Droites parallèles, perpendiculaires (d1) ⊥ (d2)

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Géométrie
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Mathématiques pour la classe de Sixième



2

Chapitre 5

Deux constructions importantes

Pour les deux constructions qui vont suivre, nous allons utiliser une règle et une équerre.

Droites parallèles, perpendiculaires Rémi CHEVAL − 31 décembre 2014 www.podcast-science.com

Les deux côtés de l’équerre

Table des matières 1 Les droites remarquables

1

2 Deux constructions importantes 2.1 Construire (d′ ) la droite perpendiculaire à (d) passant par le point A . . . . . . . . 2.2 Construire (d′ ) la droite parallèle à (d) passant par le point A . . . . . . . . . . . .

1 1 1

3 Vers l’utilisation de trois propriétés 3.1 J’ai deux paires de droites perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 J’ai deux paires de droites parallèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 J’ai une paire de parallèles et une paire de perpendiculaires . . . . . . . . . . . . . .

1 2 2 2

4 Propriété d’équidistance de la médiatrice

2

1

2.1

Construire (d′ ) la droite perpendiculaire à (d) passant par le point A

(d′ ) Étape 1 : Je place l’un des deux côtés de mon équerre contre la droite (d).



Si je déplace mon équerre le long de la droite (d), le deuxième côté de mon équerre me permet de tracer les droites perpendiculaires à (d).



Étape 2 : Je trace celle qui passe par A.

A× 2 1

Les droites remarquables

(d) 2.2

Construire (d ) la droite parallèle à (d) passant par le point A ′

Droites parallèles :

Droites sécantes : (d2 )



M

(d1 )

(d1 )

// (d2 )

(d2 )

(d1 ) ● (d1 ) et (d2 ) se coupent en M .

● (d1 ) et (d2 ) sont parallèles.

● M est leur seul point d’intersection.

● Elles ne se couperont jamais.



Étape 1 : Je place l’un des deux côtés de mon équerre contre la droite (d).



Étape 2 : Je place ma règle contre le deuxième côté de l’équerre.



Si je déplace mon équerre le long de la règle, le premier côté de mon équerre me permet de tracer les droites parallèles à (d).



Étape 3 : Je trace celle qui passe par A.

3 2

×

A (d′ )

LES DROITES REMARQUABLES

1 (d)

Droites perpendiculaires :

A

(d2 )

⊥ (d2 )

● (d1 ) et (d2 ) sont perpendiculaires en A ● Elles forment des angles droits.

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M

∣∣

A

(d)

∣∣

(d1 )

(d1 )

Médiatrice d’un segment :

B ● (d) est la médiatrice de [AB] ● (d) est la droite qui coupe (AB) perpendiculairement en le milieu de [AB].

Quelques conseils d’utilisation : ● Avant de vouloir tracer une parallèle (ou une perpendiculaire), il faut identifier deux choses : ● À quelle droite dois-je construire une parallèle (ou une perpendiculaire) ? ● Par quel point doit passer la droite que je souhaite construire ? ● À ce moment là, vous devriez normalement réussir à avoir une idée de l’emplacement de la droite que vous souhaitez construire. Ne faites jamais une construction à l’aveugle. Ayez toujours une idée du résultat avant de vous lancer dans la construction.

Page 1/3

Sixième - Chapitre 5 - Droites parallèles, perpendiculaires.

3

Vers l’utilisation de trois propriétés

3.3

Dans cette nouvelle partie, nous allons découvrir comment utiliser des propriétés mathématiques pour, à partir de données d’un énoncé, produire une conclusion.

3.1

J’ai deux paires de droites perpendiculaires

Situation 3 : −

Commence par tracer une droite (d).



Ensuite trace deux droites (d1 ) et (d2 ) perpendiculaires à (d).

Ensuite trace une droite (d) perpendiculaire à (d1 ).



On constate que les droites (d) et (d2 ) semblent perpendiculaires.

(d1 ) // (d2 ) (d) ⊥ (d1 )

(d2 )

Propriété 1.

(d2 )

Si deux droites sont parallèles et qu’une troisième droite est perpendiculaire à l’une,

⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

alors cette 3e est aussi perpendiculaire à l’autre.

Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite,

alors ces deux droites sont parallèles.

Informations à vérifier

Données

Informations produites

(d1 ) // (d2 )

Conclusion

Situation 2 : Commence par tracer une droite (d).



Ensuite trace deux droites (d1 ) et (d2 ) parallèles à (d).

(d1 )

Propriété d’équidistance de la médiatrice

Nous allons discuter dans cette dernière section de la propriété d’équidistance de la médiatrice. Voilà, le terme technique est dit et on va faire en sorte qu’il ne nous traumatise pas trop longtemps.

(d) (d2 )

Théorème (Médiatrice et équidistance). La médiatrice d’un segment [AB] est composée de tous les points qui sont à la même distance de A et de B.

Propriété 2. ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪ ⎭

Si deux droites sont parallèles à une même droite,

alors ces deux droites sont parallèles.

Conclusion

● La question principale est de savoir quelle propriété choisir en fonction de votre situation. En réalité, et vous allez vous en rendre compte rapidement, le choix est simple. ● Si votre objectif est de démontrer que deux droites sont parallèles et bien, votre choix ne peut se tourner que vers les propriétés 1 et 2. À l’inverse, si vous souhaitez des droites perpendiculaires, vous êtes obligés de vous tourner vers vers la propriété 3. ● Enfin pour choisir entre les propriétés 1 et 2, regardez les données que vous proposent votre énoncé. On parle de droites perpendiculaires Ð→ c’est la propriété 1. On parle de droites parallèles Ð→ c’est la propriété 2.

4

On constate que les droites (d1 ) et (d2 ) semblent parallèles.

Informations produites

Quelques conseils d’utilisation :

J’ai deux paires de droites parallèles



Informations à vérifier

Données

´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶

(d1 ) // (d) (d2 ) // (d)

(d) ⊥ (d2 )

´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¸ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¶´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶

⎫ ⎪ (d1 ) ⊥ (d) ⎪ ⎪ ⎬ ⎪ (d2 ) ⊥ (d) ⎪ ⎪ ⎭



(d1 )

Propriété 3.

(d1 )

3.2

(d)

(d)

On constate que les droites (d1 ) et (d2 ) semblent parallèles.



Commence par tracer deux droites (d1 ) et (d2 ) parallèles.



Situation 1 : −

J’ai une paire de parallèles et une paire de perpendiculaires

(d1 ) // (d2 )

AM = BM AO = BO

; ;

AN AP

= BN = BP

M N A

∣∣

∣∣

B

O

´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶´¹¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹¸¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¹ ¶

Données

Informations à vérifier

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Informations produites

Conclusion

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P

Sixième - Chapitre 5 - Droites parallèles, perpendiculaires.

Démonstration de cette propriété d’équidistance (hors-programme)







Définition (Deux triangles superposables). On dit que deux triangles ABC et A B C sont superposables si on peut superposer leurs représentations géométriques (vous découpez les deux triangles et vous essayez de les superposer). C

C c

A

{

BC = B ′ C ′ b = b′

P ● Données : M A = M B ; M P = M P

● Or la Condition 2 est vérifiée puisque nous avons une égalité d’angles et deux égalités de longueurs.

● Si vous avez

AB = A B ,



AC = A C



et



BC = B C

∣∣

∣∣ M

B

● Donc AP = BP

; MP = MP

̂ ̂ ; AM P = BM P = 90○

∣∣

∣∣ A

M

B

● Donc AM = BM et donc P est sur la médiatrice de [AB]

Extrait du programme officiel Connaissances

Capacités

Notions de parallèle, de perpendiculaire

– Tracer, par un point donné, la perpendiculaire ou la parallèle à une droite donnée.

Commentaires



C

● Alors vos triangles ABC et A′ B ′ C ′ sont superposables. cm

4

cm

3

● Vous en avez surement pas conscience mais vous utilisez très souvent cette condition. En effet quand on vous demande de tracer un triangle dont vous connaissez les longueurs et bien, toute le monde tracera des triangles superposables. ● Cette condition explique que les triangles ne sont pas déformables à l’inverse d’un losange que l’on peut transformer en carré sans toucher à la longueur des côtés.

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A

● Donc les triangles AM P et BM P sont superposables.

Condition 1 (Il suffit d’avoir trois égalités de longueurs). ′

̂ ̂ ; AM P = BM P = 90○

● Donc les triangles AM P et BM P sont superposables.

Le cœur de la notion des triangles superposables se situe dans les conditions qu’il suffit d’avoir pour affirmer que deux triangles sont superposables.



cm

1] Tous les points sur la médiatrice de [AB] sont à égale distance de A et de B.

● Or la Condition 2 est vérifiée puisque nous avons une égalité d’angles et deux égalités de longueurs.

AC = A′ C ′ c = c′

; ;

C

● Données : AP = BP

B′

A′ Dans ce cas, nous avons les informations suivantes : ; ;

B

5 cm

P

b′

B

AB = A′ B ′ a = a′

○ ○

2] Tous les points à égale distance de A et de B sont sur la médiatrice de [AB].

a′

b

A



c′

a

● Dans un triangle, si vous connaissez la mesure d’angle et la longueur des deux côtés adjacents à cet angle, et bien, il ne vous reste plus beaucoup de liberté pour tracer votre triangle (voir la figure à droite).

cm

Sommaire : ● Définir la notion de triangles superposables. ● Présenter deux conditions pour affirmer que deux triangles sont superposables. ● Démontrer que la médiatrice de [AB] est formée de points à égale distance de A et de B. ● Démontrer que les points à égale distance de A et de B sont sur la médiatrice de [AB].

● Alors vos triangles ABC et A′ B ′ C ′ sont superposables.

3

Je vous annonce maintenant que nous partons à la recherche d’explications mathématiques de cette propriété. Comment expliquer que cette impression est bien réelle ? Comment faire la différence entre une fausse impression et une vérité ?

Condition 2 (Il suffit d’avoir une égalité d’angles et deux égalités de longueurs). C ′ A′ C ′ ̂ = B̂ ● Si vous avez AB = A′ B ′ , AC = A′ C ′ et BAC 3

J’imagine que les plus curieux d’entre vous seront intéressés par des explications supplémentaires concernant cette propriété un peu surprenante. En effet, on peut déjà se poser la question du pourquoi les points qui sont à égale distance de A et de B forment une droite. Et puis ensuite on se pose la question du pourquoi cette droite est la médiatrice.

A

– Utiliser différentes méthodes. 5 cm

B Médiatrice d’un segment

C

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– Il est seulement attendu des élèves qu’ils sachent utiliser en situation ces notions, notamment pour la reconnaissance de deux droites parallèles ou pour leur tracé.

– *Connaître et utiliser la définition de la médiatrice ainsi que la caractérisation de ses points par la propriété d’équidistance.

Sixième - Chapitre 5 - Droites parallèles, perpendiculaires.

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