ∪ an+1 ∪… (union de tous les évènements de la suite) ∑n>0 P(an) = P(a1) + P(a2) +…+ P(an) + P(an-1) +… (somme de toutes les probabilités des évènements de la suite) Illustration : Trois exemples d’espaces probabilisables pour le lancé de dé, où Ω = {1,2,3,4,5,6} : A = {∅,Ω} A =P(Ω) = l’ensemble de toutes les parties de Ω ={∅,{1},{2},{3},{4},{5},{6},{1,2},{1,3},…,{5,6},{1,2,3},…,{4,5,6},{1,2,3,4},…,{3,4,5,6},{1,2,3,4,5},…,{2,3,4,5,6},Ω} A = {∅,{2,4,6},{1,3,5},Ω} Dans le dernier cas, A = {∅,pair={2,4,6},impair={1,3,5},Ω}, on considère seulement les évènements pairs et impairs P(pair) = probabilité que l’issue appartienne à {2,4,6}= 3 chiffres pairs /6 possibilités=1/2 De même P(impair) =1/2 P(Ω) = P(pair ∪ impair) = P(pair) + P(impair) = 1/2 + 1/2 =1.

Propriétés

Soit a ∈ A et b ∈ A P( a ) = 1 –P(a) P(∅) = 0 a ⊂ b ⇒ P(a) ≤ P(b) P(a ∪ b) = P(a) + P(b) – P(a ∩ b) a et b sont incompatibles si et seulement si P(a ∩ b) = 0 Equiprobabilité

Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), la probabilité d’un évènement a ∈ A, quand Ω est un ensemble fini dont les éléments sont équiprobables vaut P(a) = Card(a)/Card(Ω). Card(a) est le cardinal de l’ensemble a, ce terme désigne le nombre d’éléments de a. Illustration : Prenons un dé à 6 faces, alors Ω = {1,2,3,4,5,6}. On définit deux évènements : A= « l’issue du jet de dé est le chiffre 1 » B= « l’issue du jet de dé est un chiffre pair »

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Card(Ω) =6 est un nombre fini, si le dé n’est pas pipé, on peut appliquer le raisonnement d’équiprobabilité, P(A) =Card(A)/Card(Ω) = 1/6 et P(B) = 3/6=1/2. A et B sont deux évènements incompatibles et P(A ∩ B) = P(∅) = 0.

Probabilité conditionnelle

Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), la probabilité conditionnelle d’un évènement b∈ A sachant P(a∩b) a ∈ A se note P(b/a) ou Pa(b) et vaut P(b/ a)= . P(a) Remarque : Cette équation peut aussi s’écrire sous la forme : P(a∩b)= P(a /b)×P(b)= P(b/ a)×P(a) , qui se généralise pour n évènements a1,…,an ∈ A : P(a1 ∩ a2 ∩ …∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) ×P(a2/a1) ×…×P(an-1/a1,a2,…,an-2)×P(an/a1,a2,…,an-2,an-1) Illustration :

Ω

A

B 2

C

5

3 6 4

1

Reprenons le jeu du dé à 6 faces, dans l’espace probabilisé (P(Ω),Ω,P) avec trois évènements A = {2,4,6}, B={3,6} et C={5,1}. Nous sommes dans le cadre de l’équiprobabilité et P(A) = 1/2, P(B) = 1/3, P(C) = 1/3. La probabilité conditionnelle P(B/A) = P(A ∩ B = partie grisée sur le graphique)/P(A) = P(issue = 6)/P(A) = (1/6)/(1/2) = 1/3. Remarque : quand on conditionne, on restreint l’espace Ω. Dans notre exemple, on restreint Ω à A.

4. Evènements indépendants pour P(.) Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), deux évènements a ∈ A et b ∈ A sont indépendants si et seulement si P(a ∩ b) = P(a) ×P(b). Généralisation : n évènements a1,…,an ∈ A sont mutuellement indépendants si et seulement si P(a1 ∩ a2 ∩ …∩ an-1 ∩ an-2) =P(a1) ×P(a2) ×…×P(an-1) ×P(an) Définition découlant des probabilités conditionnelles : Soit a ∈ A et b ∈ A P(b/a) = P(b) ou P(a/b) = P(a) ⇔ a et b sont indépendants Illustration : Dans le jeu du lancé de dé, l’évènement A= « issue =1 » et B = « issue paire » sont-ils indépendants ? Pour le savoir on calcule d’un côté P(A ∩ B) =P(∅) = 0 et de l’autre P(A)×P(B) = (1/6) × (1/2) = 1/12. Comme P(A ∩ B) ≠ P(A)×P(B), les évènements sont dépendants.

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5. Formule des probabilités totales Système complet d’évènements

Un système complet d’évènements a1,…,an ∈ A est défini comme des évènements 2 à 2 incompatibles dont la réunion est Ω Illustration :

2

5

3 6 4

1

Dans le cas du jeu de dé, deux partitions parmi d’autres de Ω sont illustrées ci-dessus : Une partition individuelle (les cercles) : chaque face du dé est incompatible avec les autres et si on considère toutes les faces de 1 à 6 on retrouve Ω. Une partition selon les chiffres pairs et impairs (le trait vertical) partitionne Ω en deux parties incompatibles.

Probabilités totales

Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), un système complet d’évènements (a1,…,an) associé à Ω Soit b ∈ A alors :

P(b)=∑i =1P(b∩ai )= P(b∩a1 )+...+ P(b∩an) n

=

∑

n

i =1

P(b / ai )×P(ai )= P(b / a1 )×P(a1 )+...+ P(b / an)×P(an)

Illustration : Une marque de produits laitiers a trois usines où sont fabriqués les yaourts. A = « Le yaourt est produit à Arras » B = « Le yaourt est produit à Brest » C = « Le yaourt est produit à Caen » On donne P(A) = 0.25, P(B) = 0.2 et P(C) = 0.55. Soit Y = « Le yaourt est aux fruits ». On précise que P(Y/A) = 0.2, P(Y/B) = 0.3 et P(Y/C) = 0.15. Calculez P(Y)… (A,B,C) forment un système complet, d’où :

P(Y) = P(Y∩A) + P(Y∩B) + P(Y∩C) = P(Y/A)×P(A) + P(Y/B)×P(B) + P(Y/C)×P(C) = 0.1925

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Une façon visuelle de trouver le résultat : PROVENANCE

AU FRUIT

P(Y/A) = 0.2 A

Y

+

P(A)=0.25

UN YAOURT

P(B)=0.2

P(Y∩A) = P(Y/A)×P(A) = 0.25 × 0.2

P(Y/B) = 0.3 B

Y

P(Y∩B) = P(Y/B)×P(B) = 0.2 × 0.3 +

P(C)=0.55

P(Y/C) = 0.15 C

Y

P(Y∩C) = P(Y/C)×P(C) = 0.55 × 0.15 ______________________________

P(Y) = 0.19

6. Formule de Bayes Soit l’espace probabilisé (A, Ω, P), deux évènements a ∈ A et b ∈ A, tels que P(a) ≠ 0 et P(b) P(a /b)×P(b) ≠ 0, alors : P(b/ a)= . P(a) Soit un système complet d’évènements (b1,…,bn) associé à Ω, alors : P(a /bi )×P(bi ) P(a /bi )×P(bi ) = P(bi / a)= n ∑i =1P(a /bi )×P(bi ) P(a/b1 )×P(b1 )+...+ P(a /bn )×P(bn ) Illustration : Reprenons le cas des yaourts. Calculons la probabilité qu’un yaourt ait été fabriqué à Caen sachant qu’il est au fruit., soit P(C/Y). On peut facilement calculer P(Y/C), la condition inverse. Aussi, dans ce type de contexte, on utilise la formule de Bayes qui permet d’inverser le conditionnement :

P(C/Y) =

P(Y /C)×P(C) 0.15×0.55 = 0.43 = P(Y) 0.19

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COURS DE PROBABILITE ....................................................................................... 1 1.

Rappels sur la théorie des ensembles.............................................................................. 1 Définition ........................................................................................................................... 1 Propriétés sur les ensembles............................................................................................... 1

2.

Rappels sur les dénombrements...................................................................................... 2 Permutations....................................................................................................................... 2 Arrangements ..................................................................................................................... 2 Combinaisons ..................................................................................................................... 3

3.

Probabilités ....................................................................................................................... 3 Définition d’une expérience aléatoire ................................................................................ 3 Définition d’une probabilité ............................................................................................... 4 Propriétés............................................................................................................................ 4 Equiprobabilité ................................................................................................................... 4 Probabilité conditionnelle .................................................................................................. 5

4.

Evènements indépendants pour P(.) ............................................................................... 5

5.

Formule des probabilités totales ..................................................................................... 6 Système complet d’évènements ......................................................................................... 6 Probabilités totales ............................................................................................................. 6

6.

Formule de Bayes ............................................................................................................. 7

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