DM8

DM 8 Probas , suites, séries de fonctions

Exercice 1 : Des sommes de longueur aléatoire Soit N; X1 ; X2 ; ::::; Xn ; ::::: une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes définies sur un même espace probabilisé ( ; A; P ). On suppose que les variables Xn admettent la même loi de probabilité et sont à valeurs dans N. On notera X une variable suivant cette loi. D’autre part N est une variable aléatoire à valeurs dans N : On suppose que N et X possèdent une espérance PN PN (!) On définit la variable aléatoire S = k=1 Xk c’est à dire 8! 2 ; S(!) = k=1 Xk (!): a) On suppose dans cette question que X suit la loi de Bernouilli B(1; p): Déterminer PN =n (S = k) pour tout k 2 N et n 2 N . P+1 On pose EN =n (S) = k=0 kPN =n (S = k): Calculer EN =n (S) b) Dans le cas général déterminer EN =n (S) enP fonction de n est de E(X) +1 c) Démontrer dans le cas général que E(S) = n=0 EN =n (S)P (N = n) = E(N )E(X) : indication : on considérera le système complet (N = n)n2N d) On suppose ici que N 1 suit une loi de Poisson de paramètre et que X suit la loi de Bernouilli B(1; p): d1: Déterminer E(S): d2: Déterminer soigneusement la loi de S : vérifier qu’il s’agit bien d’une loi de probabilité d3: facultatif : retrouver la valeur de E(S) Exercice 2: Ma lignée s’éteindra t’elle?

Dans une population on appelle descendants de première génération d’un individu ses enfants et plus généralement descendants de p + 1ieme génération les enfants de ses descendants de pieme génération. On suppose: * Que le nombre d’enfants de différents individus d’une même génération sont des variables aléatoires identiquement distribuées, mutuellement indépendantes suivant toutes la loi de Poisson de paramètre > 0: On note X une de ces variables aléatoire. * Que plus généralement pour tout n > 1;les variables aléatoires associant aux différents individus d’une même génération les nombres possibles de leurs descendants de nieme génération sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi. On note Xn une de ces variables aléatoires * On note pour tout k 2 N ,pk = P (X = k) la probabilité pour un individu d’avoir k enfants et pour tout n 2 N un = P (Xn = 0) (avec u0 = 0) la probabilité pour un individu de n’avoir aucun descendant à la nieme génération. La limite de cette suite représente la probabilité pour un individu de voir sa descendance s’éteindre. On note par ailleurs f la fonction f (x) =P e (x 1) +1 1 Montrer que pour tout réel x; f (x) = k=0 pk xk 2 Montrer que u1 = f (u0 ) 3 Montrer que pour tout entier k; PX1 =k (X2 = 0) = (e )k ; puis en déduire que u2 = f (u1 ) 4 Soit n 2 N : calculer PX1 =k (Xn+1 = 0) et en déduire que un+1 = f (un ) 5 a) Déterminer le nombre de solutions x 2 [0; +1[ de l’équation f (x) = x selon les valeurs de : b) Démontrer que la suite un est convergente c) Donner une interprétation graphique de la suite un utilisant le graphe de f et déterminer en fonction des valeurs de la valeur de sa limite. On discutera sur la position de par rapport à 1. d) Quelle est la probilité d’extinction d’un individu sachant que = 1? = 2?

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Exercice 3 : Des séries de fonctions dans tous les coins...

Soit X une variable aléatoire définie sur l’espace probabilisé ( ; A; P ) à valeurs dans N (X( ) fonction caractéristique de X la fonction itX ) X (t) = E(e 1. Montrer que

X

N): On appelle

est bien définie, continue et périodique sur R

2. Soient X; Y deux variables aléatoires définies sur ( ; A; P ) à valeurs dans N; telles que qu’elles suivent la même loi. R ikt dt Indication: considérer les intégrales Ik = 21 X (t)e 3. On suppose que X possède une espérance. Montrer que 4. Calculer

X (t)

lorsque X = Z

5. Calculer

X (t)

lorsque X suit la loi de Poisson P ( )

6. Calculer

X (t)

lorsque X suit la loi Binomiale B(n; p)

X

est dérivable et calculer

X

=

Y

: Montrer

0 X (0)

1 ou Z suit la loi géométrique G(p):

7. On suppose X et Y indépendantes: déterminer

X+Y

(t) en fonction de

X (t)

8. On suppose que X admet des moments d’ordre k pour tous k: Démontrer que

et de

Y

X (t)

=

Exercice 4 : une application des séries génératrices

(t) P+1

k=0

ik mk k k! t :

Soient X; Y deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ; A; P ) , indépendantes et de même loi, à valeurs dans N: On suppose que la variable Z = X + Y + 1 suit une loi géométrique G(p): On définit la fonction génératrice de par 8t 2 [ 1; 1]; GX (t) = E(tX ) 1. Montrer que X possède une espérance et une variance et préciser leurs valeurs en fonction de p 2. Déterminer la fonction génératrice de Z 3. Exprimer GY +1 (t) en fonction de GY (t) et de t 4. En déduire la valeur de GX (t) en fonction de t 5. Préciser le développement en série entière de la fonction f : f (t) = p(1 probabilité de X

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(1

1

p)t) 2 : En déduire la loi de

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