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Probabilités

Table des matières 1

Mots clés - Notations - Formules 1.1 Vocabulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

q.c.m préliminaire 2.1 énoncé 1 . . . . . . . . 2.2 énoncé 2 . . . . . . . . 2.3 réponses . . . . . . . . 2.4 petite évaluation . . .

3 3 4 5

. . . .

6 6 9 11 12

3

loi des grands nombres 3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 17

4

probabilité 4.1 activité . . . . . . 4.2 corrigé activité . 4.3 à retenir . . . . . 4.4 exercices . . . . . 4.5 corrigés exercices

. . . . .

18 18 19 21 23 26

5

6

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probabilités et opérations sur les événements 5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 activité 1 . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2 activité 2 . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 activité 3 . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 activité 4 : tables de vérité . . . 5.2 corrigé activité . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 corrigé activité 1 . . . . . . . . . 5.2.2 corrigé activité 2 . . . . . . . . . 5.2.3 corrigé activité 3 . . . . . . . . . 5.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 corrigés exercices . . . . . . . . . . . . . . probabilités et expériences aléatoires 6.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 activité 1 . . . . . . . . . 6.1.2 activité 2 . . . . . . . . . 6.1.3 activité 3 . . . . . . . . . 6.1.4 activité 4 . . . . . . . . . 6.2 corrigé activité . . . . . . . . . . 6.3 à retenir . . . . . . . . . . . . . . 6.4 exercices . . . . . . . . . . . . . . 6.5 corrigés exercices . . . . . . . . .

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32 32 32 32 33 34 35 35 36 37 38 40 42

composées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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43 43 43 43 44 44 45 47 48 49

. . . . . . . . . . . .

7

exercices

50

8

devoir maison 8.1 corrigé devoir maison 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 corrigé devoir maison 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

57 57 58

9

évaluations 9.1 évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 corrigé évaluation 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59 59 60

10 révision

61

1 1.1

Mots clés - Notations - Formules Vocabulaire Il faut connaître la signification des mots ou expressions suivantes : 1. une expérience aléatoire 2. l’univers d’une expérience aléatoire 3. les issues d’une expérience aléatoire 4. les événements élémentaires d’une expérience aléatoire 5. les événements éventualités d’une expérience aléatoire 6. probabilité d’un événement élémentaire 7. probabilité d’un événement quelconque 8. cas de l’équiprobabilité 9. événement favorable 10. sous ensemble d’un ensemble 11. sous ensemble inclu dans un ensemble 12. événement contraire d’un événement 13. intersection d’événements 14. ensembles disjoints 15. événement incompatibles 16. événement impossible 17. événement certain 18. réunion d’événements 19. expérience aléatoire composée 20. arbre de dénombrement

1.2

Notations Il faut connaître la signification des notations mathématiques suivantes : 1. p 2. p(A) 3. p(xi ) 4. U 5. Ω 6. xi ∈ Ω 7. A ⊂ Ω 8. A ∪ B 9. A ∩ B 10. A 11. ∅

1.3

Formules Il faut connaître par coeur les résultats suivants : 1. U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Une probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1] qui p(xi ) compris entre 0 et 1 et telle que : ☎ ✞ à chaque xi associe un nombre p(x1 ) + p(x2 ) + ... + p(xn ) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1) ✝

✆

2. Soit un l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } sur lequel est défini une probabilité p Soit A une partie de U  • Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...; xik (A = {xi1 ; ...;✞xik })  ☎     alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec : p(A) = p(x ) + ... + p(x ) i i  1 k  ✝ ✆   (p(A) est la somme des issues qui constituent A)  ✞ ✞ ☎ ☎     • Si A = ∅ alors p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"  ✝ ✆☎ ✝ ✆  ✞   • si p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain" ✝

✆

3. Soit l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } constitué de n > 0 issues et p une probabilité ✟ ☛ 1 alors on dit qu’il y a "équiprobabilité" (1) Si p(x1 ) = p(x2 ) = ... = p(xn ) = n ✡ ✠ (toutes les éventualités ont la même probabilité)

(2) Soit A une partie de U constituée des élémentaires xi1 ; ...; xik ✟ k événements ✟ ☛ ☛ k nombre de cas f avorables pour A ou encore p(A) = S’il y a équiprobabilité alors p(A) = n✠ nombre de cas au total ✡ ✡ ✠ 4. Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U ✞

☎

✞

☎

(1) pour ✝A le contraire de A ✆on a : p(A) = 1 − p(A) ✝ ✆ ✞

✄

☎

(2) pour ✂A ∪ B la réunion de A et B ✁ on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ✝ ✆ ✞

☎

✞

☎

(3) si ✝A ∩ B = ∅ ✆(A et B incompatibles) on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) ✝ ✆

2 2.1

q.c.m préliminaire énoncé 1

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3*

2.2

énoncé 2 Questionnaire de probabilités 1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibrée Quelle est la probabilité de faire "Pile" ?

2. On lance un dé usuel équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 Quelle est la probabilité de faire 1 point ?

3. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantes résultat 1 2 3 4 5 6 total probabilité 0, 1 0, 05 0, 2 0, 3 0, 02 0, 6 1 On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ? 4. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques) (4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires) (a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi" ?

(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Coeur" ?

(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi et Coeur " ?

(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Roi ou Coeur " ?

(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Roi " ?

5. On dispose du tableau suivant concernant une classe On choisit au hasard un élève de cette classe Gauchers Droitiers total

Garçon 3 10 13

Fille 2 15 17

(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?

(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Droitier" ?

Total 5 25 30

(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille ET Droitier " ?

(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille OU Droitier " ?

(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Gauchers Quelle est la probabilité que l’élève soit "Fille" ?

(f ) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Filles Quelle est la probabilité que l’élève soit "Gaucher" ?

6. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1) On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne (a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?

7. Une urne contient 2 billes vertes et 1 bille rouge (V1, V2 et R1) On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne (a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ?

(b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges " ?

8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 6" ?

2.3

réponses question

résultat 1 2 1 p(1) = 6 1 p(2) = 6

1

méthode ✟ nombre de cas f avorables ✡ nombre de cas total ✠ nombre de cas f avorables nombre de cas total nombre de cas f avorables nombre de cas total ☛

p(pile) =

2 3 4

✞

p(P air) = p(2) + p(4) + p(6) = 0, 95

somme des probabilit´ es des cas f avorables

✝

4 32 8 p(Coeur) = 32

5

nombre de nombre nombre de nombre nombre de nombre

p(Roi) =

6 7

p(Roi et coeur) =

1 32

4 8 1 11 + − = 32 32 32 32 4 32 4 28 p(Roi) = 1 − = − = 32 32 32 32 17 p(F ille) = 30 25 p(Droitier) = 30 15 p(F illeetDroitier) = 30 27 17 25 15 + − = p(F illeouDroitier) = 30 30 30 30 2 pGaucher (F ille) = 5 2 pF ille (Gaucher) = 17 4 p(2 vertes) = 9 1 p(2 rouges) = 9 2 p(2 vertes) = 6

8

✞

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B)

p(Roi ou coeur) =

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

p(2 rouges) = 0

20

p(2 six) =

1 36

cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total

✝

✞

p(A = 1 − p(A)

✝

nombre de nombre nombre de nombre nombre de nombre

☎

☎ ✆

☎

✆

✆

cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total cas f avorables de cas total

p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) nombre de cas f avorables nombre de cas total nombre de cas f avorables nombre de cas total ✄ nombre de cas f avorables ✂arbre1 ✁ et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre1 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre2 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre2 et nombre de cas total nombre de cas f avorables arbre3 et nombre de cas total arbre 3

arbre 1 V1

V2

R1

V1

V1V1

V2

V1V2

R1 V1 V2

V1R1 V2V1 V2V2

R1 V1

V2R1 R1V1

V2

R1V2

R1

R1R1

1 2 3 4 5 6

b

arbre 2 b

4 cas pour 2 vertes

V1

b

b

V2

V1V2

R1 V1

V1R1 V2V1

b

2 cas pour 2 vertes b

V2 9 cas au total

1 cas pour 2 rouges

R1

R1 V1

V2R1 R1V1

V2

R1V2

6 cas au total

0 cas pour 2 rouges

1 2 3 4 5 6

b

b

6 × 6 = 36 cas au total

b

1 2 3 4 5 6

1 cas pour 2 six

2.4

petite évaluation

petite évaluation de probabilités 1. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie équilibrée Quelle est la probabilité de faire "Pile" ?

2. On joue à "pile ou face" avec une pièce de monnaie non équilibrée avec laquelle la probabilité de faire "pile" est de 20% Quelle est la probabilité de faire "Face" ?

3. On lance un dé usuel équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8 Quelle est la probabilité de faire 1 point ?

4. On dispose d’un dé non équilibré pour lequel on a les informations suivantes résultat 1 2 3 4 5 6 total probabilité 0, 05 0, 1 0, 2 0, 3 0, 6 0, 02 1 On lance ce dé, quelle est la probabilité d’obtenir un score "Pair" ?

5. On choisit une carte dans un jeu usuel de 32 cartes (8coeurs, 8 carreaux, 8 trèfles, 8 piques) (4 rois, 4 reines, ... ) (16 rouges, 16 noires) (a) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine" ?

(b) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Rouge" ?

(c) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine et Rouge " ?

(d) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Reine ou Rouge" ?

(e) Quelle est la probabilité de choisir une carte "Non Carreau " ?

6. On dispose du tableau suivant concernant une classe Gauchers On choisit au hasard un élève de cette classe Droitiers total

Garçon 6 20 26

Fille 4 30 34

Total 10 50 60

(a) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?

(b) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Gaucher" ?

(c) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon ET Gaucher" ?

(d) Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon OU Gaucher" ?

(e) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Droitier Quelle est la probabilité que l’élève soit "Garçon" ?

(f ) On choisit au hasard un élève de cette classe parmi les Garçon Quelle est la probabilité que l’élève soit "Droitier" ?

7. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2) On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne (a) faire un arbre au verso (b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?

8. Une urne contient 1 bille Blanche et 2 bille Noire (B1 , N1 et N2) On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne (a) faire un arbre au verso (b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes blanches" ?

(c) Quelle est la probabilité d’obtenir "1 bille blanche " ?

9. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 8 faces numérotées de 1 à 8 Quelle est la probabilité d’obtenir un "double 8" ?

3 3.1

loi des grands nombres activité

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3.2

à retenir définition 1 : (expérience aléatoire et univers)  on connaît tous les résultats qui peuvent arriver (1) Une expérience est aléatoire si : on ne connaît pas le résultat qui va arriver (2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) : U = {(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)} Remarques : a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité" b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga) c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’éléments on pourra alors noter U = {x1 ; x2 ; ...; xn }

propriété 1 : (loi des grands nombres) Etant donnée une expérience aléatoire d’univers U = {x1 ; x2 ; ...xn } On répète k fois cette expérience aléatoire Soit fk (xi ) la ✎ proportion de fois où l’on obtient le résultat ☞ xi ∈ U parmi les k expériences nombre de f ois o` u on obtient xi c’est à dire : fk (xi ) = nombre d ´ exp´ eriences ✍

✌

Quel que soit xi ∈ U : ✗

plus k est grand et ✖

  (1) plus fk (xi ) se rapproche d’une certaine valeur pi 

(2) plus les "fluctuations" des valeurs de fk (xi ) sont petites

✔ ✕

Remarques : a. Plus on répète une expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquence d’apparition du résultat auquel on s’intéresse se rapproche d’une certaine valeur Exemples : a. pièce équilibrée : fk (P ) se rapproche de 0,5 = 50% quand k grandit 1 b. dé à six faces équilibré : fk (1) se rapproche de ≃ 16, 7% quand k grandit 6 4 ≃ 12, 5% quand k grandit c. jeu de 32 cartes : fk (Roi) se rapproche de 32

g

activité

c

d

1

j

(a) donner l’univers U des résultats possibles

5

i

1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

e

h

activité 1

(b) donner la valeur de la probabilité de chacun des résultats possibles (p(a) = ...)

2

k

(c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur

b

4.1

probabilité f

4

l

a

i. donner la probabilité p(R = 5) de recevoir 5 euros puis p(R = 1) et p(R = 2) ii. déterminer les probabilités p(R ≥ 2) et p(R < 2) et interpréter les résultats 2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs (a) combien y a t-il de résultats possibles ? (penser à un arbre de dénombrement) (b) combien y a t-il de cas où l’on reçoit 10 euros au total ? (c) en déduire la probabilité de recevoir 10 euros au total (d) quelle est la probabilité de recevoir 2 euros au total ? (e) quelle est la probabilité de recevoir 4 euros au total ? 3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R − 2 ( par exemple : X = 5 − 2 = 3) (a) compléter le tableau suivant somme reçu : R gain du jeu : X

5 3

total total

probabilité (b) quelle est la probabilité p(X > 0) de gagner de l’argent à ce jeu ? (c) quelle est la probabilité p(X < 0) de perdre de l’argent ? (d) calculer le gain moyen de faisant la moyenne des gains avec pour coefficients les probabilités (e) ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? 4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite (a) quelle est la probabilité d’avoir un gain total nul (b) quelle est la probabilité d’avoir un gain total strictement négatif ? activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X probabilité calculer : i. p(Xpair) ii. p(X ≥ 3) iii. p(X < 3)

1 0, 1

2 0, 1

3 0, 2

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

f

g

corrigé activité

✆✟

☛

i. p(R = 5) = ✡ ☛

✟☛

2

k

1 12 ✠ ✡ (c) on reçoit le nombre R d’euros indiqué selon le grand secteur

(b) p(a) = p(b) = p(c) = ... = p(k) = p(l) =

d

☎

j

✝ ☛

1

c

✞

(a) U = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l}

5

i

1. le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

e

h

corrigé activité 1

✟☛

b

4.2

✟

l

a

3 4 5 1 1 p(R = 1) = p(R = 2) = = = 12 4 ✠✡ 12 3 ✠✡ 12 ✠ ✟

2 8 = la probabilité de gagner au moins 2 euros est de ≃ 67% ii. p(R ≥ 2) = 12 3✠ ✡ ☛ ✟ 1 p(R < 2) = p(R = 1) = 3✠ ✡ la probabilité de gagner strictement moins de 2 euros est de ≃ 33% 2. on fait tourner deux fois la roue qui se stabilise consécutivement sur deux petits secteurs ✞

☎

(a) il y a 12 × 12 = 144 résultats possibles (voir l’arbre partiel ci dessous) ✝ ✆ a b c d(5) e(5) f (5) b g c h d(5) i e(5) j a f (5) k g l h i j k l ✞ ☎ (b) nombre de cas où l’on reçoit 10 euros (5 puis 5) au total : ✝3 × 3 = 9 cas ✆ b b b b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b b b b b

☛

✟

9 = 6, 25% (c) probabilité de recevoir 10 euros au total : ✡144 ✟ ☛ ✠ 16 4×4 (d) probabilité de recevoir 2 euros (1 puis 1) au total : = ≃ 11, 1% 144 ✡ 144 ✠ ☛

✟

5×5 25 (e) probabilité de recevoir 4 euros (2 puis 2) au total : = ≃ 17, 4% 144 ✡ 144 ✠

3. en fait, pour jouer à ce jeu (1 lancer de roue), il faut payer au préalable la somme de 2 euros, le "gain" du jeu est alors X = R − 2 ( par exemple : X = 5 − 2 = 3) (a)

somme reçu : R gain du jeu : X ☛

probabilité

1 −1 4 12

2 0 5 12

✟

3 (b) p(X > 0) = p(X = 3) = 12 ✠ ✡ ☛ ✟ 4 (c) p(X < 0) = p(X = 1) = 12 ✠ ✡

5 3 3 12

total total 12 12

(d) gain moyen = ✞

✞ ☎ 5 3 5 4 × (−1) + ×0+ ×3= ≃ 0, 42 euros ✝ ✆ 12 12 12 12

(e) ce jeu est à l’avantage du joueur car le gain moyen est positif. (0,42 > 0) ✝

4. dans le cas où l’on fait tourner la roue 2 fois de suite ☛

☎ ✆

✟

25 5×5 = ≃ 17, 3% (a) probabilité d’avoir un gain total nul : p(double 2) = 144 144 ✡ ✠

(b) probabilité d’avoir un gain total strictement négatif : ☛ ✟ 4×4+4×5+5×4 56 p(”double 1” ou ”1 puis 2”ou ”2 puis 1”) = = ≃ 39% 144 144 ✡ ✠

corrigé activité 2 pour ce dé à 6 faces non équilibré : résultat : X probabilité

1 0, 1

2 0, 1

3 0, 2

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

calculer :

✞

☎

i. p(Xpair) = p(X = 2) + p(X = 4) + p(X = 6) = 0, 1 + 0, 3 + 0, 05 = 0, 45 = ✝45% ✆ ii. p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) + ✞ p(X☎= 6) p(X ≥ 3) = 0, 2 + 0, 3 + 0, 25 + 0, 05 = 0, 8 = ✝80% ✆

✞

☎

iii. p(X < 3) = p(X = 1) + p(X = 2) = 0, 1 + 0, 1 = 0, 2 = ✝20% ✆

4.3

à retenir définition 2 : (expérience aléatoire et univers)  on connaît tous les résultats qui peuvent arriver (1) Une expérience est aléatoire si : on ne connaît pas le résultat qui va arriver (2) L’ensemble U des "résultats" possibles est appelé "l’univers" de l’expérience aléatoire Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F }

b.lancer d’un dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} d. jouer au loto (7 nombres différents de 1 à 49) : U = {(1; 2; 3; 4; 5; 6; 7); (1; 2; 3; 4; 5; 6; 8); ...; (43; 44; 45; 46; 47; 48; 49)} Remarques : a. chaque résultat est aussi appelé "issue", "événement élémentaire" ou "éventualité" b. l’univers est aussi noté Ω (grand oméga) c. à notre niveau, l’univers U aura toujours un nombre n entier et fini d’éléments on pourra alors noter U = {x1 ; x2 ; ...; xn } définition 3 : (probabilité et événement élémentaire ) Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Une probabilité p définie sur U est une fonction de U vers [0; 1] qui p(xi ) compris entre 0 et 1 et telle que : ☎ ✞ à chaque xi associe un nombre p(x1 ) + p(x2 ) + ... + p(xn ) = 1 (la somme des probabilités des issues vaut 1) ✝

✆

Remarques : a. le nombre p(xi ) compris entre 0 et 1 est appelé la "probabilité" de xi b. La somme des probabilités des éléments de U est égale à 1 Exemples : 1 2 3 4 1 1 1 1 probabilité 6 6 6 6 résultat 1 2 b. dé à 6 faces non équilibré : probabilité 0, 1 0, 1 a. dé à 6 faces équilibré :

résultat

5 6 total 1 1 1 6 6 3 4 5 0, 2 0, 3 0, 25

6 0, 05

total 1

définition 4 : (probabilité et événement quelconque ) Soit un l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } sur lequel est défini une probabilité p Soit A une partie de U  • Si A 6= ∅ est constituée des issues xi1 ; ...; xik (A = {xi1 ; ...;✞xik })  ☎     alors la probabilité de A est le nombre noté p(A) avec : p(A) = p(xi1 ) + ... + p(xik )   ✝ ✆   (p(A) est la somme des issues qui constituent A)  ☎ ✞ ✞ ☎     • Si A = ∅ alors p(A) = 0 on dit que A est un événement "impossible"  ✝ ✆☎ ✝ ✆  ✞   • si p(A) = 1 on dit que A est un événement "certain" ✝

✆

propriété 2 : (cas de l’équiprobabilité) Soit l’univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } constitué de n > 0 issues et p une probabilité ☛ ✟ 1 (1) Si p(x1 ) = p(x2 ) = ... = p(xn ) = alors on dit qu’il y a "équiprobabilité" n ✡ ✠ (toutes les éventualités ont la même probabilité) (2) Soit A une partie de U constituée des élémentaires xi1 ; ...; xik ✟ k événements ✟ ☛ ☛ k nombre de cas f avorables pour A ou encore p(A) = S’il y a équiprobabilité alors p(A) = n✠ nombre de cas au total ✡ ✡ ✠ Exemples : i. dé à 6 faces équilibré :

p(Xpair) = ...

résultat : X probabilité

p(X ≥ 3) = ...

ii. dé à 6 faces non équilibré :

p(Xpair) = ...

1 1 6

2 1 6

3 1 6

4 1 6

5 1 6

6 1 6

total 1

p(X < 3) = ... résultat : X probabilité

p(X ≥ 3) = ...

1 0, 1

2 0, 1

3 0, 2

p(X < 3) = ...

4 0, 3

5 0, 25

6 0, 05

total 1

4.4

exercices exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

2e

5e

on reçoit le nombre d’euros indiqué 0e

(a) donner les probabilités suivantes i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5) de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e, ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase) iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)

(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ? (c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée

3 21 donner la valeur exacte de p(f ace) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5 la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =

exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,1 0,05 0,15

4 0,02

5 0,28

6

total

i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non ii. calculer les probabilités suivantes A. p(P air) (probabilité que le score S soit Pair) B. p(S ≥ 3) C. p(S > 3) exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d’Ali :

Sac de Bernard :

Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges et 30 billes noires

100 billes rouges et 3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?

exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon Fille Seconde 140 20 Première 410 90 Terminale 150 190 total 700 300

Total 160 500 340 1000

(a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l’élève est une fille ii. B : l’élève est en première iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale iv. E : l’élève n’est pas en première (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. 2 1 1 3 1

2

Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ? Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?

A 2 3 1 4 1 3 2 6 5 6

B 6 4 1 6 2 4 1 2 1 6

C 4 1 3 3 6 2 3 3 6

exercice 7 : Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. — 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. — 12 permettent de gagner une grosse peluche. — 36 permettent de gagner une petite peluche. — 68 permettent de gagner un porte-clés. — Les autres billets sont des billets perdants. Quelle est la probabilité pour un participant : (a) de gagner un lecteur MP3 ? (b) de gagner une peluche (grande ou petite) ? (c) de gagner quelque chose ? (d) de ne rien gagner ?

exercice 8 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11e fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ? exercice 9 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. 7 6 5 4 3 2 1 0

chien

chat

dauphin perroquet araignée

lion

On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : (a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré) (b) p(félin) (c) p(4 pattes) exercice 10 :

On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuré en bleu ( dans le rectangle P1 P2 P3 P4 ) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteint que chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1 P2 P3 P4 ) . Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1 C2 ) ( arrondir à 1% par excès si 5 ) (Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsi la probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...)

4.5

corrigés exercices corrigé exercice 1 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

2e

5e

on reçoit le nombre d’euros indiqué (a) probabilités suivantes nb cas f avorables 7 i. p(R = 0) = = ≃ 0, 58 ≃ 58% nb cas total 12 1 2 = ≃ 0, 17 ≃ 17% p(R = 2) = 12 6 3 1 p(R = 5) = = = 25% de chances de recevoir 5 e 12 4

0e

3 5 2 + = ≃ 42% 12 12 12 soit ≃ 42% de chances de recevoir un nombre d’euros positif strict

ii. p(R > 0) = p(R = 2) + p(R = 5) =

iii. p(R < 5) = p(R = 0) ≃ 58% de chances de recevoir strictement moins de 5 e (b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ? P 2 5 29 7 +2× +5× = ≃ 2, 42 e moyenne = E(R) = p i xi = 0 × 12 12 12 12 (c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? le jeu est à l’avantage du joueur car il reçoit en moyenne plus qu’il ne dépense pour jouer ( 2, 42 > 2) corrigé exercice 2 : une pièce de monnaie est truquée la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) = p(f ace) = 1 − p(f ace) = 1 − p(pile) = 1 − corrigé exercice 3 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,1 0,05 0,15

4 0,02

3 21

21 3 18 6 3 = − = = ≃ 0, 86 ≃ 86% 21 21 21 21 7

5 0,28

6 x

total y

i. y = 1 x = 1 − (0, 1 + 0, 05 + 0, 15 + 0, 02 + 0, 28) = 0, 4 le dé est truqué car les 6 faces n’ont pas pour probabilités respectives

1 6

ii. calculer les probabilités suivantes A. p(P air) = p(S = 2) + p(S = 4) + p(S = 6) = 0, 05 + 0, 02 + 0, 4 = 0, 47 B. p(S ≥ 3) = p(S = 3) + p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 15 + 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 85 C. p(S > 3) = p(S = 4) + p(S = 5) + p(S = 6) = 0, 02 + 0, 28 + 0, 4 = 0, 7

corrigé exercice 4 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d’Ali :

Sac de Bernard :

Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges et 30 billes noires

100 billes rouges et 3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? 5 pAli (Rouge) = = 1 = 100% 5 10 10 pBernard (Rouge) = = = 25% 10 + 30 40 100 100 = ≃ 97% pClaude (Rouge) = 100 + 3 103 c’est donc Ali avec 100% de chances de tomber sur une rouge ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. soit x le nombre de billes noires à ajouter dans le sac d’Ali, on a donc : 5 10 = 5+x 10 + 30 5 10 ⇐⇒ = 5+x 40 ⇐⇒ 10(5 + x) = 5 × 40 ⇐⇒ 50 + 10x = 200 ⇐⇒ x =

150 200 − 50 = = 15 10 10

Avant le tirage, il faut ajouter 15 billes noires dans le sac d’Ali

corrigé exercice 5 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon 140 410 150 700

Seconde Première Terminale total

Fille 20 90 190 300

Total 160 500 340 1000

(a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l’élève est une fille 300 p(A) = = 30% 1000 ii. B : l’élève est en première 500 = 50% p(B) = 1000 iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale 150 = 15% p(C) = 1000 iv. E : l’élève n’est pas en première p(E) = 1 − p(E) = 1 − p(B) = 1 − 0, 5 = 50% (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? 90 pf ille (1) = = 30% 300 ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? 90 = 18% p1 (f ille) = 500 corrigé exercice 6 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. 1

2 1

3

1 2

Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ? Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?

A☎ B ✞ 2 ✝3 1 ✞4 1 ✝3 2 ✞6 5 ✝6

✆ ☎ ✆ ☎ ✆

C 6 4 4 ✞ ☎ 1 1 6 ✝3 ✆ 2 3 ✞4 ☎ 6 1 2 ✝2 ✆ 3 1 3 6 6

corrigé exercice 7 : Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. — 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. — 12 permettent de gagner une grosse peluche. — 36 permettent de gagner une petite peluche. — 68 permettent de gagner un porte-clés. — Les autres billets sont des billets perdants. on a pour probabilités pour un participant : 4 ≃ 2% (a) p(M P 3) = 180 12 36 48 (b) p(peluche) = + = ≃ 27% 180 180 180 (c) p(gagner) =

120 4 + 12 + 36 + 68 = ≃ 67% 180 180

(d) p(perdre) = 1 − p(perdre) = 1 − p(gagner) =

60 180 120 − = ≃ 33% 180 180 180

corrigé exercice 8 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11e fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ? 1 p(6) = ≃ 17% 6 corrigé exercice 9 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. 7 6 5 4 3 2 1 0

chien

chat

dauphin perroquet araignée

lion

On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : 5 5 = = 25% (a) p(chat) = 6+5+3+2+1+3 20 5 3 8 (b) p(f e´lin) = p(chat) + p(lion) = + = = 40% 20 20 20 14 = 70% (c) p(4pattes) = p(chien) + p(chat) + p(lion) = 20

corrigé exercice 10 :

On lance une fléchette dans le rectangle ABCD ci dessous où chacun des rectangles hachuré en bleu ( dans le rectangle P1 P2 P3 P4 ) a une probabilité deux fois plus grande d’être atteint que chacun des rectangles hachuré en vert (ceux en dehors du rectangle P1 P2 P3 P4 ) . Quelle est la probabilité d’atteindre la cible rouge (rectangle de diagonale C1 C2 ) ( arrondir à 1% par excès si 5 ) (Aide : Poser et résoudre une équation avec x = probabilité d’ une case verte, trouver ainsi la probabilité d’une case verte puis d’une bleue puis ...) Posons : p(petit rectangle vert) = x donc : p(petit rectangle bleu) = 2x de plus : p(Zone rouge de diagonale C1 C2 ) = p(carrés bleus de la zone rouge) + p(carrés verts de la zone rouge) ainsi : p(Zone rouge de diagonale C1 C2 ) = 10 × 2x + 26 × x soit : p(Zone rouge de diagonale C1 C2 ) = 46x il reste à trouver la valeur de x or : p(rectangle bleu) + p(tout sauf le rectangle bleu) = 1 par conséquent : 20 × 2x + 80 × x = 1 ce qui donne : 120x = 1 1 d’où : x= 120 46 1 = ≃ 0, 383 ≃ 38% conclusion : p(Zone rouge de diagonale C1 C2 ) = 46x = 46 × 120 120

5

probabilités et opérations sur les événements

5.1 5.1.1

activité activité 1 Un groupe A de 10 amis dont on ne connaît que les initiales des prénoms est tel que : • • • •

d et e pratiquent un sport et d’un instrument de musique a, b, c pratiquent un sport uniquement f et g jouent d’un instrument de musique uniquement h , i et j ne font ni l’un ni l’autre

A M S

1. compléter le schéma à bulle donné appeler M l’ensemble des "musiciens", S celui des "sportifs" 2. on choisit une de ces personnes au hasard (a) quelle est la probabilité p(M ) qu’elle soit musicienne ? (b) quelle est la probabilité p(S) qu’elle soit sportive ? (c) quelle est la probabilité p(S ∩ M ) qu’elle soit sportive et musicienne ? (d) quelle est la probabilité p(S ∪ M ) qu’elle soit sportive ou musicienne ? (donner 2 méthodes dont une à partir des trois résultats précédents ) (e) quelle est la probabilité p(S) qu’elle ne soit pas sportive ? (donner deux méthodes) (f ) quelle est la probabilité p(M ) qu’elle ne soit pas musicienne ? (donner deux méthodes) (g) quelle est la probabilité p(S ∩ M ) ? (donner la phrase d’interprétation) (h) quelle est la probabilité p(S ∪ M ) ? (donner la phrase d’interprétation)

5.1.2

activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon Fille Seconde 280 40 Première 820 180 Terminale 300 380 total 1400 600

Total 320 1000 680 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. (a) F : l’élève est une fille (b) P : l’élève est en première (c) G ∩ T : l’élève est un garçon et est en terminale (d) G ∪ T : l’élève est un garçon ou est en terminale (e) P : l’élève n’est pas en première 2.(a) définir l’événement F ∩ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près (b) définir l’événement S ∩ T par une phrase et donner sa probabilité que dire de l’événement S ∩ T ? que dire des événements S et T ? (c) définir l’événement S ∪ T par une phrase et donner sa probabilité (d) définir l’événement F ∪ P par une phrase et donner sa probabilité à 1% près (e) définir l’événement F par une phrase et donner sa probabilité 3.(a) on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? (b) on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ?

5.1.3

activité 3

B1

R1 R2

R3

B2

R4 B3

V1

V2 V3

On tire au hasard une bille avec équiprobabilité Déterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier 1. rouge 2. non rouge 3. impair 4. rouge et impair 5. rouge ou impair 6. rouge et vert 7. rouge ou vert

5.1.4

activité 4 : tables de vérité

1. Table de vérité pour la négation (NON) x∈A

x∈A

V

A

U

A

F 2. Table de vérité pour l’intersection (ET) U x∈A F

x∈B F

V

F

F

V

V

V

x∈ A∩B

B

U A

U B

A∩B A

A∩B B

A

A∩B =∅

3. Table de vérité pour la réunion (OU)

x∈A F

x∈B F

V

F

F

V

V

V

x∈ A∪B

B

U

U

A∪B

A∪B

U B A∪B

A

A∪B

A

4. Contraire du OU A

B

F

F

F

V

V

F

V

V

A

B

A∪B

A∪B

A∩B

comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∪ B et A ∩ B ? : ... 5. Contraire du ET A

B

F

F

F

V

V

F

V

V

A

B

A∩B

A∩B

A∪B

comparer les deux dernières colonnes, qu’en déduire pour A ∩ B et A ∪ B ? : ...

5.2

corrigé activité

5.2.1

corrigé activité 1

1. schéma 2. on choisit une de ces personnes au hasard ☛

A

✟

4 (a) p(M ) = = 40% 10 ✡ ✠ ☛

•i M S

✟

5 (b) p(S) = = 50% 10 ✡ ✠ ✟ ☛ 2 = 20% (c) p(S ∩ M ) = 10 ✡ ✠

•c •a

•d

•f

•b

•e

•g

•h

✟

☛

7 = 70% (d) p(S ∪ M ) = 10 ✡ ✠ ✞

p(S ∪ M ) = p(S) + p(M ) − p(S ∩ M ) = 50% + 40% − 20% = 70%

✝ ☛

(e) p(S) = ✡ ✞

✟

5 = 50% 10 ✠

p(S) = 1 − p(S) = 1 − 0, 5 = 0, 5 = 50%

✝ ☛

✟

6 (f ) p(M ) = = 60% 10 ✡ ✠ ✞

(g) p(S ∩ M ) = (h)

✡ ✞

✟

3 = 30% 10 ✠

☎

✆

☎

✆

p(M ) = 1 − p(M ) = 1 − 0, 4 = 0, 6 = 60%

✝ ☛

☎

✆

p(S ∪ M ) = p(S) + p(M ) − p(S ∩ M ) = 50% + 60% − 30% = 80%

✝

•j

☎

✆

5.2.2

corrigé activité 2 on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

1.(a) p(Fille) = p(F ) =

✞ ☎ 600 = 0, 3 ✝ ✆ 2000

(b) p(Première) = p(P ) =

✞ ☎ 1000 = 0, 5 ✝ ✆ 2000

(c) p(Garçon et terminale) =p(G ∩ T ) = (d) p(Garçon ou terminale) =p(G ∪ T ) =

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

☎ ✞ 300 = 0, 15 ✝ ✆ 2000

☎ ✞ 1400 + 680 − 300 1780 = = 0, 89 ✝ ✆ 2000 2000

autre méthode avec la "formule du ou"

☎ 1400 ☎ ✞ 680 300 1780 = + − = = 0, 89 ✝ ✆ ✆ 2000 2000 2000 2000 ☎ ✞ ☎

✞

p(G ∪ T ) = p(G) + p(T ) − p(G ∩ T )

✝

(e) p(pas en première) =

✞

p(P ) = 1 − p(P )

✝

= 1 − 0, 5 = 0, 5 ✝

✆

✆

☎ ✞ ☎ ✞ 180 ; p(F ∩ P ) = 2.(a) F ∩ P : ✝l’élève est une fille et est en première ✆ = ✝0, 09 ✆ 2000 ✄ ✄ 0 = ✂0 ✁ (b) S ∩ T : ✂l’élève est en seconde et est en terminale ✁; p(S ∩ T ) = 2000 ✄

(c) S ∪ T : ✂l’élève est en seconde ou est en terminale ✁; p(S ∪ T ) =

✞ ☎ 1000 320 + 680 = = ✝0, 5 ✆ 2000 2000

autre méthode avec la "formule du ou" ✞

p(S ∪ T ) = p(S) + p(T ) − p(S ∩ T )

✝

☎

✞ ☎ 680 0 320 + 680 1000 320 + − = = = 0, 5 ✝ ✆ ✆ 2000 2000 2000 2000 2000

=

✞

☎

(d) F ∪ P : l’élève est une fille ou est en première ; p(F ∪ P ) = ✞

✝

☎✞

(e) F : l’élève n’est pas une fille ; ✝

(b) ppremiere (f ille) =

p(F ) = 1 − p(F )

✆✝

3.(a) pf ille (premiere) =

✞ ☎ 180 = 0, 3 ✝ ✆ 600

☎ ✞ 180 = 0, 18 ✝ ✆ 1000

✆

☎

✞ ☎ 1000 + 600 − 180 = 0, 71 ✝ ✆ 2000 ✞

= 1 − 0, 3 = 0, 7

✆

✝

☎ ✆

5.2.3

corrigé activité 3

B1

R1 R2

B2

R3

R4 B3

V2 V3

V1

On tire au hasard une bille avec équiprobabilité Déterminer quel est l’événement le plus probable parmi les événements suivants et justifier ✞ ☎ 4 1. p(rouge) = = 0,4 = ✝40% ✆ 10 ✞

☎

2. p(non rouge) = 1 - p(rouge) = 1 - 0,4 = 0,6 = ✝60% ✆ 3. p(impair) =

✞ ☎ 6 = 0,6 = ✝60% ✆ 10

4. p(rouge et impair) =

✞ ☎ 2 = 0,2 = ✝20% ✆ 10

5. p(rouge ou impair) = p(rouge) + p(impair) - p(rouge et impair) ✞

☎

p(rouge ou impair) = 40% + 60% - 20% = ✝80% ✆ 6. p(rouge et vert) =

✞ ☎ 0 = 0 = ✝0% ✆ 10

7. p(rouge ou vert)= p(rouge) + p(vert) - p(rouge et vert) = 40% + l’événement

✞

le plus probable

✝

☎

est

✆

✞

"rouge ou impair"

✝

☎

✞ ☎ 3 - 0% = 0,7 = ✝70% ✆ 10

avec une probabilité de 80%

✆

5.3

à retenir U

définition 5 : (événement contraire) Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soit A ⊂ U un sous ensemble de U (un "événement")

A

✞ ☎

A

"L’événement contraire" de A est noté ✝A ✆où ✞ ☎ A est le sous ensemble de U constitué de tous les éléments de U qui ne sont pas dans A ✝

✆

Remarques : a. U = ∅,

∅ = U,

U =U

Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } , le contraire de "pile" est "face" b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} le contraire de "six"= {6} est "tout sauf six"= {1; 2; 3; 4; 5} le contraire de "pair"= {2; 4; 6} est "impair"= {1; 3; 5} le contraire de "Score > 3"= {4; 5; 6} est "Score ≤ 3"= {1; 2; 3} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} le contraire de "roi" est "tout sauf roi" U définition 6 : (intersection d’événements) B Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U A

U

U A

B

A∩B

A∩B B

A

A∩B =∅ ✄ "L’intersection de A avec B est notée ✂A ∩ B ✁ ("A inter B") où ☎ ✞ A ∩ B est constitué de tous les éléments de U qui sont à la fois dans A et dans B ✝

✞ ☎ ✄ si A etB n’ont ✂aucun éléments en commun on note alors : A ∩ B = ∅ ✝ ✞ ✞ ☎ ✁ ☎✆

et on dit que A et B sont "disjoints" ou encore "incompatibles" ✝

✆

✝

✆

✆

(cas 2 ci dessus)

Remarques : a. A ∩ B se lit aussi "A et B" Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } : pile ∩ f ace = ∅, "pile" et "face" sont incompatibles b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] ∩ [Score pair] = {4; 6} [Score ≤ 3] ∩ [Score impair] = {1; 3} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {as de coeur; ...; 7 de pique} roi ∩ as = ∅ roi ∩ coeur = {roi de coeur}

définition 7 : (réunion d’événements)

B

Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U

U

U

A∪B

A∪B

U B A∪B

A

A∪B

A

✄

"la réunion " des ensembles A et B est notée ✂A ∪ B ✁ ("A union B") où ✞ ☎ A ∪ B est constitué des éléments de U qui sont dans au moins un des ensembles A ou B ✝

✆

Remarques : a. A ∪ B se lit aussi "A ou B" Exemples : a. lancer d’une pièce : U = {P ; F } pile ∪ f ace = {P ; F } = U b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} [Score > 3] ∪ [Score pair] = {2; 4; 5; 6} [Score ≤ 3] ∪ [Score impair] = {1; 2; 3; 5} c. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As♥; ...; 7♠} roi ∪ as = {R♠; R♣; R♥; R♦; As♠; As♣; As♥; As♦} propriété 3 : Soit un univers U = {x1 ; x2 ; ...; xn } Soient A ⊂ U un sous ensemble de U Soient B ⊂ U un sous ensemble de U ✞

☎

✞

☎

(1) pour ✝A le contraire de A ✆on a : p(A) = 1 − p(A) ✝ ✆ ✞

✄

☎

(2) pour ✂A ∪ B la réunion de A et B ✁ on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) ✝ ✆ ✞

☎

✞

☎

(3) si ✝A ∩ B = ∅ ✆(A et B incompatibles) on a : p(A ∪ B) = p(A) + p(B) ✝ ✆ Exemples : a. choix d’une carte dans un jeu usuel de 32 cartes : U = {As♥; ...; 7♠} p(Roi ∪ ♥) = p(Roi) + p(♥) − p(Roi ∩ ♥) p(Roi ∪ ♥) =

4 8 1 11 + − = 32 32 32 32

b. lancer d’une dé à six faces : U = {1; 2; 3; 4; 5; 6} p([Score > 3] ∪ [Score pair]) = p(Score > 3) + p(Score pair) − p([Score > 3] ∩ [Score pair]) p([Score > 3] ∪ [Score pair]) =

4 3 3 2 + − = 6 6 6 6

12

1

exercice 11 :

i. p(pair), p(gris) iii. p(pair et gris) iv. p(pair ou gris)

4

2

11

ii. p(gris)

3

10

(a) calculer les probabilités suivantes

9

le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

8

7

exercices

6

5.4

v. p(pair et gris) vi. p(pair ou gris) vii. p(pair et gris) viii. p(pair ou gris) (b) pair et gris sont-ils incompatibles ? (c) gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ? exercice 12 : dans une classe — 80% ont fait — 60% ont fait — 50% ont fait

de terminale, pour l’année suivante : un dossier de B.T.S un dossier d’ I.U.T les deux

calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase i. p(IU T ), p(BT S) ii. p(IU T ∪ BT S) iii. IU T et BT S sont-ils incompatibles ? exercice 13 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,2 0,15 0,05

4 0,1

5 0,3

6 0,2

i. calculer les probabilités suivantes A. p(impair), p(S > 3) B. p(impair), p(S > 3) C. p(S > 3 et impair) D. p(S > 3 ou impair) E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles ?

total 1

exercice 14 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

Seconde : S Première : P Terminale : T total

Garçon : G 280 820 300 1400

Fille :F 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

(a) on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner une phrase d’interprétation. i. p(G) ii. p(S) iii. p(S) iv. p(G ∩ S) v. p(T ∩ S) vi. p(G ∪ S) vii. p(T ∪ S) viii. p(G ∪ F ) (b) G et S sont-ils incompatibles ? (c) T et S sont-ils incompatibles ?

5.5

corrigés exercices

6

probabilités et expériences aléatoires composées

6.1 6.1.1

activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée 1. on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" (a) proposer une valeur pour la probabilité p(X = 2) d’obtenir deux fois pile (b) utiliser l’arbre de dénombrement suivant pour déterminer p(X = 1)

b

P :X=2 b

F :X=1 b

P :X=1 b

F :X=0

P

(c) déterminer p(X = 0)

b

b

(d) en déduire p(X > 0) et interpréter cette valeur

F b

2. on lance la pièce trois fois (a) construire un arbre de dénombrrement (b) déterminer la probabilité p(X = 0) (c) en déduire la probabilité p(X > 0) et interpréter le résultat 3. on lance la pièce n fois où n > 0 (a) esquisser un arbre de dénombrrement (b) exprimer p(X = 0) en fonction de n (c) en déduire p(X > 0) en fonction de n (d) déterminer le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moins une fois pile" soit de 99%

6.1.2

activité 2 une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : 1. elle est tout de blanc vêtue

B

b

b b

2. elle porte du blanc 3. elle porte du blanc et du rouge

b

R

b

b

b

b

b

4. elle porte du blanc ou du rouge 5. elle n’est pas tout de blanc vêtue

N

b

b

b

b

B R J B R J B R J

6.1.3

activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce groupe d’élèves Garçon Fille Total Seconde 2 1 3 Première 1 1 2 Terminale 1 2 3 total 4 4 8 déterminer les probabilités suivantes 1. les deux élèves sont des filles

2. les deux élèves sont des premières

3. il y a un garçon puis une fille

4. il y a un garçon et une fille

6.1.4

activité 4 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée Garçon Fille Total Seconde 280 40 320 Première 820 180 1000 Terminale 300 380 680 total 1400 600 2000 déterminer les probabilités suivantes 1. les deux élèves sont des filles

2. les deux élèves sont des premières

3. il y a un garçon et une fille

6.2

corrigé activité activité 1 on joue à pile ou face avec une pièce de monnaie équilibrée (a) on lance la pièce deux fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" ☛

✟

☛

✟

1 i. p(X = 2) = = 25% d’obtenir deux fois pile 4 ✡ ✠

2 ii. p(X = 1) = = 50% 4 ✡ ✠ ☛

b

P :X=2 b

F :X=1 b

P :X=1 b

F :X=0

P

✟

b

1 iii. p(X = 0) = = 25% 4 ✡ ✠

b

iv. p(X > 0) = 1 − p(X = 0) ✞ ☎ p(X > 0) = 1 − 0, 25 = 0, 75 = ✝75% ✆ Il y a 75% de chance de faire au moins une fois "pile"

F b

(b) on lance la pièce trois fois soit X le nombre de fois où l’on a obtenu "pile" ✟

☛

P

1 i. p(X = 0) = = 12, 5% 8 ✡ ✠

b

P b

F b

P b

F b

P b

F b

P b

F

b

P b

F b

b

P b

F ✟

☛

b

F

1 ii. p(X > 0) = 1 − = 87, 5% 8 ✡ ✠

b

(c) on lance la pièce n fois où n > 0 ☛

✟

1 1 i. p(X = 0) = n = ( )n = 0, 5n 2 2 ✡ ✠ ✞

ii. p(X > 0) = 1 − 0, 5n ✝

☎ ✆

iii. le plus petit nombre de lancer à effectuer pour que la probabilité d’obtenir "au moins une fois pile" soit de 99% est n = 7 car : un = 1 − 0, 5n défini une suite numérique strictement croissante (admis) n 1 − 0, 5n

6 ≃ 0, 98

7 ≃ 0, 992

activité 2 une personne choisit au hasard un pantalon parmi trois pantalons (un blanc, un rouge et un noir) puis une chemise au hasard (blanche, jaune ou rouge) calculer les probabilités suivantes : ☛

☛

✟

1 (a) p(elle est tout de blanc vêtue) = 9✠ ✡

✟

1 8 (e) p(pas tout de blanc vêtue) = 1 − = 9 9 ✡ ✠ B B ☛ ✟ R 5 (b) p(elle porte du blanc) = J 9✠ ✡ B R ☛ ✟ 2 R (c) p(elle porte du blanc et du rouge) = 9 J ✡ ✠ B ☛ ✟ N 8 R (d) p(elle porte du blanc ou du rouge) = 9 J ✡ ✠ b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

b

activité 3 on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée Garçon Fille Total Seconde 280 40 320 Première 820 180 1000 Terminale 300 380 680 total 1400 600 2000 déterminer les probabilités suivantes ☛

✟

359400 600 × 599 = ≃ 9% (a) p(2 filles ) = 2000 × 1999 3998000 ✡ ✠ ✟ ☛ 1000 × 999 999000 (b) p(2 premières) = = ≃ 25% 2000 × 1999 3998000 ✡ ✠ ☛

✟

1680000 1400 × 600 + 600 × 1400 = ≃ 42% (c) p(un garçon et une fille) = 2000 × 1999 3998000 ✡ ✠

6.3

à retenir définition 8 : (expérience aléatoire composée) ✞

☎

(1) une expérience est composée si elle est constituée ✝ ✆ ☎ ✞ d’ au moins deux expériences aléatoires consécutives ✝

✆ ✄ (2) pour ✂dénombrer ✁ l’univers U d’une expérience aléatoire composée (calculer les nombre✄ de cas possibles) ou tout autre événement A on peut utiliser un ✂arbre de dénombrement ✁

Exemples : a. série de deux lancers d’une pièce équilibrée donc 2 × 2 = 4 cas au total b. série de trois lancers d’un dé à six faces équilibré donc 6 × 6 × 6 = 196 cas au total c. série de trois cartes distinctes dans un jeu usuel de 32 cartes donc 32 × 31 × 30 = 29760 cas au total d. série de 7 numéros distincts parmi 49 donc 49 × 48 × 47 × 46 × 45 × 44 × 43 = 432938943360 cas au total

6.4

exercices exercice 15 : on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces (a) calculer les probabilités suivantes i. on obtient un double huit ii. on obtient aucune fois 8 iii. on obtient au moins une fois 8 (b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’au moins 99 % (c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12 exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée déterminer les probabilités suivantes (a) les deux élèves sont des garçons (b) les deux élèves sont des terminales (c) il y a un première et un terminale

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

exercice 17 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes exercice 18 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

6.5

corrigés exercices

7

exercices exercice 1 : dans le Q.C.M. suivant, il n’y a q’une seule bonne réponse par question, une bonne réponse rapporte 1 point, une mauvaise enlève 0, 5 points, aucune réponse n’enlève ni ne rapporte aucun point (un score négatif est ramené à 0) 1. avec une pièce de monnaie équilibrée, p(pile) =?

réponse A : 0

réponse B :

1 3

1 2

réponse C :

réponse D : autre

2. avec un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, 2 1 p(2 points) =? réponse C : réponse A : 1 réponse B : 6 6 3. avec le dé suivant, p(pair) =?

score probabilités

réponse A : 0, 05

1 0, 1

2 0, 05

3 0, 2

réponse B : 0, 08

4 0, 03

réponse D : 6

5 0, 02

total ?

6 ?

réponse C : 0, 68

réponse D :

3 6

4. pour un jeu de 32 cartes (8 ♥, 8 ♦, 8 ♣, 8 ♠), (4 rois, 4 reines, ... ),(16 rouges, 16 noires) dans lequel on choisit une carte au hasard 4 4 1 (a) p(roi) =? réponse B : réponse C : réponse D : 4 réponse A : 4 32 8 (b) p(coeur) =?

réponse A :

1 8

réponse B :

1 4

réponse C :

32 8

réponse D : 8

(c) p(roi et coeur) =?

réponse A :

1 32

réponse B :

12 32

réponse C :

11 32

réponse D : 11

(d) p(roi ou coeur) =?

réponse A :

1 32

réponse B :

12 32

réponse C :

11 32

réponse D : 11

(e) p(Roi) =?

réponse A :

4 32

réponse B :

32 28

réponse C : 87, 5%

(a) p(f ille) =? (b) p(droitier) =?

réponse A :

2 30

réponse A :

réponse B : 17 30

17 30

réponse B :

réponse C : 15 30

garçons 3 10 13

gaucher droitier total

5. on choisit au hasard un élève dans la classe suivante

réponse D : 28%

2 5

réponse C :

filles 2 15 17

total 5 25 30

réponse D : 17 25 30

réponse D :

10 30

(c) p(f ille et droitier) =?

réponse A :

42 30

réponse B :

27 30

réponse C :

15 30

réponse D :

(d) p(f ille ou droitier) =?

réponse A :

15 30

réponse B :

42 30

réponse C :

27 30

réponse D : 15

(e) l’élève est choisit parmi les gauchers, quelle est la probabilité qu’il soit une "fille" ? 3 2 2 2 pG (f ille) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 30 30 17 5 (f ) l’élève est choisit parmi les filles, quelle est la probabilité qu’il soit " gaucher" ? 5 2 2 15 pf ille (gaucher) =? réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 17 30 17 17

15 25

6. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1 On choisit une bille au hasard, ON LA REMET dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous (a) p(2vertes) =?

réponse A :

1 4

réponse B :

2 6

réponse C :

1 2

réponse D :

4 9

(b) p(2rouges) =?

réponse A :

1 4

réponse B : 0

réponse C :

1 9

réponse D :

2 4

7. Une urne contient 2 billes vertes V1 et V2 ainsi qu’une rouge R1 On choisit une bille au hasard, ON NE LA REMET PAS dans l’urne, On choisit à nouveau une bille dans l’urne On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous (a) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes vertes" ? 1 2 1 2 réponse A : réponse B : réponse C : réponse D : 4 9 2 6 (b) Quelle est la probabilité d’obtenir "2 billes rouges" ? 1 1 2 réponse A : réponse B : 0 réponse C : réponse D : 4 9 4 8. On lance deux fois de suite un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6 On pourra s’aider d’un des arbres de dénombrement donnés ci dessous p(double 6) =?

réponse A :

1 36

réponse B : 6

réponse C :

1 6

réponse D :

2 6

arbres pour les trois dernières questions

arbre 1

V1

V1

V2

arbre 2

R1 V1

V1

V2

R1

1 2 3 4 5 6

V1 V2 R1 V1

V2 R1

arbre 3

R1

V2 R1 V1

V2

R1

V2

1 2 3 4 5 6 b

b

b

exercice 2 : le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

2e

5e

on reçoit le nombre d’euros indiqué 0e

(a) donner les probabilités suivantes i. p(R = 0), p(R = 2) et p(R = 5) de recevoir respectivement 0e, 2e et 5e, ii. p(R > 0) (interpréter le résultat par une phrase) iii. p(R < 5) (interpréter le résultat par une phrase)

(b) combien reçoit-on en moyenne si on prend pour coefficients les probabilités ? (c) sachant qu’il faut payer 2 euros pour jouer, ce jeu est-il à l’avantage du joueur ou de l’organisateur ? exercice 3 : une pièce de monnaie est truquée

3 21 donner la valeur exacte de p(f ace) ainsi que cette valeur en % à 1% près par excès si 5 la probabilité de faire pile avec cette pièce est estimée à p(pile) =

exercice 4 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,1 0,05 0,15

4 0,02

5 0,28

6

total

i. compléter les deux cases vides et préciser si le dé est truqué ou non ii. calculer les probabilités suivantes A. p(P air) (probabilité que le score S soit Pair) B. p(S ≥ 3) C. p(S > 3) exercice 5 : Trois personnes, Ali, Bernard et Claude ont chacune un sac contenant des billes. Chacune tire au hasard une bille de son sac. i. Le contenu des sacs est le suivant : Sac d’Ali :

Sac de Bernard :

Sac de Claude :

5 billes rouges

10 billes rouges et 30 billes noires

100 billes rouges et 3 billes noires

Laquelle de ces personnes a la probabilité la plus grande de tirer une bille rouge ? ii. On souhaite qu’Ali ait la même probabilité que Bernard de tirer une bille rouge. Avant le tirage, combien de billes noires faut-il ajouter pour cela dans le sac d’Ali ?

exercice 6 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Garçon 140 410 150 700

Seconde Première Terminale total

Fille 20 90 190 300

Total 160 500 340 1000

(a) on choisit au hasard un des élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près. i. A : l’élève est une fille ii. B : l’élève est en première iii. C : l’élève est un garçon et est en terminale iv. E : l’élève n’est pas en première (b) i. on choisit au hasard une fille, quelle est la probabilité qu’elle soit en première ? ii. on choisit un élève de première, quelle est la probabilité que ce soit une fille ? exercice 7 : Un sac contient six boules : quatre blanches et deux noires. Ces boules sont numérotées : Les boules blanches portent les numéros 1 ; 1 ; 2 et 3 et les noires portent les numéros 1 et 2. 1

2 1

3

1 2

Question Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ? Quelle est la probabilité de tirer une boule portant le numéro 2 ? Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche numérotée 1 ? Quelle est la probabilité d’obtenir au moins deux point ? Quelle est la probabilité d’obtenir au plus deux point ?

A 2 3 1 4 1 3 2 6 5 6

B 6 4 1 6 2 4 1 2 1 6

C 4 1 3 3 6 2 3 3 6

exercice 8 : Au stand d’une fête foraine, un jeu consiste à tirer au hasard un billet de loterie dans un sac contenant exactement 180 billets. — 4 de ces billets permettent de gagner un lecteur MP3. — 12 permettent de gagner une grosse peluche. — 36 permettent de gagner une petite peluche. — 68 permettent de gagner un porte-clés. — Les autres billets sont des billets perdants. Quelle est la probabilité pour un participant : (a) de gagner un lecteur MP3 ? (b) de gagner une peluche (grande ou petite) ? (c) de gagner quelque chose ? (d) de ne rien gagner ?

exercice 9 : Pierre a lancé dix fois un dé cubique (non truqué). À chaque fois, il a obtenu 6. Il lance ce dé une 11e fois. Quelle est la probabilité d’obtenir 6 au 11e lancer ? exercice 10 : Dans une classe, un sondage a été fait auprès des élèves pour connaître leur animal préféré. Les résultats sont illustrés dans le graphique ci-dessous. 7 6 5 4 3 2 1 0

chien

chat

dauphin perroquet araignée

lion

On tire au hasard un élève de cette classe,calculer les probabilités suivantes : (a) p(chat) (la probabilité que l’élève ait un chat pour animal préféré) (b) p(félin)

7 12

1

exercice 11 :

iii. p(pair et gris) iv. p(pair ou gris)

4 3

11

ii. p(gris)

2

i. p(pair), p(gris)

10

(a) calculer les probabilités suivantes

9

le jeu consiste à faire tourner cette roue équilibrée qui se stabilise sur un des 12 petits secteurs

5

8

6

(c) p(4 pattes)

v. p(pair et gris) vi. p(pair ou gris) vii. p(pair et gris) viii. p(pair ou gris) (b) pair et gris sont-ils incompatibles ? (c) gris et S ≥ 9 sont-ils incompatibles ? exercice 12 : dans une classe — 80% ont fait — 60% ont fait — 50% ont fait

de terminale, pour l’année suivante : un dossier de B.T.S un dossier d’ I.U.T les deux

calculer les probabilités suivantes et interpréter chaque valeur par une phrase i. p(IU T ), p(BT S) ii. p(IU T ∪ BT S) iii. IU T et BT S sont-ils incompatibles ?

exercice 13 : un dé à 6 faces est tel que score S : 1 2 3 probabilité 0,2 0,15 0,05

4 0,1

5 0,3

6 0,2

total 1

i. calculer les probabilités suivantes A. p(impair), p(S > 3) B. p(impair), p(S > 3) C. p(S > 3 et impair) D. p(S > 3 ou impair) E. S > 3 et impair sont-ils incompatibles ? exercice 14 : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée

Seconde : S Première : P Terminale : T total

Garçon : G 280 820 300 1400

Fille :F 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

(a) on choisit au hasard un des 2000 élèves calculer les valeurs des probabilités des événements suivants à 1% près et donner une phrase d’interprétation. i. p(G) ii. p(S) iii. p(S) iv. p(G ∩ S) v. p(T ∩ S) vi. p(G ∪ S) vii. p(T ∪ S) viii. p(G ∪ F ) (b) G et S sont-ils incompatibles ? (c) T et S sont-ils incompatibles ? exercice 15 : on lance deux fois un dé équilibré à 8 faces (a) calculer les probabilités suivantes i. on obtient un double huit ii. on obtient aucune fois 8 iii. on obtient au moins une fois 8 (b) combien de fois lancer le dé pour que la probabilité d’avoir au moins une fois 8 soit d’au moins 99 % (c) calculer la probabilité que la somme des deux scores soit égale à 12

exercice 16 : on choisit au hasard deux élèves distincts dans ce lycée déterminer les probabilités suivantes (a) les deux élèves sont des garçons (b) les deux élèves sont des terminales (c) il y a un première et un terminale

Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

exercice 17 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et avec remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes exercice 18 : une urne contient 4 billes rouges et 8 vertes on choisit au hasard et sans remises deux billes dans l’urne calculer les probabilités suivantes A. les deux billes sont vertes B. les deux billes sont rouges C. les deux billes sont de couleurs différentes

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

8 8.1

devoir maison corrigé devoir maison 1 corrigé devoir maison

8.2

corrigé devoir maison 2

9 9.1

évaluations évaluation 1

9.2

corrigé évaluation 1

10

révision

exercice : on dispose du tableau ci dessous concernant un lycée Seconde Première Terminale total

Garçon 280 820 300 1400

Fille 40 180 380 600

Total 320 1000 680 2000

1. on choisit au hasard un des 2000 élèves (a) calculer les probabilités des événements suivants : F : l’élève est une fille G : l’élève est un garçon S : l’élève est en seconde P : l’élève est en première T : l’élève est en terminale (b) définir les événements suivants par une phrase et donner leur probabilité F ∩S F ∪S S 2. on choisit au hasard un des garçons quelle est la probabilité qu’il soit en seconde ? 3. on choisit au hasard un des secondes quelle est la probabilité qu’il soit un garçon ? 4. on choisit au hasard deux élèves (on peut retomber sur le même) (a) quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ? (b) quelle est la probabilité de tomber sur deux garçons ? quelle est la probabilité de tomber sur deux secondes ?