Démonstrations loi normale centrée réduite Propriétés 1) E(X) = 0 2

Démonstrations loi normale centrée réduite Propriétés 1) E(X) = 0 2) 3) Démonstration Le principe Pour la 1) , on applique la définition de l’espérance pour une variable aléatoire continue définie sur [a ;b]

Pour les 2) et 3) , on utilise les propriétés de la courbe de Gauss , en particulier sa symétrie par arpport à l’axe des ordonnées La démonstration La propriété 1

La densité de probabilité est définie sur limite du résultat

donc on va faire tendre les bornes a et b vers l’infini et calculer la

La propriété 2

Par symétrie de la courbe , le domaine sous la courbe à gauche de – a est égal au domaine sous la courbe à droite de a donc P( X < -a ) = P( X > a )

Démonstrations loi normale centrée réduite La propriété 3

Là encore , on utilise la courbe P( - a < X < a ) correspond à l’aire verte . C’est aussi l’aire totale privée des parties bleues Or l’aire totale , c’est 1 Les parties bleues sont P( X < - a ) et P( X > a ) Ensuite on utilise le 2

On sait que P( X > a ) = 1 – P( X < a ) . On termine :

Démonstrations loi normale centrée réduite Propriété Soit X une variable aléatoire suivant (0,1) . Pour tout nombre réel a inclus dans [0 ;1] , il existe un unique réel positif tel que : Démonstration Le principe On utilise la définition puis on assimile l’intégrale à une fonction On étudie les variations On applique le CTVI La démonstration La définition La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées donc : Par la définition de la probabilité et de l’aire sous la courbe :

On pose :

Etude des variations de H H est une fonction continue car c’est une primitive de f donc elle est dérivable et continue H’(x) = f(x) > 0 car f est une fonction exponentielle donc H croissante . La courbe est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées et l’aire totale vaut 1 donc P(X >0) = 0,5 ( la moitié de l’aire totale ) Application du CTVI Soit 0 < a < 1 alors 1 – a Par le CTVI , il existe un unique u tel que H(u) = 1 - a Propriété Démonstration Le principe On applique les premières propriétés On utilise la calculatrice La démonstration Par les premières propriétés :

On utilise la calculatrice , avec la loi inverse normale centrée réduite On obtient u = 1,96 Idem pour l’autre