Distance, tangente, bissectrice A (d) H I) Distance d`un point à une

Distance, tangente, bissectrice I) Distance d’un point à une droite

A

Voir activité : Distance d’un point à une droite à l’aide de géoplan 1) Définition

(d)

Soit A un point et (d) une droite H On appelle distance du point A à la droite (d), la plus petite distance entre le point A et un point M se trouvant sur la droite (d). 2) Propriété - définition Si H le pied de la perpendiculaire à (d) passant par A alors: H est le point de (d) le plus proche de A AH est appelé la distance du point A à la droite (d). Démonstration : Pour n'importe quel point M sur (d) on a d'après le théorème de Pythagore appliqué au triangle AHM rectangle en H : AM2 = AH2 + HM2 Donc AM2  AH2 Donc AM  AH donc AH est la distance de A à (d)

II) Tangente à un cercle

1) Définition La tangente (T) en H à un cercle de centre O est la droite passant par le point H et qui est perpendiculaire au rayon [OH].

(T)

O

H

INSTRUMENPOCHE/ConstructionsdeBases/Divers1 2) Propriété - définition Si (T) est la tangente au cercle en H alors (T) et le cercle ont un seul point commun : le point H, autrement dit si (T) est la tangente au cercle en H alors H est le point de contact du cercle et de la tangente en H au cercle. Démonstration :

Soit M un point du cercle, soit T la tangente en H au cercle alors on a OM = OH or si M était un point de la droite on aurait que OM > OH (distance de O à la droite (T) ) donc la tangente en H au cercle n' a qu'un seul point commun avec le cercle et ce point est H. III) Bissectrices des angles d’un triangle

y

1) Définition

La bissectrice d’un angle est la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de même mesure. O

x

2) Propriétés et définition Si un point appartient à la bissectrice d’un angle alors il est équidistant de deux côtés de cet angle. Si un point est équidistant de deux côtés d’un angle alors il appartient à la bissectrice de cet angle. T Dans un triangle, les bissectrices des trois angles sont concourantes. Leur point de concours est équidistant des trois côtés du triangle. I Ce point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

A R