Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014

Devoir probabilités et étude de fonction vendredi 14/02/2014 Exercice 1 (4,5 points): Un jeu de hasard est formé d'un dispositif lançant de façon aléatoire une fléchette dans une cible ayant la forme suivante : B

B

B

B

B

B

B

B

B

N

N

N

V

V

R

R

V

V

N

N

N

B

B

B

B

B

B

B

B

B

La fléchette atteint toujours une lettre et une seule. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. • Si la fléchette atteint une lettre R, le joueur gagne 8 euros. • Si la fléchette atteint une lettre V, le joueur gagne 5 euros. • Si la fléchette atteint une lettre N, le joueur ne gagne rien et ne perd rien. • Si la fléchette atteint une lettre B, le joueur perd a euros. On note X la variable aléatoire représentant le gain algébrique du joueur 1. Donner la loi de probabilité de X. 2. Calculer le réel a pour que le jeu soit équitable. 3. Donner une valeur approchée de σ ( X ) à 0,01 près. Exercice 2 (5,5 points): Une chaîne de restauration rapide effectue une analyse du temps mis par un client pour prendre sa commande. Elle aboutit au classement des clients en trois catégories : • R : le client rapide, le temps de commande est de 10 s. • C : le client classique, le temps de commande est de 15s. • H : le client hésitant, le temps de commande est de 30s. On suppose que les clients se répartissent de la façon suivante : 75% de classiques, 10% de rapides et 15% d'hésitants. Deux clients se présentent successivement à la caisse. 1. Faire un arbre pondéré correspondant à la situation. 2. Quelle est la probabilité que les deux clients soient rapides. 3. On appelle D la variable aléatoire correspondant au temps total de commande pour deux clients. a. Déterminer la loi de probabilité de D. b. Déterminer l'espérance de D. Interpréter le résultat. Exercice 3 (5 points) : Soit h la fonction définie sur ℝ \{2} par h ( x )=− 1. Montrer que h' ( x )=

2x on appelle (H) sa courbe représentative. x −2

4

( x−2 )2

2. Déterminer l'équation ( T 3 ) de la tangente à (H) au point d'abscisse 3. 3. Calculer les coordonnées du point A de la courbe dont la tangente est parallèle à ( T 3 ) 4. Soit m un nombre réel quelconque et ( Dm ) la droite d'équation y =mx . Discuter en fonction de m , du nombre de points de (H) pour lesquels la tangente est parallèle à la droite ( Dm ) Exercice 4 (5 points) : On inscrit un cône dans une sphère de centre O, de hauteur [ SO' ] et de rayon R=5. On souhaite connaître la position de O' de sorte à ce que le volume du cône soit maximal. Dans l'exercice le point O' est situé « en dessous » du point O. On pose x=OO' et on définit la fonction V : x → V ( x ) où V ( x ) est le volume du cône. 1. Donner l'ensemble de définition de la fonction V. 2. Calculer O' A π 3 2 3. Montrer que V ( x )= 3 ( −x −5 x +25 x+125 ) 4. Déterminer la position de O' de sorte que le volume soit maximal. Rappel : Volume du cône =

Aire Base× hauteur 3

Correction :

Exercice 1 : 1. Les trente lettres ont toutes la même probabilité d'être atteinte. On a la loi de probabilité suivante :

xi

-a

0

5

8

P(X= xi )

3 5

1 5

2 15

1 15

9 2 1 9 18 a+ ×5+ ×8 = =− a+ 15 15 15 15 15 9 18 a+ E(X) = 0 ⇔ − = 0 ⇔ a = 2. Le jeu est équitable pour a = 2. 15 15

2. E(X) =−

Exercice 2 :

1. Il s'agit d'une répétition de deux expériences aléatoires identiques et indépendantes. R 0,10

0,75

R 0,10 0,75

0,15

H

0,10

R

C

0,75 0,15

0,15

C

H R

0,10

H

C

0,75 0,15

C H

2. La probabilité que les deux clients soient rapides est égale à : 0,12 = 0,01. 3. a. La loi de probabilité de D est la suivante : xi 20 25 30 40 P(D= xi )

45

60

2

0,01

2

2x0,1x0,75 = 0,15 0,75 = 0,5625 2x0,1x0,15 = 0,03 2x0,15x0,75 = 0,225 0,15 = 0,0225

b. E(D) = 0,01x20 + 0,15x25 + 0,5625x30 + 0,03x40 + 0,225x45 + 0,0225x60 = 33,5. Pour un grand nombre de clients, on peut espérer un temps moyen de commande pour deux clients de 33,5s. Exercice 3 1.

h est une une fonction quotient du type

u de deux fonctions définies et dérivables sur ℝ \{2} tel v

que v ne s'annule pas sur cet intervalle.

h Est alors définie et dérivable sur ℝ \{2} avec h' ( x )=− h' ( x )=

4

( x −2)

2

2×( x−2) −2 x 2

( x−2)

soit h' ( x )=−

−4 2

( x− 2)

donc

.

2. L'équation de la tangente ( T 3 ) à la courbe au point d'abscisse 3 est y =h' ( 3) ( x −3) +h ( 3) . On a h' ( 3) =4 et h ( 3) =−6 , donc l'équation de ( T 3 ) est y =4 ( x −3 ) −6 soit y =4 x −18 3. Soit le point A de coordonnées ( a ; h ( a ) ) , La tangente à la courbe au point A est parallèle à ( T 3 ) si et seulement si h' ( a )=4 . 4 2 2 =4⇔ ( a−2 ) =1⇔ ( a−2) −1=0⇔ ( a−3) ( a−1) =0 . Il y a donc deux On résout alors l'équation 2 ( a−2) seules solutions à l'équation 3 et 1, l'abscisse du point A est donc 1, le point A a pour coordonnées A ( 1; 2) . 4. De la même manière M ( a ; h ( a ) ) est un point de la courbe dont la tangente passant par ce point est parallèle à (D m ) d'équation y =mx , cela est vrai si et seulement si f' ( a )=m .

On résout alors l'équation

4

( a−2)

2

=m . On peut déjà dire que m est nécessairement strictement

positif. 2 L'équation est équivalente à 4=m ( a−2) ⇔4=m ( a2−4 a+4 )⇔ma 2−4 ma+4 m−4=0 . C'est une équation du second degré qui admet des solutions si et seulement si le discriminant Δ>0 . 2 On calcule Δ=(−4 m ) −4 m ( 4 m−4 ) soit Δ=16 m 2−16 m2+16 m soit Δ=16 m . Ainsi si m⩽0 il n'y a aucune solution soit aucun point H possible (m>0). Si m>0 il y a exactement deux solutions soit deux points possibles. Exercice 4 1. DV =] 0 ; 5[ 2. Le triangle OO'A est rectangle en O', d'après le théorème de Pythagore, O' A2 =OA 2 −OO' 2 soit 2 2 O' A =25=x donc O' A= √ 25−x 2 . 2 2 π π×( 25−x )×( 5+x ) 3. On calcule alors le volume du cône V ( x ) = soit V ( x ) = 3 ×( 25−x ) ( 5+x ) en 3 3 2 π développant on trouve que V ( x ) = 3 (−x −5 x +25 x +125 ) . 4. Pour déterminer la valeur pour laquelle le volume est maximal on étudie les variations de V sur ] 0; 5 [ 2 V' ( x ) = π (−3 x −10 x+25 ) , le signe de V' ( x ) est celui du trinôme −3 x 2 −10 x+25 . 3 10−20 5 soit x 1= et x 2 =−5 , seule x 1 est dans l'intervalle Δ=400 il y a deux racines x 1= −6 3 d'étude. On en déduit le tableau de variations suivant : x

5 3

0

signe de f '

+

− 5 V 3

()

f

Le volume est donc maximal pour x=

5 5 ≈155, 14 et vaut V 3 3

()

5