Devoir 3 - LAMFA - Université de Picardie Jules Verne

S4 Maths 2008-2009

Probabilités 1

Devoir 3

Université de Picardie Jules Verne UFR des Sciences

2008-2009

Licence mention Mathématiques - Semestre 4 Probabilités 1 Devoir 3 A rendre le lundi 1er juin 2009 Exercice 1. Etude d’une v.a.r. discrète Une urne contient au départ une boule blanche et une boule noire. A chaque étape, on tire une boule de l’urne. Si elle est blanche, on la remet dans l’urne avec une boule noire supplémentaire. On arrête les tirages dès que l’on obtient une boule noire. On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués. 1) Déterminer la loi de probabilité de X. On justifiera les calculs effectués. 2) a) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire X  1. b) En déduire l’espérance mathématique de X. Exercice 2 Couple de v.a.r. discrètes et indépendance Soient X et Y deux variables aléatoires indépendantes, de même loi Uniforme sur −1, 1. Soit la variable aléatoire Z  XY. 1) Déterminer la loi conjointe du couple X, Y. 2) a) Déterminer l’espérance mathématique de Z. b) Déterminer la loi de probabilité de Z. 3) a) Déterminer la loi conjointe du couple X, Z. b) Les variables aléatoires X et Z sont-elles indépendantes ? Exercice 3. Couple de v.a.r. discrètes et indépendance Dans un grand magasin, l’étude du mode de paiement a permis d’établir que pour chaque client se présentant à une caisse, la probabilité que le client règle par carte bancaire est égale à 0, 6. 1) Une caissière reçoit n clients dans la journée, avec n  2. On définit les deux variables aléatoires Y et Z telles que Y (respectivement Z) comptabilise le nombre de clients qui paient (respectivement ne paient pas) par carte bancaire. On suppose que les modes de règlement sont indépendants entre les clients. a) Donner, sans calcul mais en justifiant la réponse, les lois de probabilité de Y et de Z. b) Déterminer la loi conjointe du couple Y, Z. c) Les variables aléatoires Y et Z sont-elles indépendantes ? 2) On suppose maintenant que le nombre de clients se présentant à la caisse est une variable aléatoire X suivant la loi de Poisson de paramètre , avec   0. a) Donner, sans calcul et pour n ∈ ℕ, la loi de probabilité de Y conditionnelle à X  n. b) Démontrer que Y suit la loi de Poisson de paramètre p. c) Donner, par analogie, la loi de Z. d) Déterminer la loi conjointe du couple X, Y. En déduire celle du couple Y, Z ; on pourra utiliser le fait que Y  Z  X. e) En déduire que les variables aléatoires Y et Z sont indépendantes ? Comparer avec 1)c). Exercice 4. Un calcul de  1)

 −

x2

e − 2 dx

Justifier la convergence de l’intégrale I   a

x2

 0

x2

e − 2 dx. x 2 y 2

2) Pour tout réel a  0, on pose Ia   e − 2 dx. Vérifier que Ia 2   e − 2 dxdy, où C a désigne 0 Ca le carré 0, a  0, a. 3) Pour tout a  0, on considère le quart de disque D a  r cos , r sin  / r ∈ 0, a et r ∈ 0,  . 2 x 2 y 2 a) En effectuant le changement de variables x  r cos  et y  r sin , calculer Ja   e − 2 dxdy. Da b) En déduire que a→ lim Ja   . 2 c) Représenter sur un même graphique les ensembles D a , C a et D a 2 et préciser les éventuelles inclusions entre ces ensembles. Stéphane Ducay

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d) En déduire que pour tout réel a  0, Ja ≤ Ia 2 ≤ J a 2 . e) En déduire que la valeur de I.  x2 4) En déduire la valeur de  e − 2 dx. −

Exercice 5. V.a.r. à densité x si 0 ≤ x ≤ 2 2 est une densité de probabilité. 0 sinon Dans toute la suite de l’exercice, X désigne une variable aléatoire admettant f pour densité. 2) a) Déterminer la fonction de répartition F X de X. b) Calculer l’espérance mathématique EX et la variance VarX de X. 3) On note U la variable aléatoire définie par U  X 2 ; on pose Y  U . 4 a) Déterminer la fonction de répartition F U de U, puis celle F Y de Y. 1 si 0 ≤ x ≤ 1 b) Etablir qu’une densité f Y de Y est donnée par f Y x  . Reconnaître la loi de Y. 0 sinon c) En déduire la valeur de l’espérance EY de Y. Soit n un entier supérieur ou égal à 2. Dans la suite, on considère n variables aléatoires X 1 , . . . , X n indépendantes, suivant toutes la même loi que X. 4) On note Z n la variable aléatoire définie par Z n  maxX 1 , X 2 , . . . , X n . a) Montrer que la fonction de répartition F Z n de Z n est donnée par : 0 si x ≤ 0 1)

Vérifier que la fonction f définie sur  par fx 

x 2

F Z n x  1

2n

si 0 ≤ x ≤ 2 si x ≥ 2

b) En déduire une densité f Z n de Z n . c) Calculer l’espérance EZ n  de Z n , ainsi que sa limite quand n tend vers . Exercice 6. Loi de Pareto (Vilfredo Pareto (1848-1923), sociologue et économiste italien) Soient a et b des réels strictement positifs. Par définition, on dit d’une variable aléatoire X qu’elle suit la loi de Pareto de paramètres a et b si elle admet pour densité de probabilité la fonction f X définie sur  par f X x 

a a ba1 si x  b x 0 si x  b

Soit alors X une variable aléatoire de loi de Pareto de paramètres a et b. 1) a) Vérifier que f X définit bien une densité de probabilité. b) Calculer l’espérance et la variance de X, en précisant à quelle(s) condition(s) elles existent. 2) a) Déterminer la fonction de répartition F X de X. b) En déduire la fonction de survie G X définie sur  par G X x  PX  x. c) Démontrer que, pour tout réel y positif ou nul, la probabilité conditionnelle P X  x  y / X  x tend vers 1 quand x tend vers . Que peut-on dire d’un phénomène dont la durée de vie est modélisée par X ? 3) On considère la variable aléatoire Y  ln X . b Déterminer la fonction de répartition, puis une densité de Y. Reconnaître une loi usuelle.

Stéphane Ducay

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