Document

Nederland wordt wereldkampioen Aart F. de Vos (NRC 12 juni 1990, gedurende het WK voetbal, aan de vooravond van ons gelijk spel tegen Egypte) Eén ding is zeker: er is een kans dat Nederland kampioen wordt. Maar hoe groot is die kans? Is die kans in een getal te vangen, 20 procent of zo? En wat bedoelen wij daar dan mee? Het WK voetbal geeft mij de kans dit soort vragen, die voor iedereen van belang zijn en onder wetenschappers een punt van heftige discussie vormen, ten dele te beantwoorden. Een van de mooie aspecten van “onze kans” is dat niemand weet wat hij is, of hoe groot hij is, maar wel hoe hij verandert. Als Gullit morgen zijn knie weer blessert daalt de kans, als we van Egypte verliezen ook. De kans verandert dus van dag tot dag, en soms van minuut tot minuut. In de voorronden kan de kans al zakken naar nul, in de afvalwedstrijden kan de kans van de ene op de andere seconde veranderen door een doelpunt. Zelfs als we in de finale één minuut voor het einde met 3-2 voorstaan zijn we nog zo onzeker dat het zweet in onze handen staat, terwijl de kans dan toch 95 procent of zoiets is geworden. Wat maakt onzekerheid over zoiets onbenulligs als voetbal zo spannend? Misschien geloven wij onbewust in psychokinese, zodat als we maar hard genoeg hopen en bidden de bal net aan de goede kant van de paal belandt. Misschien zijn we gefascineerd door het feit dat aan de onzekerheid een eind zal komen, wat bij zoveel andere onzekerheden in het leven veel langer pleegt te duren. Of misschien is het de spanning tussen toeval en determinisme die ons boeit. In vele minder Calvinistische landen hebben de kansen een extra dimensie. Zij vormen de basis van massale weddenschappen. Bij bookmakers kan men op Nederland wedden tegen ongeveer 1:5, wat wil zeggen dat je vijf maal je inzet wint (dus zesmaal terugkrijgt) als Nederland wint. Enig nadenken leert dat als je de kans voor Nederland hoger aanslaat dan 1/6, wedden aantrekkelijk wordt in de zin dat er spraken is van “verwachte winst”. Acht je de kans 1/4 dan is de verwachte winst (-1)*(3/4) + 5*(1/4) = 1/2 maal de inzet. Als je maar regelmatig zulke weddenschappen afsluit en je kansinschattingen zijn correct, dan kan je snel rijk worden. Hoe men ook over dit soort praktijken mag denken, zij hebben de mooie consequentie dat er zoiets ontstaat als de kans dat Nederland kampioen wordt. Net zoals een aandeel op de beurs door loven en bieden een waarde krijgt, ontstaat een kans: als de bookmakers 1:5 bieden, is de kans 1/6. En als we van Egypte verliezen, gaan de bookmakers 1:7 bieden, en zakt de kans dus naar 1/8. De analogie met beurskoersen gaat verder: overal ter wereld liggen de noteringen dicht bij elkaar, eenvoudigweg omdat slimme rekenaars er profijt uit kunnen slaan als ze verschillen. Een voorbeeld: stel dat in vijf landen de bookmakers 1:3 bieden voor het eigen land, omdat ieder land nu eenmaal zijn eigen kansen overschat. Een bookmaker die in alle landen opereert en overal evenveel weddenschappen afsluit zal dan altijd winnen: hij vangt vijf maal de inzet en betaalt vier maal uit, want er is maar één winnaar (Een aardig detail: zo’n weddenschap waarbij je altijd wint heet een “dutch book”). Maar dat is te aantrekkelijk: er zullen bookmakers op de markt komen die overal 1:3,5 bieden, enz. tot weddenschappen worden aangeboden die corresponderen met kansen die sommeren tot één, zoals fatsoenlijke kansen betaamt. Voor wetenschappers verheft deze beschouwing iets aards als wedden tot een hoger inzicht. De vraag “wat zijn kansen?” heeft velen beziggehouden. En terecht, want iedere rationele onderbouwing van menselijk handelen onder onzekerheid vergt rekenen met kansen. En vele onderzoeken hebben aangetoond dat mensen niet van nature in staat zijn kansen redelijk in te schatten. Ook wetenschappers niet, sterker nog, de vraag wat kansen eigenlijk zijn is nog steeds een fundamenteel discussiepunt onder statistici. Geen wonder dus dat economen, medici e.v.a.

die beweren te weten hoe je in onzekere situaties moet handelen er helemaal weinig van terecht brengen. Het idee om kansen te vereenzelvigen met weddenschappen stamt van de Italiaan de Finetti, die in 1935 bewees dat je op die manier een basis kan krijgen voor het begrip kans die veel inzichtelijker is dan de axiomatische benadering van wiskundigen. Doorredenerend kwam hij tot het inzicht dat kansen in de meeste gevallen subjectief zijn, d.w.z. van persoon tot persoon verschillend. Daarmee legde hij de basis voor een heropleving van een vorm van statistiek die teruggrijpt op het werk van de Engelse dominee Thomas Bayes uit 1763, en dan ook Bayesiaanse statistiek heet. Bayesianen kennen aan alles kansen toe en erkennen dat een kans afhangt van de informatie die men heeft, en dus in de tijd en tussen personen kan verschillen. Voorts leert de Bayesiaanse statistiek hoe subjectieve voorinformatie gecombineerd kan worden met de “klassieke” statistische informatie die ontstaat wanneer een zelfde situatie zich herhaald voordoet (als we met dezelfde spelers tien WK’s achter elkaar zouden spelen bijvoorbeeld). Maar wetenschappers houden niet van subjectiviteit. Rond 1960 was het aantal Bayesianen op de vingers van één hand te tellen, sindsdien is er spraken van een langzame opmars. Nederland blijft echter zeer orthodox, en slechts weinigen zullen geleerd hebben hoe je in termen van kansen moet denken in situaties die lastiger liggen dan het gooien met dobbelstenen en munten. Van voetballen, handel en dutch books hebben we verstand, van kansen hebben we geen kaas gegeten. Dat is jammer, maar het is nooit te laat om te leren, en daarom stel ik voor het WK 1990 te gebruiken voor een kleine exercitie. Om inzicht in Uw kansoordeel te krijgen moet U regelmatig kansen aan gebeurtenissen toekennen, en van tijd tot tijd evalueren hoe U scoort. Te beginnen bij de achtste finales (want dan gaat het alleen nog om winnen en verliezen, gelijke spelen vertroebelen de zaak), noteert U voor het begin van iedere wedstrijd Uw kans op winst voor beide ploegen (tip: laat ze tot één sommeren). Na afloop van de wedstrijden noteert U de scores: de kans die U aan de winnaar had toegekend. En aan het eind van de rit vermenigvuldigt U al uw scores met elkaar. (U mag ook de logaritmen optellen, dat komt op hetzelfde neer). Uw eindscore vergelijkt U met vrienden en bekenden. Ook de krant kan meewerken door de score van de bookmakers te geven, dan kan iedereen zijn score daarmee vergelijken. Als Uw score hoger is, dan hebt U waarschijnlijk verstand van voetballen en kansen. Scoort U erg laag dan zou ik de oorzaak in de eerste plaats zoeken in Uw kansbegrip. Verstand van voetballen helpt weinig. Een in mijn bus gegooid blaadje gaf de voorspellingen van de einduitslag van 16 “experts”, spelers van Ajax: de helft zette Nederland op de eerste plaats. Dat lijkt mij een geval van zelfoverschatting. Gewoon gezond verstand daarentegen vermag veel. Mijn dochter deed het goed in mijn ogen: na haar afschuw over het gezeur over kansen te hebben verwoord, constateerde zij dat er zes serieuze kanshebbers zijn, en dat Nederland dus een kans 1/6 heeft. Misschien is dat zelfs een gezonder benadering dan die van de bookmakers: daar worden kansen door vraag en aanbod bepaald, en het zou kunnen dat Italië daar favoriet is omdat de Italianen aan zelfoverschatting leiden én veel meer van gokken houden dan de Nederlanders. Zoiets drijft de “kans” op. Er is dus een goede kans dat Nederland meer kans maakt dan de bookmakers zeggen, dus dan de beste schatting van de kans die voorhanden is. Zo bezien kan het haast niet meer misgaan.

Het kan helpen om te constateren dat een kans van ¾ in de vier afvalwedstrijden slechts resulteert in een kans van 1/3 (81/256) om kampioen te worden. 5/6*4/5*3/4*2/3*1/2 = 1/6 Na voorronden 1/5 na achtste finales 1/4 Na kwart finales 1/3 Na halve finales 1/2 Italie: Nederland: Engeland: Brazilie: Duitsland: Roemenie: Argentinie: Rusland: Zweden: Outsider

1/4 1/6 1/8 1/8 1/8 1/12 1/12 1/24 1/24

6 4 3 3 3 2 2 1 1 2