Des données statistiques ont permis d`établir la loi de probabilité

Probabilités I. Loi de probabilité 1. Loi de probabilité sur un ensemble fini Définition Soit E={e1 ;e2 ;… ;en } l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Définir une loi de probabilité P sur E, c’est associer à chaque issue ei un réel pi tel que 0Âpi Â1 et p1+ p2+…+ pn =1. Loi équirépartie Lorsque les n événements élémentaires de E ont la même probabilité Error!, on dit qu’on est dans une situation d’équiprobabilité sur E et que la loi de probabilité sur E est équirépartie. Le choix de cette loi peut être influencé par des expressions telles que « bien équilibré », « non truqué », « au hasard », « indiscernables au toucher », … 2. Modélisation d’une expérience aléatoire Définition Modéliser une expérience aléatoire, c’est préciser l’ensemble E de ses issues et choisir une loi de probabilité sur E. Exemple On lance une pièce de monnaie et on note la face obtenue. On peut envisager, par exemple, les modèles suivants : Modèle A

Issue Probabilité

P

F

0,5

0,5

ou

Modèle B

Issue Probabilité

P

F

0,75

0,25

Loi des grands nombres Pour une expérience donnée, dans le modèle défini par une loi de probabilité P, les distributions des fréquences calculées sur des séries de taille n se rapprochent de P quand n devient grand. Autrement dit, pour valider ou rejeter un modèle, on peut réaliser une étude statistique en répétant ou en simulant l’expérience un grand nombre de fois. On compare alors la loi de probabilité du modèle avec la distribution des fréquences observées. Exemple Dans le cas du lancer de la pièce de monnaie, si celle-ci est parfaitement équilibrée, la simulation de l’expérience précédente devrait permettre de valider le modèle A. 3. Caractéristiques d’une loi de probabilité Définition On suppose que les issues e1, e2, …, en d’une expérience aléatoire sont des nombres réels et qu’une loi de probabilité est définie sur l’ensemble E de ces issues. 

L’espérance de cette loi de probabilité est le réel E= p1e1+ p2e2+…+ pn en



Sa variance est le réel positif V=p1( e1−E ) + p2( e2−E ) +…+pn ( en −E ) = p1e1 +p2e2 +…+ pn en −E



Son écart type est σ= V

2

2

2

2

2

2

2

Exemple On choisit au hasard une famille parmi les familles de 3 enfants et on note le nombre de filles. Des données statistiques ont permis d’établir la loi de probabilité suivante : Nombre de filles Probabilité pi

0 1/8

1 3/8

2 3/8

3 1/8

Alors E=1,5, V=0,75 et σ=Error!=Error!ó 0,87

II. Calculs de probabilités 1. Probabilité d’un évènement Définition La probabilité d’un événement A, notée p( A), est la somme des probabilités de tous les événements élémentaires qui composent l’événement A.

Probabilités Propriété Dans une situation d’équiprobabilité, la probabilité d’un événement A est : p( A)=Error!=Error!. 2. Réunion et intersection d’évènements Définitions 

La réunion de deux événements A et B est notée A∟B. Elle est constituée des issues qui appartiennent à A ou à B.



L’intersection de deux événements A et B est notée A∩B. Elle est constituée des issues qui appartiennent à A et à B.

Exemple On lance un dé ordinaire et on note le numéro porté par la face supérieure. Soient les événements A « obtenir un nombre pair » et B « obtenir un nombre supérieur ou égal à 3 ». A={2 ;4 ;6} et B={3 ;4 ;5 ;6} donc A∟B={2 ;3 ;4 ;5 ;6} et A∩B={4 ;6} Propriété Pour tous les évènements A et B : p( A∟B)+p( A∩B)=p( A)+p( B). 3. Evènement contraire Définition L’événement contraire d’un événement A est noté Ò;A ; il est constitué de toutes les issues n’appartenant pas à A. Exemple On lance un dé ordinaire et on note le numéro porté par la face supérieure. Soit A l’évènement « obtenir un nombre pair » alors A={2 ;4 ;6}. Ò;A={1 ;3 ;5} : Ò;A est l’évènement « obtenir un nombre impair ». Propriété Pour tout évènement A, p( A)+p (Ò;A)=1.

III. Variables aléatoires 1. Variable aléatoire Définition Soit E l’ensemble des issues d’une expérience aléatoire. Une variable aléatoire discrète définie sur E est une fonction X qui à chaque issue de E associe un nombre réel. Soit x un réel, l’évènement « X prend la valeur x », noté ( X=x), est constitué des issues dont l’image est x. Exemple Un joueur mise 2 € et lance un dé parfait : s’il obtient un carré parfait, il gagne 7 €, sinon il ne gagne rien. On considère l’expérience aléatoire qui consiste à lancer le dé et à noter le résultat. L’ensemble des issues est E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. Le gain algébrique du joueur définit une variable aléatoire X sur E qui prend les valeurs -2 et 8. L’évènement ( X=7) est réalisée par les issues 1 et 4.

2. Loi de probabilité d’une variable aléatoire Définition Déterminer la loi de probabilité d’une variable aléatoire X, c’est : 1.

Donner l’ensemble {x1 ;x2 ;… ;xk } des valeurs prises par X ;

2.

Déterminer pour chaque xi la probabilité de l’évènement ( X=xi ) notée p ( X=xi ) .

Probabilités Exemple Dans l’exemple précédent, comme le dé est parfait, il y a équiprobabilité sur E={1 ;2 ;3 ;4 ;5 ;6}. ( X=-2)={2 ;3 ;5 ;6} donc p( X=-2)=Error!=Error! ( X=7)=Error! donc p( X=7)=Error!=Error!. On en déduit la loi de probabilité de X : xi p ( X=xi )

-2 Error!

7 Error!

3. Espérance, variance et écart-type d’une variable aléatoire Définition L’espérance, la variance et l’écart type d’une variable aléatoire sont respectivement l’espérance, la variance et l’écart type de la loi de probabilité de X. On les note respectivement E( X), V(X) et σ( X) Exemple Dans l’exemple précédent, E( X)=Error!×(-2)+Error!×7=1 : en jouant un grand nombre de fois, un joueur peut espérer gagner 1 € en moyenne. V( X)=Error!×Error!+Error!×Error!−Error!=18 donc σ(X)=Error!ó 4,24 (euros) Remarque Lorsque l’espérance est nulle, on dit que le jeu est équitable.