Cours electrotechnique-I Chap1

Cours d'Electrotechnique-I

R. Kifouche, Janvier 2016

Cours d'Electrotechnique-I

Bibliographie  Electricité générale, Analyse et synthèse des circuits, 2e édition, Tahar Neffati, Dunod 2003  Manuel de génie électrique, Guy Chateigner, Michel Boës, Daniel Bouix, Jacques Vaillant et Daniel Verkindère, Dunod 2006/2007  Cours d'électronique, 3e édition, Pr. Hammoud Ladjouze, OPU, 2010  Exercices corrigés en Electronique générale, 4e édition, OPU, 2008.  Polycop, Cours de Génie Electrique, de G. CHAGNON, Université Paris VI-Jussieu. (présent sur le net)

N.B. : Ce cours ne prétend ni à l’exhaustivité ni à l’originalité. Ces notes doivent en effet beaucoup aux emprunts faits aux ouvrages référencés en bibliographie.

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I. Circuit électrique : I.1 Quelques définitions et conventions : I.1.1 Le circuit électrique : Un circuit électrique est une association d'éléments simples, qui sont composants électriques, connectés entre eux par des conducteurs supposés parfaits. Le circuit constitué par tous ces éléments est dit actif s'il contient une source d'énergie mais s'il ne contient pas de source d'énergie, il est dit passif. Un composant électrique peut être : une résistance, un condensateur, une bobine, une pile … etc. a

b

Composant électrique avec deux bornes (a, b)

Les conducteurs qui servent à interconnecter les composants électriques, ont des résistances spécifiques très faibles. Ils sont très souvent métalliques, surtout en cuivre ou en aluminium! Mais il est également possible d’utiliser un liquide conducteur. I.1.2 Le Courant électrique : Un courant électrique est un déplacement d’ensemble ordonné de charges électriques, les électrons en occurrence, dans un conducteur. On le caractérise par une grandeur, l’intensité, définie comme étant le débit de charges électriques (q) dans le conducteur, son unité est : Ampère (symbole A). Le courant électrique prend forme dans un circuit fermé soumis à une différence de potentielle. 𝑖=

𝑑𝑞 𝑑𝑡

I.1.3 La Tension électrique : c'est la différence de potentiel entre deux points donnés d'un circuit, son unité est le Volt (symbole V). I.1.4 Le Sens du courant : le sens de circulation du courant est l'inverse de celui des électrons. Pour un récepteur, Contrairement à un générateur, le courant passe du point dont le potentiel est le plus élevé vers le point dont potentiel est le moins élevé. I.1.4 L'impédance électrique : Tout composant électrique présente une impédance, qui est une forme de résistance au passage d'un courant électrique quand ce même composant est soumis à une tension électrique. Cette impédance (Z) peut être une résistance (R), une capacité (C), une inductance (L) ou une association entre ces dernières. Son unité est Ohms. I.2 Exemple de circuit électrique : Les points A, B, C et D du réseau électrique de la figure 1 sont des nœuds de courant. Les portions de circuit telles que AC, AD, CB, … sont des branches du réseau. Les circuits électriques fermés (ACDC), (CBDC) et (AFDA) sont des mailles du réseau électrique.

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R. Kifouche, Janvier 2016 C

R1

R2 R3

R5

A

R4

B

D R6 R7 E

F Figure I.1 circuit électrique

I.3 Résistance équivalente : Si on considère un circuit électrique passif alimenté par une source E branchée aux deux nœuds A et B telle que la somme I des intensités qui entrent par le nœud A soit égale à l'intensité qui sort du nœud B, la résistance Req qui, placée entre ces deux points, laisserait passer le même courant I sous la tension E est donnée par :

𝑅𝑒𝑞 =

𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 𝐸 = 𝐼 𝐼

La figure 2 représente le circuit équivalent du circuit représenté par la figure 1, telle que R eq est la résistance équivalente de l'ensemble des résistances de la figure 1 qui sont branchées entre les deux points A et B Req B A E



Figure I.2 L’impédance équivalente à deux impédances mises en série est égale à la somme des deux impédances :

R1 Avec :

R3

𝑅3 = 𝑅1 + 𝑅2

R2 

R1

L’impédance équivalente à deux impédances mises en parallèle est égale à l’inverse de la somme des inverses des impédances :

R2

R3

Avec :

𝑅 .𝑅

𝑅3 = 𝑅 1+𝑅2 1

2 3

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I.4 Générateurs électriques : I.4.1 Générateur de tension : Un générateur (E, r) de fem E et de résistance interne r, délivre entre ses bornes, une tension V fonction du courant débité dans une charge R :

𝑉 = 𝐸 − 𝑟𝐼

𝐸

Avec :

𝐼 = 𝑅+𝑟 =

r

I

𝐸 𝑟 𝑅

𝑅(1+ ) V E

E

V

Source idéale de tension

R Source réelle de tension 0 Figure I.3: source de tension

I

Le générateur de tension est considéré comme source de tension idéale si et seulement si la résistance interne "r" du générateur est très petite devant la charge "R" :

𝑟 = 𝜀 ≪ 1, 𝑅  

𝐼=

𝐸 𝑅

𝑒𝑡 𝑉 ≈ 𝐸(1 − 𝜀) ≈ 𝐸

Une source de tension idéale fournie une tension constante, quelque soit l'intensité I. Une source de tension réelle fournie une tension variable en fonction de l'intensité I et de la résistance interne "r".

I.4.2 Générateurs de courant : Un générateur de courant (η, r) est caractérisé par son courant de court circuit η et sa résistance interne "r", représentée en parallèle sur la figure 4, ci-dessous, I Source idéale de I courant η η

r

V

R

Source réelle de courant 0

V

Figure I.4 : source de courant Le générateur débite dans une charge R, un courant I fonction de la tension V à ses bornes.

𝐼=𝜂−

𝑉 𝑟

Avec

𝑉 = 𝑅𝐼 = 𝜂

𝑟𝑅 𝑟+𝑅 4

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Si la résistance interne "r" est grande devant la charge extérieure R, le générateur se comporte comme une source de courant idéal, qui débiterait un courant constant, indépendant de la tension V à ses bornes :

𝑅 = 𝜀 ≪ 1, 𝑟

𝑉 = 𝜂𝜀 𝑟

𝑒𝑡 𝐼 = 𝜂(1 − 𝜀) ≈ 𝜂

I.3 Lois générales des circuits : I.3.1 Lois d'Ohm généralisée : La figure 5 représente une branche d'un réseau électrique comprenant des résistances R1 et R2 un générateur (E1, r1) et un récepteur (E2, r2). R1 A

(E1,r1) +

R2

(E2,r2) +

B

I Figure I.5 : Branche avec deux sources et deux résistances La ddp aux bornes de la branche s'écrit : VA-VB = (E1 – E2) – (R1 + R2 + r1+ r2).I Généralement, la ddp entre deux points A et B d'une même branche, comprenant des résistances et des générateurs s'écrit : 𝑉𝐴 − 𝑉𝐵 = ± ∑ 𝐸 ± 𝐼. ∑ 𝑅 Les courants et tensions sont des grandeurs algébriques. Le sens positif n’étant pas connu a priori, on flèche arbitrairement courants et tensions. Un résultat négatif indique simplement que le sens "réel" d’un courant ou d’une tension est opposé à celui fléché sur le schéma. I.3.2 Lois de Kirchhoff :  Loi des nœuds : un nœud est, d'abord, un point de convergence de plusieurs conducteurs. La loi des nœuds stipule que si on considère n conducteurs arrivant au même point O, la somme des courants entrant est égale à la somme des courants sortants. Sinon, si on choisi un sens positifs pour les courants in et qu'on considère que ceux qui vont dans ce sens sont positifs et que les autres sont négatifs on peut écrire : i1 O

ik

i2 i4

i3

𝑛

∑ 𝑖𝑘 = 0 ; 𝑘=1

Figure I.6 : Un nœud "O" avec des courants entrants et des courants sortants

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 Loi des mailles : une maille est une série de conducteurs et de composants électriques, partant d’un point, et arrivant à ce même point. La loi des mailles stipule que la somme algébrique des tensions le long de la maille est constamment nulle : 𝑛

∑ 𝑉(𝐴𝑘 𝐴𝑘−1 ) = 0 ; 𝑘=1

I.4 Méthodes d'analyse des circuits : I.4.1 Méthode des mailles : Il est important de savoir que les méthodes d'analyse des circuits consistent à déterminer les intensités des courants qui parcourent les branches en fonction des éléments du circuit. Les lois de Kirchoff permettent d'écrire un système d'équation, où les intensités dans les branches figurent comme des inconnues. En règle général, on arrive toujours à avoir un nombre d'équations supérieur au nombre d'équations. En pratique, dans un réseau comprenant N nœuds et B branches, formant M mailles, On peut écrire N-1 équation indépendantes selon la loi des nœuds, qui concernent les courants, et écrire M'=B-(N-1), M' c'est le nombre de mailles indépendantes. Toutes les branches du circuit doivent figurer au moins une fois dans Les M' mailles indépendantes choisies. Exemple : Le circuit représenté par la figure suivante contient cinq branches, donc, cinq courants inconnus. R1

d

I2

I1 a I4

E1

R2

b

R5

E2

I5

R4

R3

I3

c

e

Figure I.7 : Circuit électrique à 3 nœuds 

Puisque on a trois nœuds, a, b et c, on peut donc établir deux équations d'après la première loi de Kirchoff (la loi des nœuds) et trois équations d'après la seconde loi (la loi des mailles) :

Selon la loi des nœuds on peut écrire : -

Pour le nœud a : 𝐼1 + 𝐼2 − 𝐼4 = 0; Pour le nœud b : 𝐼3 − 𝐼2 − 𝐼5 = 0;

Selon la loi des mailles, on écrira trois "03" équations pour les trois mailles indépendantes qui sont : acd, abc et bec en parcourant les mailles dans le sens des aiguilles d'une montre. 6

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On obtient: -

pour la maille acd : 𝐸1 = 𝑅1 . 𝐼1 + 𝑅4 . 𝐼4 pour la maille abc : 0 = −𝑅2 . 𝐼2 − 𝑅5 . 𝐼5 − 𝑅4 . 𝐼4 pour la maille bec : −𝐸2 = −𝑅3 . 𝐼3 − 𝑅5 . 𝐼5

En résolvant le système de cinq "05" équations obtenu, on retrouve les valeurs des cinq courants. I.4.2 Théorème de superposition : Dans le cas d'un circuit électrique comprenant plusieurs sources, l'intensité du courant dans chacune des branches qui constitue le circuit est égal à la somme des intensités de courant que produirait dans cette branche chacune des sources agissant seule. Les autres sources étant ignorées, elles sont représentées par leurs résistances internes pour chacune des phases de calcul. Exemple : R1

R1

R2

I2

I1

I'1

R1 I''1 I''2 R2

R2

I'3

I3 E1

I'2

E2

R3

E1

I''3

+

R3

(a)

R3

(b)

E2

(c)

Figure I.8 : Circuit électrique à deux sources (a) représenté par deux circuits chacun avec une seule source (b) et (c) Le calcul des courant I1, I2 et I3 s'effectue par le calcul séparément des courant I'1, I'2, I'3 en ignorant la source E2 et I''1, I''2,I''3 en ignorant la source E1

𝐼1 = 𝐼1′ + 𝐼1′′ ,

𝐼2 = 𝐼2′ + 𝐼2′′ et

𝐼3 = 𝐼3′ + 𝐼3′′

Si on écrit Req23 et Req13 des résistances équivalentes des résistances montées en parallèle respectivement pour les circuits (b) et (c), on peut écrire l'expression des courants : -

Pour le circuit (b) :

𝐼′1 = 𝑅

𝐸1

1 +𝑅𝑒𝑞23

-

, 𝐼′2

=

𝐸1 −𝑅1 .𝐼′1 𝑅2

, 𝐼′3 =

𝐸1 −𝑅1 .𝐼′1 𝑅3

Pour le circuit (c) :

𝐼′′2 = 𝑅

𝐸2

2 +𝑅𝑒𝑞13

, 𝐼′′1 =

𝐸2 −𝑅2 .𝐼′′2 𝑅1

, 𝐼′′3 =

−𝐸2 +𝑅2 .𝐼′′2 𝑅3

, 7

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I.5 Théorème de Thévenin et de Norton : On peut caractériser tout dipôle par trois grandeurs caractéristiques : -

Différence de potentiel à vide : eT lorsque i = 0 Courant de court circuit : iN lorsque v = 0 Impédance de sortie ZT ou l’admittance de sortie YT

I.5.1 Théorème de Thévenin : L’ensemble du circuit se trouvant à gauche des deux noeuds A et B peut être remplacé par un générateur de tension idéal de force électromotrice eT en série avec une impédance interne ZT. ZT

i

A

≡

v

i

A v

eT

B B La force électromotrice eT est égale à la différence de potentiel vAB mesurée à vide et l’impédance interne ZT est l’impédance vue des bornes A et B lorsque l’on annule toutes les sources d’excitation du circuit (tous les générateurs de tension idéaux sont remplacés par des courts-circuits et les générateurs de courant idéaux sont remplacés par des circuits ouverts). Ainsi, nous avons la relation suivante : 𝑣 = 𝑒𝑇 − 𝑍𝑇 . 𝑖 Méthode d'application du théorème de Thevenin Calcul pratique du générateur équivalent : Calcul de la valeur de Eth : c'est la d.d.p. qui apparaît à vide entre A et B.

A Réseau actif linéaire

Calcul de la résistance Rth (impédance Zth) : on éteint toutes les sources et on calcule ou on mesure la résistance (l'impédance) entre A et B.

Eth B

Le calcul de Eth et le calcul de Rth peuvent être effectué dans n'importe quel ordre.

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Exemple d’application de la méthode de Thevenin Dans le schéma de la figure ci-contre, calculons l'intensité I dans R = 2  par la méthode de Thevenin.

2

1 +

R

20 V Le but est de remplacer le réseau aux bornes de R par un générateur équivalent de Thevenin.

Rth +

+ 20 V

A

2

1

3

4

A

B

Eth

3

4

B

Calculons la résistance Rth. Pour cela, il faut éteindre la source de tension de f.é.m. 20 V, c'est-à-dire la remplacer par son impédance interne. Cette dernière est nulle puisqu'il s'agit d'une source de tension idéale. On calcule donc la résistance entre les points A et B sur le schéma de la Error! Reference source not found..

1

A

4

2

B 3

1

A

4

2

B 3

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2

A

1

B

4

Rth 

A

B

3

La résistance du générateur équivalent de Thevenin a donc pour valeur :

2

3

4

2 //3 

1 //4  A

B

1 4 2  3  2 1 4 2  3

Calculons Eth : C Nous allons calculer les intensités iA et IB puis les d.d.p. VCA et VCB. L'équation de la maille CAB permettra d'obtenir VAB = Eth. + 20 iA   4 A  VCA  1 4  4 V 1 4 iB 

2

1 Eth A iA

20 V

20  4 A  VCB  2  4  8 V 23

B iB 3

4

VCA  VAB  VBC  0  VAB   VBC  VCA     8  4  4 V Donc, Eth = 4 V. On peut donc redessiner le circuit initial en remplaçant le pont de Wheastone par le générateur de Thevenin : Remarque : Le pôle + est tourné vers A car A est positif par rapport à B, car on a : VAB > 0. Le calcul de l'intensité qui passe dans la résistance est 4 1 A devenu très simple : i  22

Rth=2

A

+

R=2 Eth=4V

B

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I.5.2 Théorème de Norton : L’ensemble du circuit se trouvant à gauche des deux nœuds A et B peut être remplacé par un générateur de courant iN en parallèle avec une admittance YN i

i

A

≡

v

A

iN iN

YN

B

v

B

Le théorème de Norton est le théorème dual du théorème de Thévenin. Le courant iN est le courant de sortie lorsque l'on court circuit les borens A et B. L'admittance YN est l'admittance vue des bornes A et B lorsque l'on annule toutes les sources d'excitation du circuit. Nous avons la relation suivante :

𝑖 = 𝑖𝑁 − 𝑌𝑁 𝑣

Relation entre les deux théorèmes : A partir du modèle de Norton, on a :

𝑣=

(𝑖𝑁 − 𝑖) 𝑖𝑁 𝑖 = − 𝑌𝑁 𝑌𝑁 𝑌𝑁

En faisant une analogie avec le modèle de Thèvenin, on obtient les relations suivantes :

𝑖

𝑒𝑇 = 𝑌𝑁

𝑁

et

𝑖

𝑌𝑁 = 𝑍

𝑇

I.5.3 Théorème de Millman : Si l’on cherche la tension dans un nœud d’un montage connaissant les tensions « avoisinantes » , le méthode de Millman peut être rapide et efficace mais souffre parfois d’une certaine lourdeur et n’est donc à employer que pour des cas où les classiques lois nœuds, lois des mailles s’avèrent fastidieuses. La méthode de Millman démontre que: 𝑉𝑘 𝑅𝑘 𝑉𝐴 = 1 ∑𝑛𝑘=1 𝑅𝑘 ∑𝑛𝑘=1

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Application pour cas particulier : Pour le circuit ci-dessous, l’expression de VA est donnée par : R2

V1 V2 V3   R1 R2 R3 VA  1 1 1 1    R0 R1 R2 R3

A

R1

V2

R3

V3

VA

3

V1 R0

3

V0=0

I.5.4 Théorème de Kennelly : Une maille triangulaire peut se transformer en étoile équivalente :

𝑅𝑎 =

𝑅𝑎𝑐 .𝑅𝑎𝑏

𝑅𝑏 =

𝑅𝑎𝑏 . 𝑅𝑏𝑐 𝑅𝑎𝑐 + 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐

𝑅𝑐 =

𝑅𝑎𝑐 . 𝑅𝑏𝑐 𝑅𝑎𝑐 + 𝑅𝑎𝑏 + 𝑅𝑏𝑐

A

A

𝑅𝑎𝑐 +𝑅𝑎𝑏 +𝑅𝑏𝑐 Rac

Ra

Rab Rc

C

Rbc

B

C

Rb

B

Une maille en étoile peut se transformer en maille triangle équivalente :

𝑅𝑏𝑐 =

𝑅𝑎 . 𝑅𝑏 + 𝑅𝑏 . 𝑅𝑐 + 𝑅𝑐 . 𝑅𝑎 𝑅𝑎

𝑅𝑐𝑎 =

𝑅𝑎 . 𝑅𝑏 + 𝑅𝑏 . 𝑅𝑐 + 𝑅𝑐 . 𝑅𝑎 𝑅𝑏

𝑅𝑏𝑐 =

𝑅𝑎 . 𝑅𝑏 + 𝑅𝑏 . 𝑅𝑐 + 𝑅𝑐 . 𝑅𝑎 𝑅𝑐

I.6 Pont diviseur de tension et de courant : I.6.1 Pont diviseur de tension : Le schéma d’un pont diviseur de tension est donné à la figure I.9 suivante : I

R1

A R2

E

U

B Figure I.9 Pont diviseur de tension

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Il s’agit d’une application directe de la mise en série de deux résistances :

𝐸 = 𝑅1 . 𝐼 + 𝑅2 . 𝐼

𝐼=𝑅

d’où

𝐸

1 +𝑅2

La tension aux bornes d’une résistance est égale au produit de sa valeur par l’intensité du courant qui la traverse. Par exemple la tension aux bornes de la résistance R2 vaut :

𝑈 = 𝐸.

𝑅2 𝑅1 + 𝑅2

La tension ainsi obtenue est inférieure à E, d’où le nom donné à ce montage. Remarquons au passage, que d’une façon générale, la tension aux bornes d’une résistance placée dans un circuit série comportant n résistances, alimenté par une source de tension E est :

𝑈𝑖 = 𝐸.

𝑅𝑖 𝑅1 + 𝑅2 + ⋯ + 𝑅𝑁

I.6.2 Pont diviseur de courant : Le schéma d’un pont diviseur de courant est donné à la figure 2.11 I I1 I

I2

R1

R2

Figure I.9 Pont diviseur de tension Appelons "U" la différence de potentiel qui se trouve aux bornes des différents éléments en parallèle, nous obtenons :

𝑅 .𝑅

𝑈 = 𝑅2 . 𝐼2 = 𝐼. 𝑅 1+𝑅2 1

2

d'où :

𝐼2 = 𝐼. 𝑅

𝑅1

1 +𝑅2

L’intensité obtenue pour chacune des résistances est toujours inférieure à I qui provient de la source, d’où le nom donné à ce montage.

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I.7 Puissance et énergie : Dans un réseau électrique, le générateur est censé fournir l’énergie nécessaire à un récepteur qui l’accepte. Considérons le réseau élémentaire constitué d’un générateur réel de tension et d’une résistance de charge RU. Rg A

Ru

U

E

B Charge

Générateur

Figure I.10 Source de tension chargée par une résistance En vertu du principe de la conservation de l’énergie, la puissance fournie par le générateur appelée "Pf " est égale à la somme des puissances dissipées par toutes les résistances du circuit. Si nous appelons "I" l’intensité du courant électrique circulant dans cette maille, la puissance fournie par le générateur est égale à :

𝑃𝑓 = 𝐸. 𝐼 = 𝑅𝑔 . 𝐼2 + 𝑅𝑢 . 𝐼2 = (𝑅𝑔 + 𝑅𝑢 ). 𝐼2

On pose aussi :

𝑄 = 𝑅𝑔 . 𝐼2 : sont les pertes dans la résistance interne du générateur; 𝑃𝑢 = 𝑅𝑢 . 𝐼2

: est la puissance utile PU dissipée par la charge RU, c’est donc la puissance que lui a transmise le générateur; La puissance utile est toujours inférieure à la puissance fournie Pf. La différence entre la puissance transmise et la puissance fournie représente les pertes dans la résistance interne du générateur. L’énergie (en Joule) transmise pendant une durée de temps T (en seconde) est fonction de la puissance (en Watt) et égale à : 𝑊 = 𝑃. 𝑇

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