ECS 2 Vecteurs aléatoires discrets B B ] [1,0 ] [1,0

January 10, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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ECS 2

Vecteurs aléatoires discrets

I Pour s’approprier le cours 1-

X et Y sont deux variables indépendantes, de lois respectives Quelle est la probabilité que X = Y ?

2-

X et Y sont deux variables indépendantes de même loi :

B(3;0,25) et B(5;0,5) 1 2 Valeurs : 0  Proba : 1 / 6 1 / 3 1 / 2

Soient S = X+Y et P = XY. Donner la loi du couple(S, P) ; en déduire les lois de S et P. Sont-elles indépendantes ? 3-

X, Y, Z sont des variables mutuellement indépendantes, de loi uniforme sur {1, 2,..., n}. Donner les probabilités des événements X+Y = Z, X+Y+Z = n+1, X+Y = 2Z. On jette une pièce fournissant pile avec la probabilité p  0,1 . On appelle X le nombre de jets consécutifs fournissant le même résultat que le 1er jet, et Y le nombre de jets consécutifs fournissant le même résultat que le (X+1)e jet.

4-

Par exemple, si l’on obtient (pile, pile, face, face, face, pile,...), alors X =2 et Y = 3. Fournir : - la loi de X et son espérance. - la loi du couple (X, Y). - la loi de Y et son espérance. 5-

Soient X et Y deux variables de Poisson indépendantes. Déterminer la loi conditionnelle de Y sachant X+Y=n.

6-

X et Y sont deux variables indépendantes à valeurs dans N telles que :

où p  0,1 et q  1  p . n  N P( X  n)  P(Y  n)  pq n On pose M = min(X, Y) et D = X-Y. Fournir la loi du couple (M, D) ; en déduire les lois de M et D. M et D sont-elles indépendantes ? 2

7-

Soit (X, Y ) un couple de variables aléatoires réelles à valeurs dans IN , de loi conjointe :  (j, k)  IN , P(X = j, Y = k) = 2

a. Déterminer . b. X et Y sont-elles indépendantes ? X+Y c. Calculer l’espérance de la variable 2 . 8-

On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.

)

Soit Xn = a. b. c. d. e. 9-

Pour m  IN*, on note Sm = Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ? En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques. Calculer E(Sm). Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ? On lance n pièces qui fournissent pile avec une probabilité p, puis on relance les pièces qui ont fourni pile. On note X le nombre de piles obtenus lors des n premiers lancers, et Y le nombre de piles obtenus lors des lancers suivants. Donner la loi conditionnelle de Y sachant X=k et en déduire la loi de Y.

II Pour aller plus loin 10-

Une urne contient n boules numérotées de 1 à n. On tire trois boules successivement et sans remise. ème On note Xk le numéro de la k boule tirée. La loi conjointe de ( X1,X2, X3 ) a été étudiée en cours. On pose : M = Max ( X1 , X2 , X3 ) et N = Min ( X1 , X2 , X3 )

a. b. c. d. 11-

Donner la loi conjointe de ( X1 , X2 , X3) Donner la loi de M et de N. Expliciter la matrice des variances-covariances de ( X1 , X2 , X3 , M , N ) En déduire V( X1 + 2 X2 + 3 X3 – M – N ) Soient X, Y deux variables aléatoires à valeurs dans N telles que : i, j

P( X  i et Y  j ) 

a b i j

.

- Quelle condition doivent vérifier a et b ? - X et Y sont-elles indépendantes ? - Pour quelles valeurs du réel s la variable Z  s X a-t-elle une espérance ? 12-

Le nombre de personnes N se présentant à un bureau de poste suit une loi de Poisson de paramètre . Une personne vient avec une probabilité p pour poster un envoi, et une probabilité q = 1 − p pour une autre opération (0 < p < 1). On suppose que chaque personne n’effectue qu’une opération, et qu’elles font ces opérations indépendamment les unes des autres. On note X le nombre de personnes venant poster une lettre, et Y le nombre de personnes venant pour une autre opération. a. Quelle est la loi de X sachant N = j ? b. Déterminer la loi conjointe du couple (X,N). c. En déduire la loi de X. Donner sans calcul les valeurs de E(X) et V (X). d. Montrer que X et Y sont indépendantes e. En utilisant la relation N = X + Y , calculer cov(X,N). Commenter le signe. f. Calculer le coefficient de corrélation X,N. N peut-elle être une fonction affine de Y ?

13-

Soit Xn une suite de variables aléatoires indépendantes, chacune prenant les valeurs 1 et 0 avec les probabilités p  0,1 et q  1  p . Soit, pour n  1, Yn = Xn-1Xn. a- Fournir la loi de Yn, son espérance et sa variance. b- Pour i < j, les variables Yi et Yj sont-elles indépendantes ? Si non, calculer la covariance de Yi et Yj . Calculer la variance de Y1+…+Yn c- Quel renseignement l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev fournit-elle sur la variable Y  Y2  ... Yn ? Zn  1 n d- La loi faible des grands nombres s’applique-t-elle à la suite de variables Z n ? Son résultat est-il néanmoins vérifié ?

14a. b. c. d. 15-

Soient X et Y deux variables aléatoires réelles à valeurs dans {0, 1}, dont la loi conjointe est : P([X = 0]  [Y = 0]) = , P([ X=0 ]  [ Y=1 ]) = , P( [X=1]  [Y=0]) = - p, P( [X=1]  [Y=1]) = p Quelles sont les conditions que doit vérifier p pour que ces égalités définissent une loi conjointe ? Reconnaître alors les lois de X et Y Calculer cov(X, Y ), et le coefficient de corrélation. Comment choisir p pour que X et Y soient indépendantes ? On considère une urne contenant b boules blanches et n boules noires. ( On pourra noter : p = Quand on tire une boule, on la remet dans l'urne avec c autres de la même couleur.

)

Soit Xn = b. b. c. d. e. 16-

a. b.

Pour m  IN*, on note Sm = Donner les lois de probabilités de X1 et de X2. Comparer ces deux lois. Quelle est la loi de Xm sachant que Sm-1 = k ? En déduire par récurrence que la loi de Xm et la loi de X1 sont identiques. Calculer E(Sm). Quel est le nombre moyen de boules noires restant dans l'urne après le m-ième tirage ? Une urne contient 20 boules : il y a 20% de boules rouges, 30% de noires et 50% de blanches. On effectue des tirages successifs avec remise de 8 boules dans cette urne. X désigne le nombre de boules rouges, Y le nombre de noires, et Z le nombre de blanches. Définir la loi du triplet (X; Y;Z) . Indiquer les lois suivies par les variables aléatoires X, Y , Z, X + Y , X + Z, et Y + Z, en déduire les valeurs des espérances : E(X), E(Y ), E(Z). Combien vaut la variance V(X + Y + Z) ?

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