DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE I) Médiatrices

DROITES REMARQUABLES DANS UN TRIANGLE I) Médiatrices des côtés d’un triangle 1) Propriétés Si un point est sur la médiatrice d’un segment alors il est équidistant des extrémités de ce segment. Si un point est équidistant des extrémités d’un segment alors il est sur la médiatrice de ce segment. Si une droite est perpendiculaire à un segment et passe par son milieu alors c’est la médiatrice de ce segment. Si une droite est la médiatrice d’un segment alors elle est perpendiculaire à ce segment et passe par son milieu.

2) Propriétés et définition Dans un triangle, les médiatrices sont concourantes en un même point. Ce point est le centre du cercle qui passe par les trois sommets du triangle. Ce cercle est appelé cercle circonscrit au triangle. Démonstration : voir activité B’

B

C’

O

O

A

A’ C

Dans les deux cas : OA = OB = OC et OA’ = OB’ = OC’ Remarque : Pour obtenir le centre du cercle circonscrit, le tracé de deux médiatrices suffit. II) Hauteurs d’un triangle 1) Définition Dans un triangle, une hauteur est un segment qui passe par un sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet. A’ A

B C

C’ B’

On parle de hauteur issue de A ou hauteur relative au coté [BC] et de hauteur issue de A’ ou hauteur relative au coté [B’C’]. Il s’agit de deux façons différentes de désigner la même hauteur ! 2) Propriétés et définition Les supports des trois hauteurs d’un triangle sont concourants en un point. Ce point de concours est appelé l’orthocentre du triangle. Démonstration : voir activité A’

A

H

B’

B C’

H C III) Médianes d’un triangle 1) Définition A une médiane est un segment joignant un sommet au milieu du côté opposé à ce sommet. Dans un triangle,

B

I

C

Tracer un triangle ABC, placer I le milieu de [BC], [AI] est la médiane issue de A ou relative à [BC]. 2) Propriétés et définition Les trois médianes d’un triangle sont concourantes en un point. Ce point de concours est appelé le centre de gravité du triangle (en posant une pointe sous ce point, on se rend compte que celui-ci est en équilibre) Démonstration Si G est le centre de gravité d’un triangle ABC, alors G est situé aux deux tiers de chaque médiane [AA’], [BB’] et [CC’] à partir du sommet Si sur une médiane [AA’] d’un triangle ABC, le point G est tel que AG=2/3 AA’, alors G est le centre de gravité de ABC

A AG = 2/3 AA’

C' B'

G

B

BG = 2/3 BB’

A' C

CG = 2/3 CC’ Démonstration IV) Bissectrices des angles d’un triangle 1) Définition La bissectrice d’un angle est même mesure.

la demi-droite qui partage l’angle en deux angles adjacents de

2) Propriétés et définition Les trois bissectrices d’un triangle sont concourantes en un point. Ce point de concours est le centre du cercle inscrit dans le triangle.

V) Cas particuliers 1) Dans un triangle rectangle Dans un triangle rectangle, les hauteurs issues des « sommets des angles aigus » sont confondues avec les côtés de l’angle droit. Dans un triangle rectangle, les trois médiatrices sont concourantes en un point qui est le milieu de l’hypoténuse.

2) Dans un triangle isocèle Dans un triangle isocèle, les quatre droites remarquables issues du sommet principal sont confondues (c’est l’axe de symétrie du triangle isocèle).

3) Dans un triangle équilatéral Dans un triangle équilatéral, les quatre droites remarquables issues de chaque sommet sont confondues (ce sont les trois axes de symétrie du triangle équilatéral).

PROPRIETES DE FIGURES FORMEES PAR TROIS DROITES I) Parallélisme

1) Propriété de parallélisme Si deux droites sont parallèles à une même troisième (droite) alors ces deux droites sont parallèles entre elles. (d1) Exemple : (d2) On sait que : (d1) // (d2) (d3) // (d2) (d3) puisque les droites (d1) et (d3) sont parallèles à (d2), alors d’après la propriété précédente, (d1) et (d3) sont parallèles entre elles. 2) Autre propriété de parallélisme Si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième (droite) alors ces deux droites sont parallèles entre elles. (d1) Exemple : (d2) On sait que : (d2)  (d1) (d3)  (d1) (d3)

puisque les droites (d2) et (d3) sont perpendiculaires à (d1), alors d’après la propriété précédente, (d2) et (d3) sont parallèles entre elles.

II) Perpendicularité 1) Propriété de perpendicularité Si deux droites sont parallèles et si une troisième droite est perpendiculaire à l’une alors elle est aussi perpendiculaire à l’autre. (d3) Exemple : On sait que : (d1) // (d2) (d3)  (d1) (d1) (d2) puisque les droites (d1) et (d2) sont parallèles, alors d’après lapropriété précédente, la droite (d3) qui est perpendiculaire à (d1) est aussi perpendiculaire à (d2).