Dagens program

January 8, 2018 | Author: Anonymous | Category: Math, Linear Algebra
Share Embed Donate


Short Description

Download Dagens program...

Description

Dagens program • Dimension • För många är beroende • För få spänner inte upp • Rätt antal oberoende är bas

• Banta ned och fylla ut • Banta med SOLE (satsen om löjliga element) • Fyll ut med Plus-satsen • SORAE visar när vi är klara

• Basbyte, koordinatsambander

5.4.2. Basbegreppet Definition 5.4.8. Låt 𝕍 vara ett ändligt genererat vektorrum. En ordnad uppsättning vektorer 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 ∈ 𝕍 kallas en bas i 𝕍 om (a) 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 = 𝕍 (b) 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 är linjärt oberoende Obs! Definitionen är i princip identisk med definitionen av bas i planet/rummet. Däremot ersatt ”entydighet” av ”linjärt beroende”.

Exempel: • Två linjärt oberoende vektorer i planet • Polynomen 1, 𝑥, 𝑥 2 i vektorrummet ℙ2 • Polynomen 1, 1 + 𝑥, 1 + 𝑥 + 𝑥 2 i ℙ2 •

1 Vektorerna 𝐯1 = 𝐞 −1 0

1 och 𝐯2 = 𝐞 0 i underrummet −1 𝕍 = {𝐱 ∈ ℝ3 : 𝑥1 + 𝑥2 + 𝑥3 = 0}

Koordinater Sats 5.4.9. Låt 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 ∈ 𝕍 vara en bas i 𝕍. Till varje vektor 𝐮 ∈ 𝕍 finns entydigt bestämda tal 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 så att 𝐮 = 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐯𝑛 •

Entydigheten ger följande definition meningsfull

Definition 5.4.10. Låt 𝐯 = (𝐯1 𝐯2 … 𝐯𝑛 ) så att 𝑥1 𝑥2 𝕍 ∋ 𝐮 = 𝑥1 𝐯1 + 𝑥2 𝐯2 + ⋯ + 𝑥𝑛 𝐯𝑛 = 𝐯 ⋮ 𝑥𝑛

= 𝐯𝑋.

Talen 𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 kallas koordinaterna för vektorn 𝐮 i basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 och 𝑛 × 1 matrisen 𝑋 kallas 𝐮:s koordinatmatris i basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 .



Vi kommer att utnyttja beteckningen 𝐯 som förkortning för basen 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 .

Exempel. Bestäm en bas i 𝕍 = {𝐱 ∈ ℝ4 : 𝑥1 − 𝑥2 + 2𝑥3 − 3𝑥4 = 0} och koordinater i denna bas för punkten (1,0,1,1). Lösning. Löser ut 𝑥1 och parametriserar på ett vanligt sätt: 𝑥1 𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡 1 −2 3 𝑥2 𝑟 1 0 0 𝕍∋𝐱=𝐞 𝑥 =𝐞 = 𝑟𝐞 + 𝑠𝐞 + 𝑡𝐞 = 𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3 𝑠 0 1 0 3 𝑥4 𝑡 0 0 1 D v s 𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 ]. Att visa att 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är linjärt beroende ställer vi upp beroendeekvationen: 1 −2 1 0 𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3 = 𝑟𝐞 + 𝑠𝐞 + 𝑡𝐞 0 1 0 0

3 0 0 1

𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡 𝑟 =𝐞 𝑠 𝑡

0 0 =𝐞 0 0

⇔ 𝑟=𝑠=𝑡=0 D v s 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är linjärt beroende. Följaktligen är 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 är en bas för 𝕍. • Bestämmer koordinaterna för 𝐱 = 1,0,1,1 (varför 𝐱 ∈ 𝕍 ?): 𝑟 − 2𝑠 + 3𝑡 𝑟 𝑟𝐯1 + 𝑠𝐯2 + 𝑡𝐯3 = 𝐞 𝑠 𝑡

Dvs

1 0 =𝐞 1 1 0 𝐱=𝐯 1 1

⇔ 𝑟 = 0,

𝑠 = 1,

𝑡=1

Dimension Sats 5.4.14. (Satsen om för många element) Låt 𝕍 vara ett vektorrum som har en bas med 𝑛 stycken vektorer. Om 𝑀 ⊂ 𝕍 innehåller fler än 𝑛 vektorer så är 𝑀 är linjärt beroende. Bevisidé: tänk på ett plan. Om det finns fler än två vektorer så är det någon som inte behövs. Korollarium 5.4.15. Om 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑛 och 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑚 är baser i vektorrummet 𝕍 så är 𝑛 = 𝑚, d v s alla baser i 𝕍 består av lika många vektorer. Bevis. Enligt satsen om för många element gäller det både 𝑛 ≤ 𝑚 och 𝑚 ≤ 𝑛, alltså 𝑛 = 𝑚. Definition 5.4.16. Om ett vektorrumm 𝕍 har en bas bestående av 𝑛 stycken element säges 𝕍 ha dimensionen 𝑛 och vi skriver dim 𝕍 = 𝑛

Satsen om rätt antal element Sats 5.4.18. (SORAE) Låt 𝕍 vara ett vektorrum och antag att dim 𝕍 = 𝑛 samt att 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 ⊂ 𝕍. Då är följande påståenden ekvivalenta: a) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är linjärt oberoende, b) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 = 𝕍 c) 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är en bas i 𝕍 Bevis. Låt 𝐯 vara en bas i 𝕍 och 𝐴 vara koefficientmatrisen (𝑋1 𝑋2 … 𝑋𝑛 ) där kolonnerna 𝑋𝑖 fås ut 𝐮𝑖 = 𝐯𝑋𝑖 , 𝑖 = 1,2, … 𝑛 • 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är linjärt oberoende ⟺ ⟺ 𝑦1 𝐮1 + 𝑦2 𝐮2 + … + 𝑦𝑛 𝐮𝑛 = 𝟎 har endast den triviala lösningen ⟺ matrisekvationen 𝐴𝑌 = 0 har endast den triviala lösningen ⟺ matrisekvationen 𝐴𝑌 = 𝑍 har entydig lösning för alla kolonnmatriser 𝑍 ⟺ 𝑦1 𝐮1 + 𝑦2 𝐮2 + … + 𝑦𝑛 𝐮𝑛 = 𝒛 har entydig lösning för alla vektorer 𝒛 ⟺ 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 = 𝕍 •

a) tillsammans med b) är ekvivalent till att 𝐮1 , 𝐮2 , … , 𝐮𝑛 är en bas i 𝕍

Plus-satsen Sats 5.4.20. Plus-satsen Låt 𝕍 vara ett vektorrum och 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 , 𝐯𝑘+1 ∈ 𝕍. Antag att • {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 } är linjärt oberoende • 𝐯𝑘+1 ∉ [𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 ] Då gäller att systemet {𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 , 𝐯𝑘+1 } är linjärt oberoende Bevis. Beroendeekvationen: 𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝐯𝑘 + 𝜆𝑘+1 𝐯𝑘+1 = 0 • Om 𝜆𝑘+1 ≠ 0 så är 𝜆1 𝜆2 𝜆𝑘 𝐯𝑘+1 = − 𝐯1 − 𝐯2 − ⋯ − 𝐯 ⟹ 𝐯𝑘+1 ∈ [𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 ] 𝜆𝑘+1 𝜆𝑘+1 𝜆𝑘+1 𝑘 vilket är motsägelse. • Alltså 𝜆𝑘+1 = 0 och följaktligen 𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + ⋯ + 𝜆𝑘 𝐯𝑘 = 0 Men vektorerna 𝐯1 , 𝐯2 , … , 𝐯𝑘 är linjärt oberoende medföljer det att 𝜆1 = 𝜆2 = ⋯ = 𝜆𝑘 = 0 v.s.b.

Direkt summa Unionen av två mängder: 𝑀1 ∪ 𝑀2 = 𝑥: 𝑥 ∈ 𝑀1 eller 𝑥 ∈ 𝑀2 Snittet av två mängder: 𝑀1 ∩ 𝑀2 = {𝑥: 𝑥 ∈ 𝑀1 och 𝑥 ∈ 𝑀2 } Observera unionen av två underrum är i allmänhet inte ett underrum. Däremot snittet av två underrum är aldrig tomt och är ett underrum. (Tänk på två plan i rummet) Definition 5.4.23. Låt 𝕌1 och 𝕌2 vara underrum av ett vektorrum 𝕍. Om 𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎} så definierar vi direkta summan av 𝕌1 och 𝕌2 , 𝕌1 ⊕ 𝕌2 som 𝕌1 ⊕ 𝕌2 = 𝐮1 + 𝐮2 : 𝐮1 ∈ 𝕌1 , 𝐮2 ∈ 𝕌2

Sats 5.4.24. Låt 𝕌1 och 𝕌2 vara underrum av ett vektorrum 𝕍 sådana att 𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎}. Då 𝕌1 ⊕ 𝕌2 är ett underrum av 𝕍.

Direkt summa Sats 5.4.24. (Multi-Plus-Satsen ) Låt 𝕌1 , dim 𝕌1 = 𝑚 och 𝕌2 , dim 𝕌2 = 𝑛 vara underrum av ett vektorrum 𝕍 sådana att 𝕌1 ∩ 𝕌2 = {𝟎}. Då är dim 𝕌1 ⊕ 𝕌2 = 𝑚 + 𝑛 Vidare, om 𝐞𝟏 , 𝐞𝟐 , … , 𝐞𝐦 är en bas i 𝕌1 och 𝐟𝟏 , 𝐟𝟐 , … , 𝐟𝐧 är en bas i 𝕌2 så är 𝐞𝟏 , 𝐞𝟐 , … , 𝐞𝐦 ∪ {𝐟𝟏 , 𝐟𝟐 , … , 𝐟𝐧 }

är en bas i 𝕌1 ⊕ 𝕌2 .

Exempel. Betrakta underrummet

1 1 1 2 −1 0 −2 −1 𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐯3 , 𝐯4 ] = 𝐞 ,𝐞 ,𝐞 ,𝐞 −1 1 3 0 −1 0 −2 −1

a) b) c)

Bestäm en bas i 𝕍 Beskriv de 𝐮 ∈ ℝ4 sådana att 𝐮 ∉ 𝕍 Fyll ut basen i 𝕍 till en bas i ℝ4 .

beroendeekvationen

Lösning. Studerar om vektorerna är linjärt oberoende och dess linjärt hölje: 𝑥1 𝑥1 1 1 1 2 0 𝑥1 1 1 1 2 0 1 1 1 20 𝑥2 + 𝑥1 −1 0 −2 −1 0 𝑥2 0 1 −1 1 0 𝑥2 + 𝑥1 0 1 −1 1 0 ∼ ∼ 1 −1 3 0 0 𝑥3 0 −2 2 −2 0 𝑥3 − 𝑥1 0 0 0 0 0 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 −𝑥2 + 𝑥4 −1 0 −2 −1 0 𝑥4 0 1 −1 1 0 𝑥4 + 𝑥1 0 0 0 00 a) Beroendeekvationen: 𝜆1 𝐯1 + 𝜆2 𝐯2 + 𝜆𝟑 𝐯𝟑 + 𝜆4 𝐯4 = 𝟎 har lösningen 𝜆1 −2 −1 𝜆2 −2𝐯1 + 1𝐯2 + 1𝐯3 =0 𝐯3 = 2𝐯1 − 𝐯2 1 −1 =𝑠 +𝑡 ⇒ ⇔ 𝐯4 = 𝐯1 +𝐯2 −1𝐯1 − 1𝐯2 + 1𝐯4 = 0 𝜆3 1 0 𝜆4 0 1 D v s 𝐯3 och 𝐯4 kan utses till löjliga element. Enligt SOLE är 𝕍 = [𝐯1 , 𝐯2 ] och matrisen ovan visar att 𝐯1 , 𝐯2 är linjärt oberoende. Följaktligen är 𝐯1 , 𝐯2 en bas i 𝕍 och dim 𝕍 = 2. b) Om 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≠ 0 eller −𝑥2 + 𝑥4 ≠ 0 c) Väljer någon 𝐮 så att 𝑥1 + 2𝑥2 + 𝑥3 ≠ 0 men −𝑥2 + 𝑥4 = 0, t.ex. 𝐮 = 0,1,0,1 ⇒ 𝐮 ∉ 𝕍. Enligt Plus-satsen är {𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮} linjärt oberoende och följaktligen är dim[𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] = 3. Observera att alla vektorer som ligger i underrummet [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] satisfierar ekvationen −𝑥2 + 𝑥4 = 0 Nu väljer vi 𝐰 = (0,0,0,1) som bryter mot villkoret −𝑥2 + 𝑥4 = 0, d v s 𝐰 ∉ [𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮] och enligt Plus-satsen är 𝐯1 , 𝐯2 , 𝐮, 𝐰 en bas i ℝ4 .

Basbyte Mål: Hitta matrissamband mellan basvektorerna i två olika baser. Använda detta till att hitta samband mellan koordinatmatriserna för en vektor med avseende på dessa baser. v=2f1+f2

v=5e1+4e2=2f1+f2

f2

v v=5e1+4e2

4e2

f2

2f1 f1

e2

e1

5e1

Basbyte • •





Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 … 𝐞𝑛 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 … 𝐟𝑛 ) vara två baser i 𝕍 Uttrycker elementen av den nya basen i gamla basen: 𝑇𝑖1 𝑇 𝐟𝐢 = 𝑇𝑖1 𝐞1 + 𝑇𝑖2 𝐞2 + ⋯ + 𝑇𝑖𝑛 𝐞𝑛 = 𝐞 𝑖2 ⋮ 𝑇𝑖𝑛 Bilder matrisen 𝑇 som består av 𝑇:s kolonner ovan, d v s i T:s kolonner står nya basen uttryckt i gamla 𝑇11 …𝑇𝑖1 …𝑇𝑛1 𝑇12 …𝑇𝑖2 …𝑇𝑛2 𝑇= ⋮ ⋱ ⋮ ⋱ ⋮ 𝑇1𝑛 …𝑇𝑖𝑛 …𝑇𝑛𝑛 Kom ihåg bassambandet: 𝐟=𝐞⋅𝑇

Koordinatsambandet Sats 5.6.1. Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 … 𝐞𝑛 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 … 𝐟𝑛 ) vara två baser i ett vektorrum 𝕍 och 𝐯 = 𝐞𝑋𝒆 = 𝐟𝑋𝐟 Då finns en 𝑛 × 𝑛-matris 𝑇 sådan att

a)

𝐟 = 𝐞 ⋅ 𝑇 där 𝑇:s första kolonn utgörs av koordinaterna för 𝐟1 i basen 𝐞, andra kolonn utgörs av koordinaterna för 𝐟2 i basen 𝐞 , etc

b) T är inverterbar c)

𝑋𝒆 = 𝑇𝑋𝐟 (Koordinatsambandet)

Observera att koordinatsambandet går ”andra hållet” Gamla = Nya ⋅ 𝑇



Nya = Gamla ⋅ 𝑇 −1

Exempel. (5.5.4) Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 𝐞3 ) och 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 𝐟3 ) vara baser i ℝ3 för vilka gäller 𝐟1 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 𝐟𝟐 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 + 𝐞𝟑 𝐟𝟑 = 2𝐞𝟏 + 2𝐞𝟐 + 𝐞𝟑 Bestäm koordinaterna för 𝐮 = 4𝐞𝟏 − 5𝐞𝟐 i basen 𝐟. Lösning. 2 𝐟1 = 2𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 = 𝐞 1 etc 0

Framställer transformationsmatrisen: 𝐟 = 𝐞𝑇, Följaktligen är 𝐞 = 𝐟𝑇 −1 och

Räknar 𝑇 Alltså

−1

4 2 2 −5 ∼ 1 1 0 0 1

2 2 2 där 𝑇 = 1 1 2 0 1 1

4 4 −1 𝐮 = 4𝐞𝟏 − 5𝐞𝟐 = 𝐞 −5 = 𝐟𝑇 −5 0 0 2 4 1 2 −5 ∼ 1 1 0 0

1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 2 1 2 −5 ∼ 0 0 1 −7 ∼ 0 1 1 0 ∼ 0 1 0 7 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 −7 0 0 1 −7

4 2 𝐮 = 𝐞 −5 = 𝐟 7 0 −7

Exempel. (5.6.2) Betrakta en ogenomskinlig tetraeder med ett hörn i origo och de andra tre i punkterna (1,1,0), (1,0,1) och (1,1,1). Avgör vilka sidor som är synliga från punkten (3,1, −2) Lösning. Låt 𝐞 = (𝐞1 𝐞2 𝐞3 ) och låt 𝐟 = (𝐟1 𝐟2 𝐟3 ) vara en bas bestående av kantvektorer: 𝐟1 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 𝐟𝟐 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟑 𝐟𝟑 = 𝐞𝟏 + 𝐞𝟐 + 𝐞𝟑 Framställer transformationsmatrisen:

1 1 1 𝐟 = 𝐞𝑇, där 𝑇 = 1 0 1 0 1 1 Origo har koordinaterna 0,0,0 i den nya basen. Övriga hörn får nya koordinater: 1 0 0 𝐟1 = 𝐟 0 , 𝐟2 = 𝐟 1 , 𝐟3 = 𝐟 0 0 0 1

Beräknar 𝑇 −1

1 0 −1 = 1 −1 0 , alltså de nya koordinaterna för observationspunkten är −1 1 1 3 3 5 −1 −1 𝐞 1 = eftersom 𝐞 = 𝐟𝑇 = 𝐟𝑇 1 =𝐟 2 −2 −2 −4

𝐟3 𝐟2

𝐟1

Det är bara [𝐟1 𝐟2 𝐟3 ]-sida som är synlig från observationspukten (eftersom 𝑦1 + 𝑦2 + 𝑦3 = 5 + 2 − 4 = 3 > 1).

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF