Distances et lieux

Distances et lieux 1) Inégalité triangulaire et positions relatives de deux cercles a. Inégalité triangulaire Propriété Dans un triangle, la longueur de chaque côté est : - plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés ; - plus grande que la différence positive des deux autres côtés. ̅̅̅̅ -𝐵𝐶 ̅̅̅̅ |< ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |𝐴𝐶 𝐴𝐵 < ̅̅̅̅ 𝐴𝐶 + 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ – 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ | < ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ |𝐴𝐵 𝐴𝐶 < ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 ̅̅̅̅ − ̅̅̅̅ |𝐴𝐵 𝐴𝐶 | < ̅̅̅̅̅ 𝐵𝐶 < ̅̅̅̅ 𝐴𝐵 + ̅̅̅̅ 𝐴𝐶

Méthode pour vérifier s’il est possible de construire un triangle Pour déterminer si l’on peut construire un triangle dont les côtés ont des longueurs données, il suffit de vérifier si la longueur du plus grand côté est plus petite que la somme des longueurs des deux autres côtés. Exemple Les longueurs des côtés valent respectivement 3cm, 4cm et 2cm  4 < 3 + 2

Contre-exemples 

il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent respectivement 5cm, 3cm et 2cm  5 = 3 + 2



il est impossible de tracer un triangle dont les côtés mesurent respectivement 5cm, 3cm, 1cm  5 > 3 + 1

b. Positions relatives de deux cercles Notations - C1 le cercle de centre O1 et de rayon r1 - C2 le cercle de centre O2 et de rayon r2 Classement des positions relatives Nombre de points d’intersection

2 points d’intersection

Représentation géométrique

Position relative Les cercles sont sécants. ̅̅̅̅̅̅̅̅ < r1+r2 |𝑟1 − 𝑟2| < 𝑂1𝑂2 La distance entre les centres est comprise entre la différence positive et la somme des rayons. Les cercles sont tangents extérieurement. ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑂1𝑂2 = r1+r2 La distance entre les centres est égale à la somme des rayons.

1 seul point d’intersection Les cercles sont tangents intérieurement. ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑂1𝑂2 = |𝑟1 − 𝑟2| La distance entre les centres est égale à la différence positive des rayons.

Les cercles sont disjoints extérieurement. ̅̅̅̅̅̅̅̅ > r1+r2 𝑂1𝑂2 La distance entre les centresest supérieure à la somme des rayons.

Pas de point d’intersection

Les cercles sont disjoints intérieurement. ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝑂1𝑂2 < |𝑟1 − 𝑟2| La distance entre les centres est inférieure à la différence positive des rayons. Cas particulier : Les cercles sont concentriques ̅̅̅̅̅̅̅̅ = 0 𝑂1𝑂2 La distance entre les centres est nulle.

2) Distance par rapport à une droite a. Distance d’un point à une droite, entre deux parallèles 1. Distance d’un point à une droite Définition La distance d’un point à une droite est la distance entre ce point et le pied de la perpendiculaire à la droite issue de ce point. ̅̅̅̅ où H est le pied La distance entre le point X et la droite a est égale à 𝑋𝐻 de la perpendiculaire à a issue de X. Notation La distance du point X à la droite a est notée d(X, a).

Propriété La distance d’un point à une droite est la plus courte distance entre ce point et n’importe quel point de cette droite. ̅̅̅̅ < ̅̅̅̅ Quel que soit le point Y différent de H sur la droite a, 𝑋𝐻 𝑋𝑌. 2. Distance entre deux droites parallèles Définition La distance entre deux droites parallèles est la distance entre les points d’intersection de ces parallèles avec n’importe quelle perpendiculaire commune. La distance entre les droites a et b est égale à ̅̅̅̅ 𝑋𝑌. Notation La distance entre les droites a et b est notée d(a, b). b. Positions relatives d’un cercle et d’une droite Nombre de points d’intersection

Représentation géométrique

Position relative

2 points d’intersection

La droite est sécante au cercle. ̅̅̅̅ < r d(O,a) = 𝑂𝐻 La distance entre le centre du cercle et la droite est plus petite que le rayon.

1 seul point d’intersection

La droite est tangente au cercle. ̅̅̅̅ = r d(O,a) = 𝑂𝐻 La distance entre le centre du cercle et la droite est égale au rayon.

Pas de point d’intersection

La droite est extérieure au cercle. ̅̅̅̅ > r d(O,a) = 𝑂𝐻 la distance entre le centre du cercle et la droite est plus grande que le rayon.

Propriété La tangente à un cercle est perpendiculaire au rayon en son point de contact. Méthode de construction de la tangente en un point du cercle Pour construire la tangente t à un cercle de centre O en un point P du cercle, 1) On trace le rayon [𝑂𝑃] ;

2) On trace la perpendiculaire à [𝑂𝑃] passant par P. Cette droite est la tangente t.

3) Propriétés de la médiatrice a. Médiatrice d’un segment Définition (rappel) La médiatrice d’un segment est la droite perpendiculaire à ce segment en son milieu.

Définition Un lieu géométrique est l’ensemble des points qui possèdent une même propriété. Propriété d’équidistance La médiatrice d’un segment est le lieu des points équidistants des extrémités de ce segment. Autrement dit : 1) Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est équidistant des extrémités de celui-ci ; et 2) Si un point est équidistant des extrémités d’un segment, alors il appartient à la médiatrice de celui-ci. 1) Hvof

2) Nvvfs

Conséquences 1) La médiatrice d’une corde d’un cercle passe par le centre du cercle.

2) La médiatrice de la corde commune à deux cercles sécants passe par les centres de ces deux cercles.

b. Médiatrices d’un triangle Définition de droites concourantes Des droites concourantes sont des droites qui se coupent en un seul point. Propriétés 1) Les médiatrices d’un triangle sont concourantes. Preuve : Soit O Le point d’intersection des médiatrices de [AB] et de [AC]. D’une part, puisque O appartient à la médiatrice de [AB], on |OA| =| OB| D’autre part, puisque O appartient à la médiatrice de [AC], on a |OA| =| OC| Dès lors, |OB |= |OC| Par conséquent, O appartient à la médiatrice de [BC].

2) Il existe un seul cercle passant par les trois sommets d’un triangle. - Son centre est l’intersection des médiatrices du triangle. - Son rayon est la distance entre son centre et l’un des sommets du triangle. Définition de cercle circonscrit Le cercle circonscrit à un triangle est le cercle passant par les trois sommets du triangle. Exemple : C est le cercle circonscrit au triangle ABC.

Méthode de construction du cercle circonscrit à un triangle Pour construire le cercle circonscrit à un triangle, 1) On trace les médiatrice de deux côtés ; 2) On trace le cercle dont le centre est l’intersection de ces médiatrices, et dont le rayon est la distance entre le centre et un des sommets du triangle.

4) Propriétés de la bissectrice

a. Bissectrice d’un angle Définition (rappel) La bissectrice d’un angle est la demi-droite issue du sommet de cet angle et qui partage cet angle en deux angles de même amplitude. Propriété d’équidistance La bissectrice d’un angle est le lieu des points équidistants des côtés de cet angle. Autrement dit 1) Si un point appartient à la bissectrice d’un angle, alors il est équidistant des extrémités de cet angle. 2) Si un point est équidistant des extrémités d’un angle, alors il appartient à la bissectrice de cet angle. 1) Vhnoz

2)

b. Bissectrices d’un triangle

Propriété Les bissectrices d’un triangle sont concourantes. Preuve : Soit O le point d’intersection des bissectrices de  et de B.

D’une part puisque O appartient à la bissectrice de Â, on a, d (O,AC) = d (O,AB). D’autre part, puisque O appartient à la bissectrice de B, on a d (O,AB) = d(O,BC). Dès lors, d (O,AC) = d (O,BC). Par conséquent, O appartient à la bissectrice de C. Propriété Il existe un seul cercle tangent aux trois côtés d’u triangle. - Son centre est l’intersection des bissectrices du triangle. - Son rayon est la distance entre l’intersection de ces bissectrices et l’un des côtés du triangle. Définition Le cercle inscrit à un triangle est le cercle tangent aux trois côtés de ce triangle.

Méthode de construction du cercle inscrit à un triangle :

Pour construire le cercle inscrit à un triangle : 1) On trace les bissectrices de deux angles ; 2) de l’intersection de ces bissectrices, on abaisse la perpendiculaire à un des côtés du triangle ; 3) on trace le cercle dont le centre est l’intersection des bissectrices, et dont le rayon est la distance du centre à l’un des côtés du triangle.