cours proba conditionelle

PROBABILITES : CONDITIONNEMENT ET INDEPENDANCE I RAPPELS THEORIQUES Au cours d’une expérience aléatoire, on appelle : • Univers Ώ : l’ensemble des résultats (ou issues) possibles • événement E : une partie de l’univers • événement élémentaire Ei : événement comportant un seul élément • le vide Ø est l’événement impossible • Ώ est l’événement certain A et B sont deux événements • A ∩ B est l’événement « A et B » • A U B est l’événement « A ou B » • Si A ∩ B = Ø, A et B sont dits incompatibles, ou disjoints. → • A est dit événement contraire de A Exemple : dans un jeu de

32 cartes, citer

l’univers, deux événements, leurs réunions, intersections, contraires

Une probabilité sur Ώ est un application de Ώ -> [0 ;1] qui vérifie : • p(Ώ) = 1 p(Ø) = 0 • p( A U B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B) en particulier p( A U B) = p(A) + p(B) ssi A et B sont disjoints. • Si A est inclus dans B, alors p(A) ≤ p(B) • Si l’univers est composé des événement élémentaires E1, E2,.. En, et si pi = p(Ei), on a p1 + p2 + p3 +…pn = 1 Dans le cas où tous les événements élémentaires ont la même probabilité (on parle d’équiprobabilité), la probabilité d’un événement A est donné par : P(A) =

card (A) où “card card (Ώ)

P(A) =

Nb cas favorables Nb cas possibles

A” désigne” le nombre d’éléments de la partie A. On peut retenir cette formule sous la forme

LA PROBABILITE D’UN EVENEMENT EST TOUJOURS COMPRISE ENTRE 0 ET 1 Exemple : calculer les probabilités des événements de l’exemple précédent.

II PROBABILITES CONDITIONNELLES 1) Exemple : Dans la classe, on choisit un élève au hasard. On appelle F = l’événement « choisir une fille » J = l’événement « être né en janvier » Il y a 33 élèves dont 20 filles, 6 sont nés en janvier, dont 4 filles. On peut présenter cette situation sous forme d’un arbre :

20 33

F

4 20 16 20

J →

J

Ώ 13 33

→

F

2 13 11 13

J →

J

L’énoncé donne P(F) = 4 PF(J) = . 20

20 33

P(J) =

6 33

La probabilité d’être né en janvier sachant que l’on est une fille

→

On peut en déduire P( F ) = 1 – P(F) =

13 . 33

→

PF( J ) = 1 – PF(J) =

16 20

P

→

F

(J) =

2 13

P

→

F

(J) =

11 13

2) Définition Une probabilité du type « être né en janvier sachant que l’on est une fille » est appelée un probabilité conditionnelle : on a restreint l’univers à un sous ensemble : ici les filles. Pour calculer une probabilité conditionnelle, on a utilisé : PF(J) =

P( F ∩ J) , qui peut aussi s’utiliser avec P(F ∩ J ) = PF(J).P(F) P(F)

3) Utilisation – tableau de fréquences Un tableau de fréquences contient des probabilités de type p(A∩B) Voir correction de l’ex 22 p 364

III FORMULE DES PROBABILITES TOTALES 1) Partition 2) Un tableau de fréquences contient des probabilités de type p(A∩B) Voir

IV EVENEMENTS INDEPENDANTS 1) Définition Deux événement A et B sont indépendants si, par définition, P(A∩B) = P(A).P(B) Ceci signifie que la réalisation d’un événement n’a pas d’influence sur la réalisation de l’autre.

2) Conséquences directes. Soient A et B deux événements indépendants. Alors en général A∩B≠∅ En effet, si A∩B =∅ alors P(A∩B) = 0 donc P(A) = 0 ou P(B) = 0, soit A = ∅ ou B= ∅ Soient A et B deux événements indépendants. Alors PB(A) = P(A) P(A∩B) P(A)P(B) En effet, PB(A) = = = P(A) le fait de connaître la réalisation de B n’influe pas sur la réalisation de A. P(B) P(B) 3) Exemples • Un avion possède 2 réacteurs indépendants. Il peut voler avec un seul ; La probabilité qu’un réacteur tombe en panne est p = 5.10-5 alors la probabilité que l’avion s’écrase est p² = 2,5 10-9 •

On tire une carte dans un jeu de 32 cartes. On considère l'événement C : « tirer un cœur » et l'événement A : « tirer un as ». Les événements A et C sont-ils indépendants ?

•

On tire simultanément deux cartes dans un jeu de 32 cartes. a) On considère l'événement C' : « tirer deux cœurs » et l'événement A' : « tirer deux as ». Les événements A' et C' sont-ils indépendants ? b) On considère C" : « tirer un cœur et un seul » et A" : « tirer un as et un seul ». Les événements A" et C" sont-ils indépendants ?

V VARIABLES ALEATOIRES 1) Définition Soit Ώ un univers sur lequel est défini une loi de probabilité p : Ώ -> [0 ;1] On appelle variable aléatoire une application X : Ώ -> IR (ou tout autre ensemble) Si on note {x1 ; x2 ;… xn } = X(Ώ), on appelle loi de probabilité de X la donnée de p(X = x1 ); p(X = x2 )… p(X = xn ); 2) Exemple

A l’aide d’un dé à 6 faces non pipé, on joue le jeu suivant. Si un nombre impair est tiré, le joueur perd 2€. Si le 2 ou le 4 est tiré, il gagne 1€. Si le 6 est tiré, il gagne 5€. La variable aléatoire G désigne le gain du joueur. G est défini de Ώ = {1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6} -> {-2 ; 1 ; 5} 1 1 1 La loi de G est p(G = -2) = p(G = 1) = p(G = 5) = 3 3 6 Autre exemple : On peut définir la variable aléatoire dans un parking, qui associe à chaque voiture sa couleur. L’ensemble d’arrivée n’est pas une partie de IR mais une liste de couleurs. • On jette simultanément un dé bleu et un dé rouge. Le dé bleu a des faces numérotées 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 5 ; 6 Le dé rouge a des faces numérotées : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6. On appelle S la variable aléatoire qui à un lancer fait correspondre la somme des deux numéros tirés. Donner la loi de probabilité de S. Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé bleu ait donné le numéro 2 ? Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que le dé rouge ait donné le numéro 2 ? Sachant que la somme S est égale à 7, quelle est la probabilité que l'un des dés ait donné le numéro 2 ? Démontrer que les événements S = 7 et « le dé bleu a donné le numéro 2 » sont indépendants.

3) Espérance. L’espérance d’une variable aléatoire représente la « moyenne » de ses valeurs pondérée par leurs probabilités d’apparition : i=n

E(X) =

∑ x .p(X = x )

i=1

i

i

.

C’est une caractéristique de position. 4) Variance On appelle variance de X le nombre réel (positif) : 2 2 2 V(X) = (x1 - E(X)) .p(X=x1) + (x2 - E(X)) .p(X=x2) + L + (xn - E(X)) .p(X=xn) i=n

c'est-à-dire

V(X) =

∑ (xi - E(X))2.p(X = xi)

i=n

.

On a aussi

V(X) =

i=1

∑

i=1

2

2

(xi) .p(X = xi) - E(X)

C’est une caractéristique de dispersion.

5) Ecart type On appelle écart-type de X le nombre réel (positif) : σ(X) =

V(X) .

6) Exemple : On jette simultanément deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. 1°) Définir l'ensemble des éventualités  et la loi de probabilité sur . 2°) Quelle est la probabilité d'obtenir un double 6 ? 3°) Quelle est la probabilité d'obtenir deux numéros dont la somme est 4 ? 4°) On appelle S la somme des deux numéros obtenus. Donner la loi de probabilité de S. Calculer l'espérance mathématique de S. On jette une pièce de monnaie. On appelle X la variable aléatoire qui associe le nombre 3 au tirage de pile et 5 au tirage de face. 1°) On suppose la pièce parfaitement équilibrée, déterminer alors l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ(X) de la variable aléatoire X. 2°) La pièce n'est peut-être pas parfaitement équilibrée, on note p0 la probabilité d'obtenir face. a) Déterminer en fonction de p0 l'espérance mathématique E(X) et l'écart type σ (X) de la variable aléatoire X. b) Démontrer que l'on a 3 ≤ E(X) ≤ 5 . c) Déterminer les valeurs de p0 pour lesquelles l'écart type est maximum ou minimum. A quelles situations cela correspond-t-il ? 7) Indépendance de variables aléatoires. Soient X et Y deux variables aléatoires sur Ω .On note X(Ω) = {x1 ; x2 ; ... ; xk}

et

Y(Ω) = {y1 ; y2 ; ... ; yn} .

On dit que les variables aléatoires X et Y sont indépendantes, si pour tout i є {1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j є {1 ; 2 ; ... ; n} les événements (X = xi) et (Y = yj) sont indépendants. C'est-à-dire : pour tout i є {1 ; 2 ; ... ; k} et pour tout j є {1 ; 2 ; ... ; n}, on a : P(X = xi ∩ Y = yj) = P(X = xi).P (Y = yj) 8) Exercices : On considère un dé cubique dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On jette successivement deux fois le dé et on note les numéros obtenus. On appelle X la variable aléatoire égale au premier numéro obtenu. On appelle Y la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros est un nombre premier ». On appelle Z la variable aléatoire définie par « la somme des deux numéros augmentée de 4 est un nombre premier ». Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Les variables aléatoires X et Z sont-elles indépendantes ?

On tire au hasard deux cartes dans un jeu de 32 cartes. On appelle X la variable aléatoire égale au nombre de cœurs obtenus et Y la variable aléatoire qui prend la valeur 1 si les deux cartes tirées sont consécutives ("As et roi" ou "roi et dame" ou ... ou "8 et 7") et qui prend la valeur 0 si les deux cartes ne sont pas consécutives. Les variables aléatoires X et Y sont elles indépendantes ?

Une étude a porté sur les véhicules d'un parc automobile. On a constaté que : • lorsqu'on choisit au hasard un véhicule du parc automobile la probabilité qu'il présente un défaut de freinage est de 0,67 ; • lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule présentant un défaut de freinage, la probabilité qu'il présente aussi un défaut d'éclairage est de 0,48 ; • lorsqu'on choisit au hasard dans ce parc un véhicule ne présentant pas de défaut de freinage, la probabilité qu'il ne présente pas non plus de défaut d'éclairage est de 0,75. 1°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule c hoisi au hasard présente un défaut d'éclairage. Traduire le résultat en terme de pourcentages. 2°) Déterminer la probabilité pour qu'un véhicule c hoisi au hasard parmi les véhicules présentant un défaut d'éclairage présente aussi un défaut de freinage. Traduire le résultat en terme de pourcentages.

Lors d'une journée "portes ouvertes" dans un commerce, on remet à chaque visiteur un ticket numéroté qui permet de participer à une loterie. Lorsqu'un visiteur arrive 3 cas peuvent se présenter : • le visiteur est reconnu comme client habituel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 0 ; • le visiteur est reconnu comme client occasionnel et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 1 ; • le visiteur n'est pas reconnu et on lui remet un ticket dont le numéro se termine par 5 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 0 gagne un cadeau est de 0,5 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 1 gagne un cadeau est de 0,1 ; La probabilité qu'un ticket dont le numéro se termine par 5 gagne un cadeau est de 0,01. Parmi les visiteurs 15% sont reconnus comme clients habituels et 20% comme clients occasionnels. On choisit un visiteur au hasard. Quelle est la probabilité pour qu'il gagne un cadeau ? Un visiteur a gagné un cadeau. Quelle est la probabilité qu'il ait été reconnu comme client habituel ?

Dénombrement – lois de probabilités discrètes I Dénmobrement. 1) Tirages avec remise. n, p є IN* On tire successivement, avec remise de la boule tirée, dans une urne contenant n boules numérotées de 1 à n, p boules. Le nombre d’issues possibles est np Preuve : par récurrence. Exemple :

Nombre de mots de 4 lettres que l’on peut écrire avec {a,b,c} avec répétition éventuelles

2) Factorielle. On note n! = « n factorielle » ou « factorielle n » le nombre entier n! = 1x2x3x…x n = ∏nk=1 k Le nombre n! représente le nombre de façons d’ordonner un ensemble à n éléments. Remarque : 0 ! = 1 Exemple : Nombre de mots de 4 lettres que l’on peut écrire avec {a,b,c} sans répétition. 3) Combinaisons On choisit 5 élèves parmi 20 dans la classe. De combien de façons peut on faire ce choix ? 20 ! 20.19.18.17.16
= = …. 15 ! 5 ! 5.4.3.2.1 20! On a 20 possibilités pour choisir le 1er, 19 pour le 2e, 18 pour le 3e, etc soit façons . Néanmoins, on ne tient pas 15! compte de l’ordre dans le groupe : un même groupe de 5 peut être ordonné de 5! façons différentes et a donc été compté 120 fois. Pour n є IN*, et k є [0 ;n], on appelle nombre de combinaisons à k éléments choisis parmi n éléments le nombre n n! n! entier . On le note  k  = = Ckn = « k parmi n » k!(n – k)! k!(n – k)! Cas particuliers :

n  = n  =1 0  n 

n  =n 1 

 n  =  n  on aurait pu s’y attendre, pourquoi ? n–k  k 

 n  = 0 si k < 0 ou k > n par convention. k  Applications : Dans un jeu de 32 cartes, on tire 4 cartes. Quelle est la probabilité de : o Tirer 4 as ? o Tirer 4 cœurs ? o Tirer 2 piques et 2 cœurs ? o Tirer 3 piques ? o Tirer un valet, une dame, un roi, un as ? 4)