DS n 1-TS2-sujet A Ex n 1 On considère la suite (vn) définie par v 0

DS n◦ 1-TS2-sujet A

Ex n◦ 1 On considère la suite (vn ) définie par v0 = 6 et la relation de récurrence vn+1 = 1, 4vn − 0, 05vn2 1. Calculer v1 et v2 à l’aide de la calculatrice 2. Soit f la fonction définie sur R par f (x) = 1, 4x − 0, 05x2 . Etudier les variations de f sur [0; 8] 3. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : 0 6 vn 6 vn+1 6 8 4. Quelles propriétés mathématiques de la suite (vn ) a-t-on prouvé ? Ex N◦ 2 On admet que, dans un magasin de cadenas : •

80 % des cadenas proposés à la vente sont premier prix, les autres haut de gamme ; • 3 % des cadenas haut de gamme sont défectueux ; • 7 % des cadenas sont défectueux. On prélève au hasard un cadenas dans le magasin. On note : • • •

p la probabilité qu’un cadenas premier prix soit défectueux ; H l’évènement : « le cadenas prélevé est haut de gamme » ; D l’évènement : « le cadenas prélevé est défectueux ».

1. Représenter la situation à l’ aide d’un arbre pondéré. 2. Exprimer en fonction de p la probabilité P (D). En déduire la valeur de p. 3. Le cadenas prélevé est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un cadenas haut de gamme. Ex N◦ 3 1 Soit la suite (sn ) définie soit par la formule de récurrence : sn = sn−1 + n avec s0 = 1, 2 1 1 1 soit par la formule (close) sn = 1 + + 2 + ..... + n 2 2 2 1 1 1 1. Simplifier sn = 1 + + 2 + ..... + n 2 2 2 2. Vers quoi tend sn lorsque n → +∞ 3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0 telle que pour tout n > n0 on a 1, 99 6 sn 4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0

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Ex N◦ 4(*) On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn−1 (*) √ Fn+1 1+ 5 et on note qn = pour n > 1 On rappelle que φ = 2 Fn 1 1. Montrer que pour tout n > 1 on a qn = 1 + (sans récurrence en travaillant qn−1 la relation (*)) 1 2. Montrer que φ = 1 + φ (−1)n 3. Montrer par récurrence que qn − φ = pour tout n > 1 Fn φn 4. En déduire que si n → +∞ alors qn → φ Ex N◦ 5(*) On rappelle la définition de la suite de Fibonnacci F0 = 0, F1 = 1 et Fn+1 = Fn + Fn−1 Voici quelques termes : 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 ... 1. Expérimenter sur les premiers termes et chercher une formule pour : k=n P Fk =? (a) k=0

(b)

k=2n+1 P

Fk =? (k impair)

k=1

(c)

k=2n P

Fk =? (k pair)

k=0

(d)

k=n P

Fk2 =?

k=0

2. Proposer votre propre expérience 3. Preuves ?

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DS n◦ 1-TS2-sujet B

Ex n◦ 1 On considère la suite (wn ) définie par w0 = 5 et la relation de récurrence wn+1 =

4wn − 1 wn + 2

1. Calculer w1 et w2 à l’aide de la calculatrice 2. Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : 4x − 1 9 f (x) = . Vérifier que f (x) = 4 − . x+2 x+2 3. Etudier les variations de f sur [0; +∞[ 4. Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n : wn > wn+1 > 1 5. Quelles propriétés mathématiques de la suite (wn ) a-t-on prouvé ? Ex n◦ 2 Un grossiste achète des boîtes de thé vert chez deux fournisseurs. Il achète 80 % de ses boîtes chez le fournisseur A et 20 % chez le fournisseur B. 10 % des boîtes provenant du fournisseur A présentent des traces de pesticides et 20 % de celles provenant du fournisseur B présentent aussi des traces de pesticides. On prélève au hasard une boîte du stock du grossiste et on considère les évènements suivants : — évènement A : « la boîte provient du fournisseur A » ; — évènement B : « la boîte provient du fournisseur B » ; — évènement S : « la boîte présente des traces de pesticides ». 1. Traduire l’ énoncé sous forme d’un arbre pondéré. 2. (a) Quelle est la probabilité de l’ évènement B ∩ S ? (b) Justifier que la probabilité que la boîte prélevée ne présente aucune trace de pesticides est égale à 0, 88. 3. On constate que la boîte prélevée présente des traces de pesticides. Quelle est la probabilité que cette boîte provienne du fournisseur B ? Ex N◦ 3 1 Soit la suite (sn ) définie soit par la formule de récurrence : sn = sn−1 + n avec s0 = 1, 5 1 1 1 soit par la formule (close) sn = 1 + + 2 + ..... + n 5 5 5 1 1 1 1. Simplifier sn = 1 + + 2 + ..... + n 5 5 5 2. Vers quoi tend sn lorsque n → +∞ 3. A l’aide du tableur de la calculatrice trouver la valeur de n0 telle que pour tout n > n0 on a 1, 24 6 sn 4. Proposer un algorithme qui permet d’obtenir n0 3