Cours médiatrice (Prof)

DISTANCE D’UN POINT A UNE DROITE – TANGENTE A UN CERCLE BISSECTRICE

I) Médiatrice d’un segment : 1) Définition : Soit A et B deux points distincts du plan. La médiatrice du segment [AB] est la droite perpendiculaire au segment [AB] passant par son milieu.

A

B médiatrice de [AB]

2) Propriété 1 : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment alors ce point est équidistant des extrémités du segment.

M

A

B médiatrice de [AB]

Si M appartient à la médiatrice du segment [AB] alors AM = BM.

1

3) Réciproque : Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il appartient à la médiatrice du segment. M

A

B médiatrice de [AB]

Si AM = BM alors M appartient à la médiatrice du segment [AB]. 4) Propriété 2 : Les médiatrices des côtés d’un triangle sont concourantes. Ce point de concours est le centre du cercle circonscrit à ce triangle : le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

A

C

B

5) Exemple : Soit A et B deux points distincts du plan. Le point M appartient à la médiatrice du segment [AB] et au cercle de diamètre [AB]. 1) Faire une figure. 2) Quelle est la nature du triangle AMB ? Justifier. 2

II) Distance d’un point à une droite : 1) Définition : On considère un point A et une droite (∆). La distance du point A à la droite (∆) est la plus petite des longueurs entre le point A et un point quelconque de (∆). On la note d (A , (∆)). A

O

P

(∆)

N M

2) Activité : 3) Propriété : La perpendiculaire à la droite (∆) qui passe par le point A coupe la droite (∆) en un point H. La longueur AH est la distance du point A à la droite (∆). d (A , (∆)) = AH A

O

P

(∆)

N H M

4) Remarques: Pour tout point M de (∆), différent du point H : AM > AH . Pour déterminer la distance d’un point à une droite, on construit la perpendiculaire à cette droite passant par le point.

3

5) Cas particulier: Lorsque le point A appartient à la droite (∆), la distance du point A à la droite est égale à 0.

(∆) A H

d(A , (∆)) = AH = 0 car les points A et H sont confondus.

III) Tangente à un cercle : 1) Définition : Soit C un cercle et A un point appartenant à ce cercle. La tangente au cercle C en A est la droite dont le seul point commun avec ce cercle est le point A.

C

A

(d)

(d) est la tangente au cercle C en A

2) Activité :

4

3) Propriété : Soit C un cercle de centre O et A un point appartenant à ce cercle. Si la droite (d) est tangente au cercle C en A, alors la droite (d) est perpendiculaire au rayon [OA]. C

A

(d) est la tangente (d)

O

au cercle C en A donc (d) est perpendiculaire à [OA].

4) Réciproque : Soit C un cercle de centre O et A un point appartenant à ce cercle. Si une droite passe par le point A et est perpendiculaire au rayon [OA] alors cette droite est la tangente au cercle C en A. C

A

(d) est perpendiculaire (d)

O

à [OA] en A donc (d) est la tangente au cercle C en A.

5) Remarque : Pour construire une tangente à un cercle en un point, on construit la droite passant par ce point et perpendiculaire au rayon, d’extrémités ce point et le centre du cercle. Pour montrer qu’une droite est tangente à un cercle en un point, on montre qu’elle passe par ce point et qu’elle est perpendiculaire au rayon, d’extrémités ce point et le centre du cercle.

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IV) Bissectrice d’un angle : 1) Définition : La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage cet angle en deux angles de la même mesure.

bissectrice de l'angle

bissectrice de l'angle

Construction de la bissectrice au rapporteur

Construction de la bissectrice au compas

2) Activité :

3) Propriété : Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des côtés de cet angle. K M

bissectrice de l'angle

H

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M appartient à la bissectrice de l'angle donc MK = MH.

4) Réciproque : Si un point est équidistant des côtés d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. K M

bissectrice de l'angle

MK = MH donc le point M appartient à la bissectrice de l'angle.

H

5) Exemple : Soit ABC un triangle. La demi-droite (d) est la bissectrice de l’angle ABC. Le point M appartient à (d). Le point I est tel que d(M , (AB)) = MI et le point J est tel que d(M , (BC)) = MJ. a) Faire une figure. b) Montrer que le triangle MIJ est isocèle.

6) Point d’intersection des bissectrices des angles d’un triangle : a) Activité : b) Propriété : Les bissectrices des angles d’un triangle sont concourantes. Ce point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle : cercle tangent à chacun des trois côtés du triangle.

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