Démonstration - Emilie Cravero

Partie 2 : Arithmétique ℕ: 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑒𝑙𝑠 ℕ∗ = ℕ{0} ℤ = 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑖𝑒𝑟𝑠 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑓𝑠

I. Division euclidienne Théorème : Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 : 𝑆𝑖 𝑏 ≠ 0, ∃(𝑞, 𝑟) ∈ ℤ2 𝑡𝑒𝑙 𝑞𝑢𝑒 ∶ 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟, 0 ≤ 𝑟 ≤ |𝑏| . Le couple (𝑟, 𝑞) vérifiant ces hypothèses est unique.

Démonstration : Existence : 𝑏 > 0 𝐸 = {𝑎 − 𝑏𝑘 ≥ 0}. E n’est pas vide car 𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 ≥ 0, et 𝑎 − 𝑏𝑎 ∈ 𝐸 si 𝑎 < 0 Soit r le plus petit élément de E : 𝑟 ≥ 0 𝑒𝑡 ∃𝑞 \ 𝑟 = 𝑎 − 𝑏𝑞 𝑟 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏𝑞 − 𝑏 = 𝑎 − 𝑏(𝑞 + 1) Or 𝑟 − 𝑏 < 𝑟 donc 𝑟 − 𝑏 ∉ 𝐸 et 𝑟 − 𝑏 de la forme 𝑎 − 𝑏𝑘 ⇒𝑟−𝑏 0 ⇒ |𝑏(𝑄 − 𝑞)| ≥ |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏|

Autre façon ? |𝑟 − 𝑅| = |𝑏(𝑄 − 𝑞)| = |𝑏||𝑄 − 𝑞| avec |𝑄 − 𝑞| ≥ 1 D’où |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏|

D’autre part 0 ≤ 𝑟 < |𝑏| 𝑒𝑡 0 ≤ 𝑅 < |𝑏| ⇒ −|𝑏| < 𝑟 − 𝑅 < |𝑏| ⇒ |𝑟 − 𝑅| < |𝑏| |𝑟 − 𝑅| ≥ |𝑏| Donc : { : Contradiction ⇒ 𝑟 = 𝑅 𝑒𝑡 𝑞 = 𝑄 d’où l’unicité |𝑟 − 𝑅| < |𝑏|

Exemple : 150|11 ∶ 150 = 11 × 13 + 7 𝑛

𝑞

𝑟

80 = 7 × −12 + 4

Théorème 2 : Si 𝑐|𝑎 et 𝑐|𝑏 alors ∀(𝑢, 𝑣) ∈ ℤ2 , 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏|𝑐 En particulier,

𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 + 𝑏 𝑐 𝑆𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 − 𝑏

Démonstration : 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 ⇔ ∃𝑞1 \𝑎 = 𝑐𝑞1 { 𝑐 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑏 ⇔ ∃𝑞2 \𝑏 = 𝑐𝑞2 𝑢𝑎 + 𝑣𝑏 = 𝑢𝑐𝑞1 + 𝑣𝑐𝑞2 = 𝑐(𝑢𝑞1 + 𝑣𝑞2 )

Exemple : Critère de divisibilité par ℤ : Soient les 𝑎𝑖 ∈ {0. .9} les chiffres qui composent un nombre en base 10 , 𝑛 = 𝑎𝑛 𝑎𝑛−1 … 𝑎1 𝑎0 = 10𝑛 𝑎𝑛 + 10𝑛−1 𝑎𝑛−1 + ⋯ + 10𝑎1 + 𝑎0 = (10𝑛−1 𝑎𝑛 + 10𝑛−2 𝑎𝑛−1 + ⋯ 𝑎1 )10 + 𝑎0 Or 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 10 ⇒ 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑠𝑖 2 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎0

II. Nombres premiers 𝑛 ∈ ℕ∗ qui n’a pour diviseur dans ℕ∗ que 1 et lui-même ⇒ 𝑛 est un nombre premier

Théorème 3 : Si 𝑛 > 1, son plus petit diviseur > 1 est un nombre premier

Démonstration : 𝑆𝑜𝑖𝑡 𝐸 = {𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 > 1 𝑑𝑒 𝑛} 𝐸 ≠ ∅ 𝑐𝑎𝑟 𝑛 ∈ 𝐸

Soit 𝑝 le plus petit élément de 𝐸. Si 𝑝 non premier, alors 𝑝 admet un diviseur d tel que 1 < 𝑑 < 𝑝 Donc 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝 et 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑑 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝 ⇒ 𝑑 ∈ 𝐸 𝑎𝑣𝑒𝑐 𝑑 < 𝑝. Contradictoire avec la définition de p.

Exemple : Ensemble des diviseurs de 1 : 𝐸 = {1} Ensemble des diviseurs de 5 : 𝐸 = {1,5} Ensemble des diviseurs de 18 : 𝐸 = {1,2,3,6,9,18} Ensemble des diviseurs de 100 : 𝐸 = {1,2,4,5,10,20,25,50,100}

Théorème 4 : Dans la liste des diviseurs de n, le produit de deux diviseurs entier symétriquement par rapport au milieu de la liste est égal à n

Théorème 5 : Un entier 𝑛 ≥ 3 qui n’est divisible par aucun des nombres situés entre 2 et 𝐸(√𝑛) est un nombre premier

Théorème 6 : Tout élément de ℕ ≥ 2 est soit un nombre premier soit un produit de nombre premiers

Démonstration : Cf. chapitre Induction

Corollaire : Tout entier 𝑛 ≥ 2 peut être décomposé en un produit de puissances de nombres premiers On appelle ce produit la décomposition de n en facteurs 1er

Méthode : Décomposition en facteurs premiers : 1. Déterminer le plus petit diviseur p de n supérieur à 1 2. Diviser n par p tel que n=pm 3. Si m>1, alors on reprend à 1 avec n = m

Exemple : 2200 1100 550 275 55 11 1

2 2 2 5 5 11

2200 = 2 × 2 × 2 × 5 × 5 × 11 = 23 ∙ 52 ∙ 11

Théorème 7 : Il existe une infinité de nombre premiers

Démonstration : Soit 𝑝1 . . 𝑝𝑘 des nombres premiers. Soit p un facteur premier de 𝑛 = 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 + 1 Alors p est différent de tous les 𝑝𝑖 car si 𝑝 = 𝑝𝑖 , alors 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 .

Or 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 ⇒ 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑛 − 𝑝1 𝑝2 … 𝑝𝑘 ⇒ p DIVISE 1: IMPOSSIBLE

III. PGCD – PPCM A. PGCD Définition : Soient (𝑎, 𝑏) ∈ ℕ∗ 2 . Les éléments de ℕ∗ qui divisent à la fois a et b sont compris entre 1 et min(𝑎, 𝑏). Ils forment donc un ensemble fini dont le plus grand élément est appelé 𝑃𝐺𝐶𝐷(𝑎, 𝑏) = 𝑎∧𝑏

  

Si 𝑎 ∧ 𝑏 = 1 alors a et b sont dits premiers entre eux 𝑎 ∧ 0 = 𝑎 par définition Si (𝑎, 𝑏) ∈ ℤ2 , 𝑎 ∧ 𝑏 = |𝑎| ∧ |𝑏|

Exemple : Calcul de 36 ∧ 90    

𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 36 = {1,2,3,4,6,9,12,18,36} 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑑𝑒 90 = {1,2,3,5,6,9,10,15,18,30,45,90} 𝐸𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑒𝑢𝑟𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑚𝑢𝑛𝑠 𝑑𝑒 36 𝑒𝑡 90 = {1,2,3,6,9,18} 36 ∧ 90 = 𝑝𝑙𝑢𝑠 𝑔𝑟𝑎𝑛𝑑 é𝑙é𝑚𝑒𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑡 𝑒𝑛𝑠𝑒𝑚𝑏𝑙𝑒 = 18

Propriété : 𝑎∧𝑏 =𝑏∧𝑎 𝑎∧1 =1 𝑎∧𝑎 =𝑎 𝑎 ∧ 𝑏 = 𝑏 ⇔ 𝑏 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝑎 𝑎 ∧ 𝑝 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 𝐷𝐼𝑉𝐼𝑆𝐸 𝐴 5) 𝑆𝑖 𝑝 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, { 𝑎 ∧ 𝑝 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 𝑝 ∧ 𝑞 = 𝑝 𝑠𝑖 𝑝 = 𝑞 6) 𝑆𝑖 𝑝 𝑒𝑡 𝑞 𝑝𝑟𝑒𝑚𝑖𝑒𝑟, { 𝑝 ∧ 𝑞 = 1 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 1) 2) 3) 4)

Calcul du pgcd par l’algorithme d’Euclide On utilise la division euclidienne de a et b jusqu’à obtenir un reste nul 𝑎 = 𝑏𝑞 + 𝑟 𝑎 = 𝑟0 ∙ 𝑞1 + 𝑟1

0≤𝑟