Cursus deeltjesfysica Bijeenkomst 1 (5 maart 2014) de speciale relativiteitstheorie
prof Stan Bentvelsen en prof Jo van den Brand Nikhef -‐ Science Park 105 -‐ 1098 XG Amsterdam
[email protected] -‐
[email protected] ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
1
even voorstellen… • prof Jo van den Brand – VU Amsterdam – directeur subatomic physics group VU – programmaleider VIRGO •zwaartekrachtgolven bij Pisa
– achtergrond bij LHCb en HERA •CP violatie
• prof Stan Bentvelsen – UvA Amsterdam – directeur instituut hoge energie fysica UvA – werkzaam bij ATLAS •programmaleider tijdens ontdekking
van het Higgs deeltje
– achtergrond bij LEP en HERA ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
2
Programma cursus • Bijeenkomsten op Nikhef – – – – – –
Speciale relativiteitstheorie (woensdag 5 maart 2014) De quantum wereld (woensdag 12 maart 2014) Elementaire deeltjes en krachten (maandag 24 maart 2014) Symmetrie en wisselwerkingen (maandag 7 april 2014) Elementaire deeltjes en kosmologie (donderdag 17 april 2014) Projecten en NiNa module (donderdag 8 mei 2014)
• Onderwerpen per avond in drie delen: – – – – – – –
16:30 inloop koffie en thee 16:45 start eerste sessie 17:30 pauze 17:45 start tweede sessie 18:30 soep en broodjes 19:15 start derde sessie 20:15 -‐ 20:30 einde programma
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Materiaal beschikbaar bij
http://master.particles.nl/Docenten/ in pdf, powerpoint en keynote 3
Speciale relativiteitstheorie • Eerste uur – basis van de Speciale Relativiteitstheorie
•lichtsnelheid -‐ gelijktijdigheid -‐ tijdsdilatatie
– Lorentz transformaties
•invariante interval -‐ optellen van snelheden
• Tweede uur – ruimte-‐tijd
•(ct,x) diagrammen -‐ causaliteit -‐ tweelingparadox -‐
– energie en impuls
•doos van Einstein -‐ branden van de zon
• Derde uur – relativistische impuls
•invariante massa -‐ deeltjesproductie
– deeltjesversnellers & kosmische straling • principes -‐ stand van zaken -‐ de LHC
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
4
1 -‐ Speciale Relativiteitstheorie
• Eerste uur – basis van de Speciale Relativiteitstheorie
•lichtsnelheid -‐ gelijktijdigheid -‐ tijdsdilatatie
– Lorentz transformaties
•invariante interval -‐ optellen van snelheden
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
5
Relativiteitstheorie • 1905: Speciale relativiteitstheorie (SRT) – Nieuwe opvattingen over begrip ruimte en tijd, en E=mc2
• 1915: Algemene relativiteitstheorie (ART) – – – –
Verdere uitbreiding van het relativiteit principe Ook van toepassing op versnelde beweging en gravitatie Fundamentele verandering zienswijze heelal Ook geheel te danken aan A. Einstein
! • Toepassing relativiteitstheorie in dagelijks leven minder merkbaar dan Quantum-‐Mechanica – Denk aan GPS navigatiesysteem. – In elementaire deeltjes fysica onmisbaar. Zonder relativiteitstheorie bijvoorbeeld geen deeltjesversnellers – Kernfusie, kernsplijting: het branden van de zon.
• Algemene theorie: gravitatie bepaalt de kosmologie; zwarte gaten; uitdijend heelal, oerknal. ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
6
Einstein’s publicatie in 1905 • Motivatie Einstein: – theorie van elektro-‐dynamica zoals geformuleerd door Maxwell
! ! ! ! ! ! ! – beschrijving van ‚licht’ dat door deze vergelijkingen wordt beschreven ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
7
Geldigheid domeinen ?
?
Quantum-‐ veldentheorie
Speciale Relativiteits-‐ theorie
Quantum-‐ mechanica
Klassieke-‐ mechanica
Elementaire deeltjes
Menselijke maat
lichtsnelheid
Snelheid
Grootte
• Klassieke (Newton) mechanica als ‘oude’ theorie. – Let wel! De Klassieke mechanica is niet fout. Het beschrijft mechanische verschijnselen om ons heen zeer nauwkeurig. – Alleen bij zeer hoge snelheden of zeer kleine afstanden vervangen door relativiteitstheorie resp quantummechanica ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
8
De Klassieke Mechanica • Wetenschappelijke revolutie van de ‘gouden’ 17e eeuw – Klassieke mechanica geeft kwantitatief ‘recept’ voor de beschrijving van bewegende objecten. •Ik gooi een steen omhoog met snelheid van 10 m/s. Hoe hoog komt de steen? •Beschrijving van de beweging van planeten en manen in het zonnestelsel.
‘Helden’ van de
klassieke mechanica:
Galileo Galilei,
Isaac Newton ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
9
Ruimte en Tijd voor Newton •Volgens Newton zijn “tijd” en “ruimte” ‘absoluut’,
dwz: beschikbaar vòòr alle andere dingen.
Deze begrippen vormen voor Newton het ‘kader’ van het universum
• Newton over de ruimte: •Ruimte als gegeven ‘toneel’ waarop de natuur zijn toneelstuk brengt
– “Absolute space, of its own true nature without reference to anything external, always remains homogeneous and immovable” •Er is een referentiesysteem dat de voorkeur verdient; waarvoor de wetten van de mechanica gelden. •referentiesysteem waarin de sterren niet bewegen •Een ‘inertiaalsysteem’ is een stelsel dat verbonden is met dit ‘voorkeurs’-‐systeem via een eenparig constante snelheid
• Newton over tijd: • Tijd als ‘klok’ van het heelal. Doortikkend met ijzeren regelmaat.
– “Absolute, true and mathematical time, of itself, and from its own nature, flows equably without relation to anything external”
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
10
Galilei transformaties • Bekijk een kogel die wordt afgeschoten
vanuit een rijdende trein. – Wat is de snelheid van de kogel t.o.v de rijdende trein? – Uw vriend op het perron die de trein
voorbij ziet komen?
• Stel de kogel vliegt met snelheid V’kogel weg tov trein – Relatie tussen de snelheden is vanzelfsprekend:
Vkogel=V’kogel+vtrein
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
11
Galilei-‐transformaties •Indien we verschijnselen in een plat vlak beschrijven hebben we aan twee coördinaten genoeg: 2d ruimte.
• Beschouw nu twee coördinaten-‐
stelsels, die tov elkaar eenparig en
rechtlijnig bewegen:
– Stelsel S (bv perron) en S’ (bv trein) – Stel dat stelsel S’ een snelheid v heeft,
in de x-‐richting, tov stelsel S.
• Wat is de relatie tussen de coördinaten S en S’? – Wel, dit is eenvoudig: •x’ = x-‐vt •y’ = y •z’ = z •t’ = t
Dit is de Galilei-transformatie tussen twee coördinatensystemen
– We hebben S’ zo gekozen dat op t=0: S en S’ vallen samen ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
12
Principe van relativiteit •De wetten van de mechanica zijn identiek in coördinatenstelsels S en S’, waarbij S’ zich eenparig rechtlijnig tov van S beweegt
• Zie de drie hoofdwetten van Newton: – Indien een lichaam stil staat of met constante snelheid voortbeweegt, dan blijft het in rust of beweegt met constante snelheid zolang er geen uitwendige kracht op werkt. – Een uitwendige kracht op een lichaam brengt een versnelling teweeg gelijk aan: F=ma – De acties op twee lichamen op elkaar zijn gelijk maar tegengesteld (actie=-‐reactie)
• De waarde van de grootheden in de natuurwetten kunnen wel degelijk verschillen in stelsel S en S’ – Bijvoorbeeld verrichte arbeid FΔx en kinetische energie Ekin=½mv2
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
13
Principe van relativiteit • De grootte van je snelheid
kun je niet voelen
– Een rijdende trein, of sta je stil
en de rest van de wereld beweegt? – Astronauten in het ISS voelen niet
dat zij met 29000 km/uur
rond de aarde razen
• Alle natuurwetten (ook die van de mechanica) zijn hetzelfde in coördinatenstelsels met een constante snelheid tov elkaar. – In de Klassieke Mechanica
wordt dit beschreven door de
3 hoofdwetten van Newton
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Voor versnelde coördinatenstelsels heeft Einstein de ‘Algemene Relativiteitstheorie’ ontwikkeld (Einstein 1915).
Gevolg: Zwarte gaten, Big Bang, etc! 14
Snelheid van het licht • Eind 19e eeuw stelt Maxwell de theorie
van elektriciteit en magnetisme op.
– Licht (fotonen) is een
continue ‘buiteling’
Maxwell
(1831– 1879) van elektrische en
magnetische velden – Maxwell vergelijkingen:
de lichtsnelheid is een
natuurconstante, ona{ankelijk van het coördinatenstelsel!
• Snelheid van het licht, c, in vacuüm is c=299792458 m/s – Ongeveer 300000 km/s = 3·∙108 m/s – We hadden gezien dat de snelheid
van dingen a{ankelijk is van hoe
je observeert? ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
15
Snelheid van het licht • Vragen: – Wat golft er nu eigenlijk? •Dit is de ‘ether’ •De ‘ether’ werd als reëel beschouwd einde 19e eeuw
– Welk coördinatenstelsel heeft de voorkeur om de natuur te beschrijven? •Die waarbij het medium, de ether, in rust is •Vergelijk de voortplanting van het geluid door de lucht. •De lichtsnelheid is c ten opzichte van dit medium
– Kunnen we de ether observeren? Einstein: dit zijn de verkeerde vragen, de ether bestaat gewoonweg niet
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
16
Elektromagnetisme • Kan een experiment de ether zichtbaar maken? •Omdat de aarde om de zon draait
kan de ether nooit altijd met de
aarde meevoeren, en moet er een
moment zijn waarop er een ‘etherwind’ is.
– Experiment van Michelson & Morley: •Zichtbaar maken van de etherwind!
• In feite een culminatie van de meting van lichtsnelheid: •Astronomisch: Rømer in 1676 in samenwerking met Huygens – Via eclips van Io, een maan van Jupiter – Met schatting van de grootte van het planetenstelsel: c=220.000 km/s
•Mechanisch: Fizeau lichtstraal door tandwiel en spiegel 8 km
verderop – Snelheid tandwiel variëren zdd licht net niet meer door zelfde gat terugkwam – Bepaling c = 313.000 km/s
•Foucault (1862) met een ronddraaiende spiegel: c=298.000 km/s ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
17
Metingen van de ether •Als de ruimte is gevuld met
de ether, vliegt de aarde er
met snelheid v doorheen •Snelheid waarmee aarde om
zon draait: v=30 km/s
30 km/s aarde ether
• Meting van de lichtsnelheid op aarde – Meet snelheid c+v in bewegingsrichting aarde tov ether? – Praktisch vrijwel onmogelijk in praktijk – door enorm hoge waarde van c
• Gebruik het gol€arakter van licht – Huygens kende al de interferentie van licht – Kleine verschillen in snelheid mogelijk zichtbaar
door interferentie – Gebruikt worden om v te meten? ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
18
Michelson & Morley interferometer
• Lichtstraal mbv halfdoorlatende spiegel gesplitst:
– Deel 1 neemt route ‘NZ’ – Deel 2 neemt route ‘OW’ – In detector komen bundels weer samen en vormen een interferentie patroon
• Gehele opstelling kan worden geroteerd – NZ bundel wordt OW – OW bundel wordt NZ
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
19
Michelson & Morley: resultaat – Wat blijkt: het interferentie patroon verschuift niet na rotatie van de opstelling!
• Meest beroemde ‘nulmeting’ in de natuurkunde
(ca 1887) ! – Men stond perplex! Wat is er aan de hand? •Deze experimenten werden steeds nauwkeuriger overgedaan •Steeds weer het ‘nulresultaat’.
! – Het lijkt alsof de ether daarmee niet bestaat. •Hoe kan de lichtsnelheid nu hetzelfde zijn in beide richtingen? •Ad hoc theorieën: e.g. wordt arm interferometer wellicht korter in een richting? (zoals gesuggereerd door H. Lorentz) ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
20
De inbreng van Einstein • Einstein bracht helderheid in de situatie – Met een eenvoud zoals alleen een genie doen kan
– Overtuiging dat er een relativiteit principe moest bestaan zowel voor mechanica als voor elektromagnetisme •Hiermee wordt Galilei transformatie overboord gezet
!
• Einstein baseerde zich op twee postulaten: – Het relativiteit principe •Natuurwetten in referentiesysteem zijn ona{ankelijk van de translatie beweging van het systeem
– Constantheid van de lichtsnelheid •De snelheid van het licht is eindig en ona{ankelijk van de bewegingstoestand van de lichtbron; het heeft dezelfde waarde in ieder inertiaalsysteem ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
21
Perplex met licht • Sta even stil bij de consequentie hiervan – Stel u ontsteekt een zaklantaarn in een rijdende trein. – De snelheid waarmee het licht zich beweegt tov de zaklamp is c, dwz, ~300000 km/s.
• Uw vriend bevind zich op het perron en ziet de voorbijsnellende trein. Hij kan de snelheid van het licht uit de zaklamp bepalen, tov het perron: – Uw vriend op het perron zal dezelfde snelheid c meten!
! ! !
• Duidelijke tegenspraak met de Galilei-‐transformatie ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
22
Meting van de tijd
Voor beschrijving van beweging moeten tijden op verschillende locaties worden gesynchroniseerd:
• Hoe synchroniseer je alle klokken (van het universum)? – Als de lichtsnelheid oneindig is, dan is dat geen probleem: •Met oneindige precisie zeggen we “NU” om t=0 te bepalen
– Maar het lichtsignaal doet er even over, zijn snelheid is eindig :
! ! !
• Synchronisatie van klokken A en B: – Snelheid licht van A naar B is even groot als die van B naar A – Recept: •Op t=0 zendt je licht uit van A. Het kaatst bij B op spiegel terug •Op t=t1 komt het licht weer aan in A
– Moment waarop licht in B aankomt: moment t=t1/2 ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
23
Synchronisatie bewegende systemen • Volgende gedachten experiment: – Neem lange trein – sta in het midden en ontsteek een lampje
!
A
B
! ! – Het duurt een tijdje en dan komt het licht aan bij de voor-‐ en achterkant van de trein (A en B) – Licht bereikt voor-‐ en achterkant van de trein tegelijkertijd
!
A
B
!
• Het licht bereikt A en B gelijktijdig ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
24
Gelijktijdig, of niet? • Nu gaat de trein rijden en bekijkt uw vriend op het perron dit alles: A
!
B
! – In de tijd dat het licht nodig heeft om de uiteinden te bereiken, is de trein een stukje opgeschoven. – De lichtsnelheid naar links en naar rechts is hetzelfde (constant!)
!
A
!
B
! – Het licht bereikt nu uiteinde A eerder dan B!
• Het licht bereikt A en B niet gelijktijdig voor de vriend op perron. Synchronisatie niet mogelijk voor bewegende systemen!
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
25
De lichtklok • Stel u maakt een klok op de volgende manier: – Lampje en spiegel – en elke keer
dat licht heen en weer gaat een
volgende ‘tik’ van de klok L0
! ! ! – De tijdsduur Δτ tussen twee ‘tikken’:
! – Deze klok geeft uiterst regelmatig tikken.
Hoewel praktisch gezien het maken van de klok best lastig is. – Hiermee wordt de voortgang van de tijd bekeken
• Het is gemakkelijk te analyseren! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
26
De lichtklok op de trein • Zet nu de lichtklok op een trein. De waarnemer op het perron ziet de klok tikken met snelheid Δt ! ! ! !
B L0
Snelheid van de trein v A
C
! ! – De afstand AB wordt gegeven door Pythagoras – De snelheid van het licht is constant,
en de totale afstand ABC wordt
afgelegd in een tijd cΔt ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
27
Tijds-‐uitrekking (dilatatie) • We hebben nu een vergelijking
met Δt, die kunnen we oplossen: – Voor de stilstaande klok
(in de trein dus) hadden we Δτ:
! ! – Hiermee zijn de tikken niet
meer gelijk voor de man in de
trein en de vriend op het perron:
! – De man op het perron ziet de tijd in de trein anders verlopen!
• Gevolg van constante lichtsnelheid… ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
28
Tijdsdilatatie • We hebben nu laten zien dat: •Δτ : ‘stilstaande’ klok: tijd
in de trein zelf •Δt : Tijd in de voorbijsnellende trein, gezien vanaf het perron
• Stel een ruimteschip beweegt met een snelheid
v = 0.8c = (4/5)c – Een seconde voor een reiziger het ruimteschip
ziet de vriend vanaf de aarde als
! !
• Man op aarde ziet alle bewegingen ‘trager’ verlopen in het ruimteschip, met een factor 1.66! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
29
Dilatatie • Bij lage snelheden is het effect van tijdsvertraging klein – Voor een trein met v=100 km/uur zijn de tijden Δt en Δt’ hetzelfde tot op 99.999994% nauwkeurig – Toch blijft u iets jonger in de
rijdende trein tov de thuisblijver!
! !
• Bij snelheden in de buurt van de
lichtsnelheid wordt tijdsdilatatie groot – – – –
Lichtsnelheid v=c is de maximum snelheid Tijd kan wel langzamer lopen, maar niet terug-‐lopen Effect in elementaire deeltjes onmiskenbaar Voor positie bepaling met GPS systeem is relativiteit onmisbaar
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
30
Tijds-‐dilatatie • Nog een paar opmerkingen nav de tijdsdilatatie: – Het effect van tijdsdilatatie is wederzijds – Waarnemers zijn inwisselbaar
• De klokken lopen voor elkaar langzamer – Loop nu alleen deze ‘merkwaardige’ lichtklok langzamer? •Neen! Alle klokken lopen langzamer: ook je hartslag, bioritme, etc
– Stel nl dat ze wel ongelijk zouden gaan lopen: •Neem twee ruimteschepen D en E die tov bewegen •Stel dat je twee klokken hebt in D: een is de lichtklok en de andere een ‘gewone’ klok, of hartslag, of wat ook om de tijd te meten. – Als D stil staat tov E lopen de twee klokken gelijk – Als D beweegt tov E lopen de klokken uit de pas
– Dit is duidelijke tegenspraak met het postulaat: je zou je ‘absolute snelheid’ kunnen bepalen door de twee klokken te vergelijken! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
31
Afstand tussen twee planeten • Stel twee planeten voor, A en B en waarnemers E en D ! ! ! ! ! – Waarnemer E staat stil tov beide planeten (Stelsel S) – Waarnemer D beweegt met snelheid v van planeet A naar B (Stelsel S’)
• Stel je bent E met klok en ziet D langs vliegen: – Je ziet de klok van D langzamer lopen volgens ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
32
Lorentz contractie • E ziet D langskomen met snelheid v: – E drukt stopwatch in als D langs planeet A komt en opnieuw als D langs planeet B raast •Voor E heeft de klok Nt tikken getikt van Δt seconden elk.
Nt =
T t
– E concludeert dat de afstand l tussen A en B gelijk is aan
!
l = vNt t
• E ziet de klok in D langzamer lopen – observatie dat de klok in D een kleiner aantal tikken Nt’ heeft gemaakt van tijdsduur Δt – Waarnemer D concludeert dus dat
de afstand l’ tussen A en B gelijk is aan N l
• Lorentz contractie:
l = vNt t = v
t
t=
– Voor bewegende waarnemer is lengte korter! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
33
Lorentz-‐contractie • ‘Bewegende objecten worden korter’ – Lengte contractie vind alleen plaats in de richting van de beweging •Een meetlat wordt korter als hij beweegt •Maar dit geldt niet voor lengten
loodrecht op de bewegingsrichting:
lx
= lx /
ly
= ly
lz
= lz
– Ook dit kunnen we aantonen met een gedachte experiment •Twee stukken pijp met precies
dezelfde diameter •Schiet ze op elkaar af. Welke pijp
past in de andere?
– Als ook contractie loodrecht op bewegingsrichting plaatsvindt, krijg je een tegenspraak! •In ene stelsel gaat stippels in groene, vanuit ander stelsel schuift groene in stippel ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
34
‘Invariant’ interval • Een ruimteschip met lichtklok van 3m hoog beweegt met snelheid 0.8c tov de aarde – Tov aarde: Klok tikt anders, maar heeft ook een afstand afgelegd – Is er een grootheid invariant?
! ! !
• ‘Interval’ tussen twee
gebeurtenissen ! – Ona{ankelijk van de beweging-‐
snelheid van de klok! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
35
Invariante ruimte-‐tijd interval • Ruimte-‐tijd interval krijgt de naam ‘s’: ! !
( s) = (c t) 2
2
( x)
2
eenheden
[c t] = [m]
– Dit interval is invariant in elk inertiaalsysteem (eenparig en rechtlijnige beweging tov elkaar)
• Je kunt dit vergelijken in de 2d ruimte met de lengte: !
(! r) = ( x) + ( y) 2
2
2
•Dit interval Δr is invariant onder rotaties en translaties van de Euclidische ruimte
• We komen deze invariant ‘s’ voortdurend tegen Vergeet nooit het ‚min-teken in de uitdrukking van Δs! Dit zal grote gevolgen hebben; het definieert de ‚vlakke ruimte-tijd’. ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
36
Lorentz-‐transformaties • Galilei transformaties in Klassieke Mechanica: – Transformatie van coördinaten voor verschillende inertiaalsystemen •Coordinaten (x,y,z) transformeren naar (x’,y’,z’) •Niet in overeenstemming met de postlaten van de speciale relativiteitstheorie
• De ‘Lorentz-‐transformaties’ vervangen de Galilei transformaties. •We hebben coördinaten (ct,x) in stelsel S die we transformeren naar coördinaten (ct’x’) in stelsel S’ •Voor coördinaten y en z zie volgende transparant.
– Het interval ‘s’ is hetzelfde voor coördinaten (ct,x) en (ct’,x’)
!
s = (ct) 2
2
x = (ct ) 2
2
x
2
– De transformaties zijn lineair in de tijd en ruimte ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
37
Lorentz-‐transformaties: resultaat • De coördinaten y en z staan loodrecht op de
y = y bewegingsrichting en die bleven hetzelfde
z =z in elk stelsel •We gaan er altijd van uit dat de bewegingsrichting in de x-‐as is •De Lorentztransformaties zijn dus ‘triviaal’ voor deze coördinaten.
– De tijd coördinaat ct en ruimte coördinaat x worden gemixt:
x
ct
= =
x
vt
1 ct
v2 c2
vx/c 1
v2 c2
Lorentz-‐transforma;es ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x
= x
y
= y
z
= z
t
= t
vt
Galilei transforma;es 38
Nogmaals Lorentztransformaties • Beschrijven tov twee bewegende stelsels – Galilei transformaties •Klassieke mechanica •Vergelijk beschrijving vanuit
trein en vanuit het perron •Gebruik schrijfwijze
Naar links bewegend
coördinatenstelsel
! – Lorentz transformaties •Enige mogelijkheid die interval
s ‘invariant’ laat •Modificatie van Galilei
bij hoge snelheden
!
• ‘Mixen’ van ruimte en tijd ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
39
Opdracht • Laat zien dat de Lorentztransformaties
de grootheid invariant laat.
Maw, laat zien dat geldt:
gebruik de definities:
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
40
Optellen van snelheden • Optellen van snelheden – Stel trein beweegt met snelheid v1 – Kogel in de trein beweegt met snelheid v2
tov de trein
• Wat is de snelheid van de kogel tov het perron? – Klassiek:
! – Met Lorentz transformaties
! ! – Hierdoor kan snelheid niet groter worden dan c •Voorbeeld: snelheid licht op trein,
bezien vanaf perron: ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
41
‘Eigentijd’ en ‘eigenlengte’ • De ‘eigentijd’ τ (Griekse letter tau): – Een waarnemer heeft een ‘eigentijd’. Tikken van de klok in rust tov zichzelf. •Tov alle inertiaalsystemen is dit de ‘snelst-‐lopende’ klok!
!
– De eigentijd Δτ tussen twee gebeurtenissen is het tijdsinterval zoals waargenomen op dezelfde positie – (Δs)2 is een invariant, en heeft dezelfde waarde voor elk stelsel. – Omgekeerd, als (Δs)2>0 dan 2 2 2 x= y= z=0
( s) = c
=
c
( s)2
• De ‘eigenlengte’ λ (Griekse letter lambda) – Twee gebeurtenissen die gelijktijdig plaatsvinden: heet de eigenlengte Δλ – In dit geval is (Δs)2 < 0 2 2 2 2
( s) =
!
( x)
( y)
( z)
=
• Mogelijke intervallen – (Δs)2 > 0 : “tijdachtig”
we kunnen ‘eigentijd’ definiëren
– (Δs)2 = 0 : “lichtachtig”
dit is het pad van het licht
– (Δs)2 < 0 : “ruimteachtig”
we kunnen ‘eigenlengte’ definiëren
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
( s)2
42
Voorbeelden
⌅
1 1
2
⇥1+
2
2
voor
⇤0
• Stel trein gaat met 100 km/uur – Dit is plm 30 m/s
! ! !
=⇤ 1
1 v2 c2
=⇤
1 + 5 · 10
1 1
15
⇥2 30 300.000.000
= v/c
– Tijdsdilatatie en Lorentzcontractie niet merkbaar
• Verval van een muon deeltje – ‘Muonen’ of μ-‐deeltjes zijn ontdekt in 1947 •1.88353109 × 10-‐28 kg, dit is plm 208 keer zo zwaar als de elektron massa •Muon deeltjes kunnen worden gemaakt bij botsingen tussen elementaire deeltjes
– En vallen vrijwel ogenblikkelijk weer uit elkaar ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
µ
e + energie
43
Muon verval • Uiteenvallen van muonen volgens •Hoeveelheid vervallen
evenredig met aantal
muonen dN
!
•Oplossing is
!
dt
N (t)
= N
N (t) = N0 e
t
t(µs)
– Levensduur τ wanneer 1/e van muonen over zijn •De levensduur van een muon is 2.2 microseconde – Dit is de levensduur voor muonen in rust N (t) = N0 e
t/
!
• Het ‘tellen’ van een muonen is een ‘klok’! = 2.2 · 10
6
s = 2.2 µs
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
44
Muonen tellen • Muonen in buitenste lagen van de atmosfeer
•Door botsingen van kosmische stralen vanuit het heelal •Regenen van muonen ‘naar beneden’ naar het aardoppervlakte •Meten van muonen met detectie-‐apparatuur
– Eerst boven op berg en daarna op zeeniveau:
•Boven op de berg van 3 km hoogte: 1000 muonen per uur •Op zee niveau met zelfde detector: 904 muonen per uur
– Dit is niet wat je (Klassiek) verwacht! Als de muonen met de lichtsnelheid vliegen, duurt de reis van 3 km in totaal 10 μs, dwz 4.5 ‘levensduren’ •Je verwacht dan plm 11 muonen per uur te meten op zeeniveau. •Het is alsof er pas 0.1 levensduren voorbij zijn: e 0.1 0.904
– Verklaring via SRT
0.9995 • Levensduur is met factor ~45 groter geworden ⇥ 45 ⇥ • Klok van muonen tikt 45x langzamer • Vanuit muonen is afstand bergtop-‐zeeniveau 3000/45=66 meter – Dat is 10% van cτ=660 meter
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
45
Melkwegstelsel • Deeltjes in ons melkwegstelsel: – Melkwegstelsel met diameter van plm 105 lichtjaren •Ongeveer factor 10-‐20 keer zo dun •1 lichtjaar is afstand dat licht in 1 jaar aflegt:
365 x 24 x 3600 x 300000 km = 1016 m
– Er zijn deeltjes in ons melkwegstelsel waargenomen met een snelheid van β=0.99999999999999999995 = 1-‐0.5 10-‐20 •Zodat γ=7 109
• Waarnemer in rust tov melkwegstelsel: •Het duurt 105 jaar voordat deeltje het melkwegstelsel is doorkruist •Voor deeltje zelf schiet door het melkwegstelsel heen in
105/(7 109)= 7.5 minuten
– Oftewel, door Lorentz contractie is lengte van melkwegstelsel voor het bewegend deeltje nog maar 7.5 lichtminuten doorsnede ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
46
Speciale relativiteitstheorie
• Tweede uur – ruimte-‐tijd
•Minkowski diagrammen -‐ causaliteit -‐ tweelingparadox -‐
– energie en impuls
•doos van Einstein -‐ branden van de zon
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
47
Vier dimensionale ruimte • Gebeurtenis (“event”):
– Een waarneming op een bepaalde plaats x (x,y,z) en bepaald JjdsJp t – Er zijn vier coordinaten nodig om de gebeurtenis vast te leggen – We spreken dan van een vier-‐vector: (ct,x,y,z) • Flits van een lamp: • Botsing tussen twee auto’s:
ct,x,y,z ct,x,y,z
• Vierdimensionaal coördinatensysteem – We kunnen net als in een 3-‐dimensionaal systeem, ook een coördinatenstelsel maken voor vier-‐vectoren – Het is lasJg een vier-‐dimensionaal
systeem te tekenen! – We laten in de prakJjk de
ruimte-‐coordinaten y en z vaak weg – We beschouwen gebeurtenissen in de
(ct,x) – ruimte. Dit is een simplificaJe
en abstracJe! Botsing kruising om 12:30 hrs ITS academy -‐• 5 m aart 2014 b-‐ij Speciale relativiteitstheorie
(ct,x) coordinatenstelsels • Een serie gebeurtenissen in het
(ct,x) coördinatenstelsel – Neem bijvoorbeeld een sJlstaande auto • Auto op dezelfde posiJe voor een lange Jjd • Veel gebeurtenissen (een conJnue stroom)
met zelfde waarde van x
– Dit wordt een ‘wereldlijn’ genoemd • Het laat de hele geschiedenis van de auto zien.
! – Neem nu een rijdende auto • Deze zal van posiJe veranderen • Als de auto een constante snelheid hee\
is de verandering constant
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
(ct,x) coördinatenstelsel • Wereldlijnen in het (ct,x) diagram – Een lichtstraal maakt een hoek van 45o
! ! ! ! – Een bewegend voorwerp maakt een
curve in het (ct,x) diagram
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
(ct,x) coördinatenstelsel • Nog een paar opmerkingen over
het stelsel S: – Twee gebeurtenissen zijn ‘gelijkJjdig’ als
de verbindingslijn precies horizontaal is. – Alle gebeurtenissen op horizontale as zijn
gelijkJjdig • De x-‐as is de as waarvoor alle gebeurtenissen Jjd ct=0 hebben
– Twee gebeurtenissen hebben zelfde locaJe als de verbindingslijn precies verJcaal is – Alle gebeurtenissen op verJcale as hebben zelfde posiJe • De ct-‐as is de as waarvoor all gebeurtenissen de locaJe x=0 hebben
• Nog eens eenheden: – 1 meter afstand is ongeveer die van een grote stap – 1 meter Jjd [ct], is de Jjdsduur waarin het licht 1 meter aflegt • Dit is verschrikkelijk korte Jjd • Tijdens knipperen van je oog zijn er Jentallen miljoenen ‘&jdmeters’ voorbij
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
(ct,x) coordinatenstelsels • We kunnen diagrammen voor zowel S als S’ maken – Stel een raket vliegt weg met snelheid β=2/3. – Na 3 jaar hee\ hij dus een afstand van
2 lichtjaar afgelegd tov de achterblijvers • In dit stelsel S is A de achterblijver,
en gaat B op reis.
– Hoe zit dit vanuit het ruststelsel van de
reiziger B eruit? = 2/3 , ⇥ 1.34 – Gebruik de LorentztransformaJes!
A: A :⇥ B :⇥
3 0
⇥ ct x ct x
, B: x ct x ct
⇥
⇥
3 2 =⇥ =⇥
⇥
3 2
5/3 0
⇥
⇥
⇥ ⇥
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
⇥
4.02 2.68 ⇥ 2.23 0
Brief uit de toekomst • De moraal van het verhaal: – In dit verhaal willen we duidelijk maken dat de snelheid van het licht de grootste snelheid is waarmee informaJe kan worden overgedragen – Als er informaJe sneller wordt overgedragen, leidt dit tot verwarring van “oorzaak en gevolg”. • Het feit dat ‘de oorzaak’ eerder plaatsvindt dan ‘het gevolg’ is een zeer fundamenteel principe in de natuurkunde. ViolaJe van de volgorde van oorzaak en gevolg wordt nooit geaccepteerd. Het zou betekenen dat je je eigen ouders kunt ombrengen voordat je geboren bent.
• Anne en Frank zijn vrienden – Anne en Frank zijn vrienden en wonen in op aarde. – Stel Frank gaat op ruimtereis met een ruimteschip dat een snelheid hee\ van β=0.6 – Na 4 jaar wachten besluit Anne een brief aan Frank te sturen, met een nieuw type raket dat met snelheid β=3 kan reizen • Dit moment noemen we t=0 ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Brief uit de toekomst • We tekenen het verhaal in een (ct,x)
coördinatenstelsel • Waarbij de reis van Frank in de x-‐richJng
gaat.
– Na 5 jaar reizen hee\ Frank een afstand
van 3 lichtjaar afgelegd – Na vier jaar wachten stuurt Anne
de brief weg in de superraket • Dit is de oorsprong van het coördinaten-‐
stelsel
– Na 1 jaar nadat de brief is verstuurd
ontvangt Frank de brief in zijn raket
• Hoe zit dit er vanuit het ruststelsel
van Frank eruit? – Gebruik de LorentztransformaJes! ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Brief uit de toekomst • TransformaJe naar stelsel S’ ! = 0.6 , ⇥ = 1.25 ! ⇥ ⇥ ⇥ 4 ct ! ct = A: ⇥ A : = x 0 x ! ⇥ ⇥ ⇥ ct 0 ct B : = B : = ! x 0 x ⇥ ⇥ ⇥ ! ct 1 ct C: = ⇥ C : = x 3 x ! • Wat zien we hier?
5 3
0 0 1 3
⇥
⇥ ⇥
– Frank bereikt punt C eerder dan de brief is verstuurd! In zijn referenJesysteem komt de brief eerder aan dan hij is verstuurd! – Voor Frank komt er een brief ‘uit de toekomst’ naar hem toe – Dit is onmogelijk, en in dit verhaal het gevolg van het gegeven dat de brief met snelheid β=3 werd verstuurd.
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Lichtsnelheid is maximale snelheid • •
Stel dat Anne helemaal geen vriend van Frank is, en de brief is een bombrief. Dat is de brief eerder ontplo\ dan de ontsteking is afgesteld. •
Verwarring oorzaak en gevolg!!
• Geen informaJe kan sneller worden overgebracht dan de snelheid van het licht – Dwz β=1 is de maximale snelheid.
! • Er zijn wel dingen die sneller gaan dan het licht, maar er wordt dan geen informaJe overgebracht – Bv de lichtvlek van een vuurtoren (of
zaklamp) beweegt met een snelheid
β>1 op een muur die heel ver weg staat – Er wordt geen informaJe overgedragen!
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Ruimte-‐Jjd diagrammen* • We laten nu de relaJviteit van
gelijkJjdigheid zien in een (ct,x) diagram – Neem twee gebeurtenissen P en Q in
het (ct,x) diagram die gelijkJjdig plaatsvinden
! ! – Denk hierbij aan de kop-‐ en staart van
een trein, en er wordt in het midden licht
afstraalt en komt gelijkJjdig aan in P en Q
! – Beschouw nu dezelfde punten vanuit een
systeem S’ dat beweegt met snelheid β • De trein hee\ snelheid maar lichtsnelheid
is een constante • Licht bereikt voor-‐ en achterkant in gebeurte-‐
nissen P’ en Q’
Q’ 2z014 ijn -‐ gSpeciale elijkJjdig in S’ – P’ -‐ 5e mn aart ITS academy relativiteitstheorie
Minkowski-‐diagrammen* • Voor stelsel S’ – Gebeurtenissen op dezelfde plaats
definiëren de ct’-‐assen – GelijkJjdige gebeurtenissen definiëren
de x’-‐as • Net als de definiJes van x-‐as en ct-‐as
in stelsel S
• Voor een stelsel S’ met snelheid β: – Definieer in het (ct,x) stelsel nieuwe assen (ct’,x’) voor stelsel S’ – De vergelijking van deze assen
x = ⇥(x ct) kun je verkrijgen met de LT’s:
ct
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
= ⇥(ct
x)
Minkowski-‐diagrammen* • Wat is de x’-‐as? – Daar waar ct’=0:
!0 = ⇥(ct !
α
x) ⇥ ct = x
– Dit is een as door de
oorsprong met hoek α:
⇥x = =⇥ x
tan
! • Wat is de ct’-‐as? – Daar waar x’=0: 0 = ⇥(x
! – Dit is een as door de
oorsprong met hoek ρ – Dit is hoek met ct-‐as:
ct) ⇥ ct =
tan ⇥ = tan
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
1
1
x = =⇥ 1/⇥x
x 1
x = ct
Minkowski-‐diagrammen* • Overgang van S naar S’ – “rotaJe” over hoek α, waarbij tanα=β – Dit is geen gewone rotaJe, dit is een rotaJe in ‘Minkowski ruimte’ – o\ewel ruimte-‐Jjd
! ! ! ! ! ! ! ! – Vergelijk dit met een normale rotaJe in 3 dimensies
x
=
+x cos + y sin
y
=
x cos + y sin
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Minkowski-‐ruimten* • Minkowski ruimte-‐Jjd – Door objecten te roteren in 3d ruimte kunnen we ze van alle kanten bekijken • Breedte en hoogte verliezen hun absolute betekenis in de 3d ruimte met rotaJes, want ze gaan in elkaar over. • Maw: we kunnen om objecten heen lopen en zien dan steeds een andere projecJe op ons netvlies
– In ruimte-‐Jjd hee\ het object een ‘grotere werkelijkheid’ • Niet-‐intuïJef: ons brein berekent niet steeds opnieuw in ruimte-‐Jjd
!x ! ct !
= =
⇥x
⇥ct
⇥ x + ⇥ct
– LorentztransformaJes zijn ook een soort ‘rotaJe’ • En laat ruimte en Jjd in elkaar overgaan • Maar let op! De ruimte-‐Jjd rotaJes zijn echt anders en gedragen zich niet als Euclidische ruimte. We zullen steeds analogieën maken ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Eenheidscircel* • RotaJe in een Euclidische
ruimte: !x = x cos + y sin !y = x sin + y cos ! – De geroteerde eenheidsvectoren
liggen op de eenheids cirkel:
!2 r!
= x2 + y 2
– Als funcJe van y is de eenheid:
!
!y
=±
1
x2
– Maw, de grootheid r2 is invariant onder de rotaJes ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Eenheids-‐hyperbool*
ct
• In twee stelsels S en S’
is de grootheid s2 invariant ! s2 = c2 t2 x2 – Hiermee komen onder
‘rotaJe’ onder hoek α de assen
op de hyperbool te liggen
! ct = ± ! ! • Hyperbool:
1 + x2
– Een hyperbool is in de meetkunde een tweedimensionale
figuur, een kegelsnede, die wordt gevormd door de
snijlijnen van een kegel en een vlak dat beide hel\en van
de kegel snijdt. Een hyperbool bestaat daarom uit twee
takken, de snijlijnen met de beide delen van de kegel. ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x
LorentzcontracJe*
ct
ct’
• LorentzcontracJe in Minkowski-‐
ruimten – In stelsel S’ wordt afstand OB’
gemeten • GelijkJjdig in stelsel S’ dus
OB’ ligt op de x’-‐as
– Deze afstand is gelijkJjdig
gemeten in S op de lijn OB • Lijn OB ligt langs de x-‐as • Natuurlijk wel op dezelfde posiJe in S’
– Conclusie: vanuit S’ is de bewegende lat in S korter • Dit is de LorentzcontracJe
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x’ B’ B
x
LorentzcontracJe*
ct
• LorentzcontracJe in Minkowski-‐
ruimten
ct’
B’
x’
– Nu gaan we vanuit S redeneren: • GelijkJjdig in stelsel S dus
OB ligt op de x-‐as
B
– Deze afstand is gelijkJjdig
gemeten in S’ op de lijn OB’ • Lijn OB ligt langs de x’-‐as • Natuurlijk wel op dezelfde posiJe in S
– Maar je ziet dat de ‘eenheidshyperbool’ rechts ligt van B’ • De afstand OB’ representeert dus een lengte die korter is dan de ‘eenheid’ • Terwijl de afstand OB wel degelijk de eenheidsafstand representeert.
– Conclusie: vanuit S is de lengte van de bewegende lat in S’ korter
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x
Reis naar de ster C • We gaan een denkbeeldige reis maken (tweelingparadox) – Vanaf de aarde staat een ster op een afstand van 99 lichtjaren. Dit is ster C. – Met een science ficJon raket krijgt een astronaut de volgende opdracht: • Reis naar ster C, maak daar een foto van de ster, en kom terug op aarde om de foto te laten zien
– Merk op dat zonder SRT: • Onmogelijke opdracht; dit gaat jaren duren, minimaal 2*99 jaar (heen-‐ en terug). Zo lang leven we niet.
– Maar de science ficJon raket kan zeer hoge snelheden bereiken, en we hebben toch JjdsdilataJe?
• Gegeven: – De raket R kan snelheid van β=99/101 ten opzichte van de aarde halen. • Met deze snelheid duurt de trip naar de ster, bezien vanaf de aarde,
99/β=101 jaar
– Tweelingbroer en –zus Anne en Robert • Anne blij\ op de aarde achter, en Robert maakt de reis in de raket ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Reis naar ster C • Hoe lang duurt de reis voor Robert om op ster C aan te komen? – Gegeven
! ! • Dus Robert als hij bij ster C aankomt: – In ruststelsel A (bewegend stelsel R) geldt Jjds-‐dilataJe
!
tA =
tR
tR =
tR
=
101 = 20 jaar 5.05
! • Dus Robert is 20 jaar ouder als hij op ster C aankomt. – Een andere manier om hieraan te komen is door ruimte-‐Jjd interval tussen vertrek en aankomst van Robert te bepalen vanuit de Aarde:
! c2
2
= c2 t2
x2 = (101)2
(99)2 = 400 = (20)2 lichtjaar2
– Deze grootheid is invariant, dus hee\ zelfde waarde vanuit Raket • En in raket is ΔxR=0, en
c2 t2A
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x2A = c2 t2R ,
tR = 20 jaar
Reis naar ster C • Reisplan van Robert: – Robert vertrek in raket naar ster C en komt in 20 jaar aan. Hij neemt een foto van de ster en keert om, en gaat in 20 jaar weer terug – Robert hee\ dus in 40 jaar de foto genomen en is weer terug op aarde
• Opmerkingen – Bij terugkomst is de ‘aardse Jjd’ toegenomen met 202 jaar – Robert ontmoet dus zijn achter-‐achter kleinkinderen
• Reizen in de Jjd – Met een zeer snelle raket door het heelal kun je naar de ‘toekomst’ reizen. – Dit is niet omkeerbaar. Je kunt nooit terug in de Jjd reizen
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Tweelingparadox • Hieruit zien we duidelijk de tweeparadox – We kunnen ook stelsel R (raket van Robert) als sJlstaand beschouwen en stelsel A (de aarde) als bewegend – In dit geval lopen de klokken in A dus langzamer dan die van R • Immers de waarnemers zien van elkaar dat de ander zijn klok achter gaat lopen
– Bezien vanuit R, die de reis naar C in 20 jaar maakt, is de Jjd in A verstreken met 20
!
tR =
tA ,
tA =
5.05
= 3.96 jaar
– Dus vanuit R bezien wordt Robert in de raket ouder dan tweelingzus Anne • Als Robert na 20 jaar op de ster C aankomt is zijn zus slechts 3.96 jaar ouder.
• Fameuze tweelingparadox: – Als Robert weer terug op aarde is, wie is er dan ouder: Robert of Anne? – Is dit een onmogelijke situaJe? ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Oplossing tweelingparadox • Oplossing van deze paradox: – Robert keert om bij ster C, en Anne keert nergens ‘om’ – Robert hee\ daarmee een langere weg afgelegd, grotere waarde Δx – Vergelijk weer 2 2 2 2 2
!
c
=c
t
• Deze ‘eigenJjd’ is hetzelfde in elk stelsel S • Voor sJlstaande waarnemer geldt: c2 • Voor bewegende waarnemer geldt: c2
x
= c2 t2 2 = c2 t2
2
x2
• Door het ‘min’-‐teken in het invariante interval: – EigenJjd wordt het kleinst als zo groot mogelijke afstand wordt afgelegd
! • Andere manier om hier naar te kijken: – Robert zit niet in 1 inerJaalsysteem Jjdens zijn reis, maar in twee • Heenweg en terugweg zijn twee verschillende inerJaalsystemen ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Tweelingparadox* • Stel de volgende situaJe voor • Om analyse binnen de ‘SRT’ te kunnen houden
– Neem nu 3 inerJaalsystemen, en een ‘extra planeet’ B achter de ster C waarvandaan ook raket richJng ster C beweegt
! ! ! ! • A: • RH: • RT:
inerJaalsysteem van de aarde inerJaalsysteem van de heenreis raket. Robert op weg naar ster C inerJaalsysteem van de terugreis raket. Robert van ster C naar aarde
– Als Robert van aarde vertrekt in stelsel RH, vertrekt tegelijkerJjd een lege raket van B richJng ster C – De rakexen komen elkaar tegen bij ster C. Op dat moment spring Robert over van de RH raket in de RT raket om terug naar de aarde te reizen • Vergelijk twee treinen in tegengestelde richJng ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Tweelingparadox* • We kunnen de Jjden van de verschillende inerJaalsystemen met elkaar vergelijken – Verschillende systemen A, RH en RT hebben volledig verschillende synchronisaJe met Jjden op aarde x) • Simultaanlijnen: gebeurtenissen met dezelfde ‘Jjd’ ct = ⇥(ct
!
• GelijkJjdigheid RH op aankomst ster C:
(ct’ = 20 lj)
!
• GelijkJjdigheid TR op aankomst ster C:
20 = 5.05 ct
⇥ 99 x 101
ct = 0.98x + 3.96 ct = 198.04 0.98x
Vertrek Robert
Tijd op aarde, Tijd voor Robert Tijd op aarde, Tijd op aarde, vanuit A vanuit RH vanuit RT 0 0 0 194,08
Aankomst op C
101
20
3,96
198,04
Vertrek van C
101
20
3,96
198,04
Aankomst op A
202
40
7,92
202
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
Tweelingparadox* Aard klok staat op 202-‐3.96=198.04 jaar
ct
ct
=
= t c
19
8. 04
0. 98
101 lichtjaar
8x 9 0.
+
96 . 3
Reis Robert Wereldlijn licht
x
GelijkJjdigheid RH op aankomst C GelijkJjdigheid RT op aankomst C
3.96 jaar
Vertrek RH
99 lichtjaar
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
x
Vertrek RT
Tweelingparadox -‐ naschri\ • Eerste experimentele verificaJe – Hafele & Keane hebben in 1972 verschillende atoomklokken als passagiers in vliegtuig gezet, en andere thuisgelaten • Vliegtuig om aarde,
oost-‐ en west-‐waards
– PrachJge bevesJging
van de relaJviteitstheorie!
• Zwaartekracht correcJe
theorie
experiment
westwaards
+275±21 ns
+273±7 ns
oostwaards
-‐40±23 ns
-‐59±10 ns
– In deze experimenten is ook een correcJe van klokken uit de Algemene RelaJviteitstheorie: • Klokken lopen langzamer in de buurt van zware massa’s (bv de aarde)
! !T = ! !
T0 1
2GM Rc2
G : Gravitatieconstante, 6.673 · 10
11
m2 kg
1
s
1
Mm Fz = G 2 r
• Klokken in vliegtuig Jkken dus sneller, omdat vliegtuig verder van aarde is
– Klokken staan zelfs sJl in de buurt van een ‘zwart gat’, daar waarvoor geldt (Schwartzschild-‐radius van een zwart gat) R = 2GM
ITS academy -‐ 5 maart 2014 -‐ Speciale relativiteitstheorie
c2
Invariante intervallen =0
S2 =0
2
S
• Ruimte-‐Jjd wordt ingedeeld
in gebieden met verschillend
teken van invariante interval
S2>0
S2
