e +1 si x - Bankexam

Final

MT 19 P 2011

Aleth Chevalley

Calculatrice et fiches autorisées

 1x e +1 si x < 0  Exercice 1 : (6 points) Soit f la fonction définie sur ℝ par f ( x ) = a si x = 0   x+1 si x > 0

avec a ∈ ℝ

a) Quelle valeur de a faut-il choisir pour que la fonction soit continue sur R ? b) La fonction f est-elle dérivable en 0 ?

Exercice 2 : (6 points) En utilisant l’inégalité des accroissements finis, démontrer l’inégalité suivante :

1 3  arcsin(1/2) – arcsin(0)  2 3 Exercice 3 : (8 points) Etude de la fonction suivante : f: x

 2x  ֏ arctan  +x 2   1− x 

a) b) c) d) e)

Déterminer le domaine de définition de f Etudier les variations de f. Représenter le tableau de variation en indiquant les limites de f aux points particuliers ? Déterminer le point d’inflexion et préciser la pente de la tangente en ce point. Calculer les limites de f ’(x) à gauche et à droite en 1. Que représentent ces limites ?

f)

(Indépendante) branche infinie - Quand x tend vers l’infini, grâce aux développements limités, déterminer l’équation de l’asymptote et préciser la position de la courbe par rapport à cette asymptote.

Exercice 4 : (6 points) En utilisant les développements limités, calculer

1 − cos x − ln(chx) x →0 x4

lim

Exercice 5 : (6 points) Une course de lévriers est organisée à Meulan (78). Il y a dix lévriers au départ. Chaque lévrier a un nom. a) Calculer le nombre de tiercés gagnants dans l’ordre (trouver le nom et l’ordre d’arrivée des 3 premiers lévriers) b) Calculer le nombre de tiercé gagnants dans le désordre (trouver les noms des 3 premiers lévriers) c) Calculer le nombre de possibilités de classer les dix lévriers Trois races étaient représentées dans cette course : trois lévriers Afghan (A), deux Magyar Agar (M) et le reste de race Irish Wolfhound (W). Une personne veut acheter au hasard 3 lévriers. d) Calculer le nombre de possibilités d’acheter un lévrier de chaque race e) Calculer le nombre de possibilités d’acheter un seul lévrier afghan f)

Calculer le nombre de possibilités d’acheter au moins un lévrier Magyar Agar.

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Final (suite)

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Aleth Chevalley

Exercice 6 : (8 points) Une usine fabrique des pièces dont 1,8 % sont mauvaises. Le contrôle des pièces s’effectue selon les probabilités conditionnelles suivantes : - on accepte la pièce au contrôle sachant qu’elle est bonne avec une probabilité de 0,97 - on refuse la pièce au contrôle sachant qu’elle est mauvaise avec une probabilité de 0,99. On prélève une pièce au hasard dans la production d’une journée et on note B : l’évènement « la pièce choisie est bonne » M : l’évènement « la pièce choisie est mauvaise » A : l’évènement « la pièce est acceptée au contrôle » R : l’évènement « la pièce est refusée au contrôle » a) Quelle est la probabilité qu’une pièce soit mauvaise ? b) Calculer la probabilité qu’une pièce soit mauvaise et acceptée au contrôle ? c) Calculer la probabilité qu’une pièce soit bonne et refusée au contrôle ? -4

d) Montrer que la probabilité qu’il y ait une erreur dans le contrôle est de 296,4.10 ? e) On contrôle 5 pièces de façon indépendante. On note X la variable aléatoire qui à chaque lot de 5 pièces contrôlées, associe le nombre d’erreurs de contrôle. I. Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. -3

II. Déterminer la probabilité qu’il y ait exactement 2 erreurs de contrôle (valeur approchée à 10 ).