El tío Petros y la conjetura de Goldbach; Apostolos Doxiadis

January 9, 2018 | Author: Anonymous | Category: Trabajos y Tareas, Matemáticas
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• Lista de nombres mencionados en la novela y breve biografía : • DAVID HILBERT: (1862−1943) Matemático alemán. Se le debe la formulación de la noción de cuerpo y creación de al teoría de los cuerpos para los números algebraicos. Desarrolló los fundamentales de la llamada teoría de invariantes y estableció las bases de la teoría de prototipo de polinomios. Sus fundamentales de geometría (1899) están considerados el punto de partido de la axiomatización de varias ramas de las matemáticas. ◊ BERTRAND RUSSELL: (1872−1970) Filósofo, matemático y sociólogo ingles. Creador el logicismo y de la llamada teoría de los tipos, además de sus aportaciones fundamentales a la filosofía del conocimiento, destacan sus contribuciones en los campos de la matemática, la filosofía de la ciencia, la teoría del conocimiento, etc. − VON NEUMAN: (1903−1957) Matemático estadounidense de origen húngaro. Fundamentalmente se el deben contribuciones muy notables a la teoría de conjuntos, a la teoría de juegos y al desarrollo de maquinas de calcular electrónicas. − ZENÓN: (490 a.c.− 430 a.c.) Principal discípulo de Parménides, cuyo pensamiento defendió mediante sus famosas aporías (paradojas), con las cuales reducía al absurdo las tesis que pretendía demostrar. Por ello Aristóteles le consideró el creador de la dialéctica. − GOTTLOB FREGE: (1848−1925) Filosofo, lógico y matemático alemán. Considerado el fundador de la lógica moderna o matemática, cuyos trabajos tuvieron una notable influencia en pensadores como Carnal, Husserl, Russell y Wittgenstein. − GIUSEPE PEANO: (1858−1932) Lógica y matemático italiano. Además de la exposición rigurosamente deductiva de diversos campos de las matemáticas, creó un sistema de símbolos para la descripción y enunciado de las proposiciones lógicas y matemáticas sin necesidad de recurrir al lenguaje ordinario. − EUCLIDES (300 a.c.) Matemático griego fundador de la escuela de Alejandría. Además de sus aportaciones a otros campos del saber como la óptica, su principal obre fue la llamada Elementos, considerada la obra de geometría por excelencia, y que contiene el famoso postulado que lleve su nombre. − LEONARD EULER: (1707−1783)

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Matemático suizo. Fue el mas famoso de la familia de matemáticos a al que perteneció. Entre sus obras destacan su Tratado completo de mecánica (aplicación del análisis matemático al movimiento), su Teoría del movimiento de los planetas y cometas y, sobre todo, su Introducción al análisis de infinitésimos (1748) y sus Instituciones de calculo integral (1755), consideradas clásicas.

◊ KURT GÖDEL: (1906−1978) Lógico estadounidense de origen austriaco. En su tesis, relativa a los fundamentos lógico matemáticos, estableció la completitud del llamado calculo de predicados. Sin embargo, goza de fama mundial por la formulación de sus dos teoremas de incompletitud, que afirman que no puede demostrarse la completitud de una teoría matemática utilizando únicamente procedimientos formalizables en el seno de dicho sistema. ◊ GEOGE BOOLE: (1815−1864) Lógico y matemático británico. Se le debe la introducción del calculo algebraico en el campo de la lógica, es decir, el algebra de la lógica y el calculo de clases conocido como algebra de Boole de las clases. ◊ GEORGE CANTOR: (1854−1918) Matemático alemán de origen ruso. Se le considera el creador de la llamada teoría de conjuntos y de la teoría de los números transfinitos. Su obra impulsó una revisión en profundidad de los fundamentos de las matemáticas. • PARADOJA DE RUSSELL: ¿Existe un conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos? Los conjuntos parecen ser de dos tipos: los que se contienen a sí mismos como miembros y los que no. Un ejemplo de los primeros sería el conjunto de las cosas pensables, pues a su vez es una cosa pensable. Un ejemplo de los segundos sería el conjunto de los matemáticos, pues el conjunto en sí no es un matemático y, por tanto, no pertenece al conjunto como miembro. Consideremos ahora el conjunto todos los conjuntos que no se contiene a sí mismos como miembro. Llamémosle T. ¿está T contenido en sí mismo como miembro? Si lo está, por definición no se contiene a sí mismo, luego no lo está. Pero si no lo está, por definición, debe estar. • Lista de problemas matemáticos no resueltos presentados por David Hilbert: Los problemas de Hilbert son una lista de 23 problemas matemáticos compilados por el matemático alemán David Hilbert para la conferencia en París del Congreso Internacional de Matemáticos de 1900. Los problemas estaban todos por resolver en aquel momento, y varios resultaron ser muy influyentes en la matemática del siglo XX. Hilbert presentó diez de los problemas (1, 2, 6, 7, 8, 13, 16, 19, 21 y 22) en la conferencia, en un acto el 8 de agosto en La Sorbona. La lista completa se publicó más adelante. Problema Explicación breve La hipótesis del continuo (esto es, no existe conjunto cuyo tamaño esté 1er estrictamente entre el de los enteros y el de los números reales) 2º

Estado Se ha probado la imposibilidad de probarlo como cierto o falso mediante los axiomas de Zermelo−Fraenkel. No hay consenso al respecto de considerar esto como solución al problema.

2

Probar que los axiomas de la aritmética son consistentes (esto es, que la aritmética es un sistema formal que no supone una contradicción).

3er 4º 5º 6º 7º





10º

11º

12º

13º 14º 15º 16º 17º 18º

Parcialmente resuelto: hay quienes sostienen que se ha demostrado imposible de establecer en un sistema consistente, finitista y axiomático [2] Sin embargo, Gentzen probó en 1936 que la consistencia de la aritmética se deriva del buen fundamento del ordinal , un hecho sujeto a la intuición combinatoria.

¿Se puede probar que dos tetraedros Resuelto. Resultado: no, probado usando tienen igual volumen (bajo ciertas invariantes de Dehn asunciones)? Construir todas las métricas cuyas rectas sean geodésicas. ¿Son los grupos continuos grupos Resuelto por Andrew Gleason diferenciales de forma automática? Axiomatizar toda la física Sin resolver. No matemático ¿Es a b trascendental, siendo a " 0,1 Resuelto. Resultado: sí, ilustrado por el teorema algebraico y b irracional algebraico? de Gelfond o el teorema de Gelfond−Schneider La hipótesis de Riemann (la parte real de cualquier cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½) y la Abierto conjetura de Goldbach (cada número par mayor que 2 se puede escribir como la suma de dos números primos). Encontrar la ley más general del teorema de reciprocidad en cualquier Parcialmente resuelto cuerpo numérico algebraico Encontrar un algoritmo que determine Resuelto. Resultado: no, el teorema de si una ecuación diofántica polinómica Matiyasevich implica que no existe tal dada con coeficientes enteros tiene algoritmo. solución entera. Resolver las formas cuadráticas con Parcialmente resuelto coeficientes numéricos algebraicos. Extender el teorema de Kronecker sobre extensiones abelianas de los números Abierto racionales a cualquier cuerpo numérico de base. Resolver todas las ecuaciones de 7º grado usando funciones de dos Resuelto. Lo probó posible Vladimir Arnold. parámetros. Probar la finitud de ciertos sistemas Resuelto. Resultado: no, en general, debido a un completos de funciones. contraejemplo Fundamento riguroso del cálculo Parcialmente resuelto enumerativo de Schubert. Topología de las curvas y superficies Abierto algebraicas. Expresión de una función definida Resuelto. Resultado: se estableció un límite racional como cociente de sumas de superior para el número de términos cuadrados cuadrados necesarios Resuelto 3

19º 20º

21er

22º 23er

¿Existe un poliedro irregular y que construya otros poliedros? ¿Cual es el apilamiento compacto más denso? ¿Son siempre analíticas las soluciones de los Lagrangianos? ¿Tienen solución todos los problemas variacionales con ciertas condiciones de contorno? Probar la existencia de ecuaciones lineales diferenciales que tengan un grupo monodrómico prescrito Uniformización de las relaciones analíticas por medio de funciones automórficas Extensión de los métodos del cálculo de variaciones

Resuelto. Resuelto. Ha supuesto un área importante de investigación durante el siglo XX, culminando con las soluciones al caso no lineal. Resuelto. Resultado: sí o no, dependiendo de una formulación más exacta del problema Resuelto Resuelto

• C1: todo numero par se puede escribir como suma de dos números primos C2: Todo número entero puede expresarse como suma de tres números primos Demuestra que si se cumple C2 se cumplirá C1 Los números pares entran dentro de los números enteros por lo que si se haya la combinación de números primos que dan números enteros también se podrá aplicar a los números pares; aunque tenga distinto numero de sumandos, ya que supongo que la solución será desde la combinación en la suma de numero primo par + numero primo impar + numero primo impar = numero par o impar o algo parecido a esto. Y si en esta suma suprimimos un sumando nos dará una solución mediante la cual hallaríamos la solución de C1. B) Biografía de Christian Goldbach: Christian Goldbach nació en 1.690 en Konigsberg, Prusia (ahora Kaliningrado, Rusia), y murió en 1.764 en Moscú.

Fue profesor de matemáticas e historia en San Petersburgo. Viajó a lo largo de toda Europa y tuvo contacto con Leibniz, Nicolás Bernoulli, Daniel Bernoulli, De Moivre o Hermann, pero la mayor parte de sus trabajos los desarrolló en correspondencia con Euler. Goldbach trabajó en sumas infinitas, teoría de curvas y teoría de ecuaciones, pero sus mejores trabajos fueron en teoría de números, siendo conocido sobre todo por la famosa Conjetura de Goldbach. En una carta a su amigo Leonard Euler, Golbach hace la siguiente afirmación, aunque sin poder demostrarlo matemáticamente. "Todo número par mayor que dos es la suma de dos números primos" = 5+ 3 • − Segunda conjetura de Goldbach:

4

Todo número impar mayor que 5 puede escribirse como suma de tres primos − Hipótesis de Riemann: Todo número impar mayor que 5 se puede escribir como suma de tres primos. − Conjetura de Fermat sobre números primos: Fermat establece que para cualquier nº entero "a" y cualquier primo "p" existe un exponente más pequeño "d" tal que: Si "p" es divisor de

Y "d" es divisor de

5

Entonces "p" es divisor de

Por ejemplo, si a = 2 y p = 7, el teorema predice que 7 es un divisor de

, es decir, de 63. − Conjetura de Poincaré: Toda n−variedad compacta y simplemente conexa es homeomorfa a Sn − Hipótesis de Riemann: La parte real de todo cero no trivial de la función zeta de Riemann es ½ E) Noticia de la resolución de una famosa conjetura por dos chinos: Dos científicos chinos resuelven uno de los grandes enigmas de las matemáticas El matemático Henri Poincaré. Dos matemáticos chinos, Zhu Xiping y Cao Huaidong, resolvieron la Conjetura de Poincaré, un problema matemático enunciado en 1904 y que durante más de un siglo ha sido uno de los grandes 6

enigmas de las ciencias exactas, informó el lunes el periódico oficial Diario del Pueblo. El trabajo de los dos matemáticos fue publicado en la edición de junio del Asian Journal of Mathematics, revista estadounidense que informa sobre el desarrollo de esta ciencia en Asia, donde chinos e indios están considerados entre los mejores matemáticos del mundo. La resolución del problema apareció el lunes con un gran titular en letras rojas del "Diario del Pueblo", que considera este hallazgo como uno de los mayores de la ciencia china, aunque todavía queda que la comunidad matemática internacional reconozca el trabajo como válido y lo someta a años de prueba. Otras investigaciones En 2002, el científico ruso Grigori Perelman anunció que había encontrado la solución al enigma, aunque nunca ha publicado los resultados completos de sus investigaciones (sí se publicaron dos documentos preliminares en 2002 y 2003). Perelman se ha mostrado siempre reacio a participar en actos públicos y mostrar en ellos la solución al problema Perelman se ha mostrado siempre reacio a participar en actos públicos y mostrar en ellos la solución al problema, por lo que los dos científicos chinos han continuado sus pasos y aseguran haber completado la solución, ayudados también por las investigaciones del matemático estadounidense Richard Hamilton. Los nombres de Perelman (profesor del Instituto de Matemáticas Steklov de San Petersburgo) y Hamilton (de la Universidad de Columbia) aparecen en el título de la solución publicada por los matemáticos chinos, de 300 páginas. El profesor Zhu Zhu es profesor de matemáticas en la Universidad de Zhongshan, en la provincia de Cantón (sur de China), mientras que Cao trabaja en La Universidad Lehigh de Pensilvania (Estados Unidos). La estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso estableció las líneas generales Ante la posible polémica sobre si la solución real del enigma pertenece a Perelman o los científicos chinos, la estatal Academia China de Ciencias afirmó que el ruso "estableció las líneas generales para probar la conjetura, pero no dijo específicamente cómo resolver el enigma". Zhu y Cao trabajaron en la solución de la conjetura durante dos años, declaró el segundo de ellos en declaraciones a la agencia Xinhua. El profesor Yau Shing−Tung Yau, profesor de la Universidad de Harvard, dirigió las investigaciones de los dos matemáticos chinos, y ha anunciado que explicará el método de resolución del enigma en una conferencia internacional de matemáticos que se celebrará en Pekín este mes. El congreso madrileño invitó a Perelman para que explicara el desarrollo de su teoría, pero el ruso rechazó la invitación

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En agosto se celebrará en Madrid, la capital española, un Congreso Internacional de Matemáticos en el que la conjetura de Poincaré es uno de los temas centrales de discusión. El congreso madrileño invitó a Perelman para que explicara el desarrollo de su teoría, pero el ruso rechazó la invitación. Más de un siglo de enigma La conjetura fue enunciada por el matemático francés Henri Poincaré en 1904, uno de los iniciadores de la rama de las matemáticas llamada topología geométrica, que establece y mide las superficies del universo. La esfera tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios El enunciado de Poincaré, difícil de comprender para los no iniciados, intenta demostrar que la esfera tridimensional es el único espacio limitado de tres dimensiones sin orificios. Ni siquiera el propio Poincaré pudo demostrar este enunciado, por lo que, durante más de 100 años, ha sido "conjetura" y no ha podido alcanzar el nivel de "teorema", cosa que podría suceder si la comunidad matemática reconoce el trabajo de sus colegas chinos. La forma del cosmos La demostración de la Conjetura podría ayudar a comprender la forma del cosmos o a catalogar todas las formas tridimensionales del Universo. Es uno de los siete Problemas del Milenio establecidos por el Instituto Clay de Massachussetts (Estados Unidos), que ofrece un millón de dólares de premio a quien que sea capaz de resolverlos. Para poder optar al premio, es necesario que se publique el trabajo en una revista científica y se superen dos años de revisiones de la comunidad matemática, premisas que no se han cumplido en el caso de Perelman Todo numero par es suma de un numero primo mas un impar 2n = Np + (2n − 1) Np numero primo 2, 3, 5, 7, 11, 13,17, Todos los números primos, menos el dos, son impares, ya que todos los números acabados en dos (pares) son divisibles entre este y por lo tanto no son primos. TODO NÚMERO PAR ES IGUAL A LA SUMA DE: * 2 NUMEROS PARES * 2 NUMEROS IMPARES 4 = 2+2 / 1+3

8

6 = 3+3 / 4+2 / 5+1 8 = 4+4 / 6+2 / 5+3 / 7+1 Con la regla anterior demostramos el enunciado, ya que si todos los números primos (menos el 2) son IMPARES, la suma de dos números impares da un numero par. • griego inventor de una criba de un números naturales para obtener números primos: CRIBA DE ERATÓSTENES.

Eratóstenes nació en Cyrene (ahora Libia) el 276 a.C. Entre otras cosas fue astrónomo y matemático. Estudió en Alejandría y Atenas. Alrededor del año 255 a.C fue el tercer director de la Biblioteca de Alejandría... Trabajó con problemas matemáticos sobre números primos ideando un método para hallar números primos pequeños conocido como "CRIBA DE ERATÓSTENES". Una de sus principales contribuciones a la ciencia y a la astronomía fue la medición de la circunferencia de la Tierra. Eratóstenes al final de su vida fue afectado por la ceguera y murió de hambre por su propia voluntad en el año 194 a.C. en Alejandría. • Vamos a hallar los números primos menores que 100. Para ello haz en tu cuaderno una tabla como la siguiente en la que aparecen los números naturales desde el 2 hasta el 100 (el 1 no lo incluimos pues hemos dicho que no se considera primo ni compuesto).

Sigue los pasos siguientes: • El primer número que aparece sin tachar es el 2, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 2, todos los números de 2 en 2; éstos (4, 6, 8, 10, 12,...) no son primos pues son todos divisibles por 2. La tabla te debe haber quedado como sigue: • El siguiente número que aparece sin tachar es el 3, que es primo (rodéalo con una circunferencia en 9

rojo).Tacha, a partir del 3, todos los números de 3 en 3, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (3, 6, 9, 12, 15,...) no son primos pues son todos divisibles por 3. La tabla te debe haber quedado como sigue: • El siguiente número que aparece sin tachar es el 5, que es primo (rodéalo con una circunferencia en rojo). Tacha, a partir del 5, todos los números de 5 en 5, incluso los ya tachados anteriormente; éstos (5, 10, 15, 20, 25,...) no son primos pues son todos divisibles por 5. La tabla te debe haber quedado como sigue:

• Continúa este proceso mientras te sea posible seguir tachando números: El siguiente número que aparece sin tachar es el... Llegarás a la tabla siguiente que contiene todos los números primos menores que 100

Números de Marsenne: Número primo de Mersenne Se dice que un número M es un número primo de Mersenne si es primo y M+1 es una potencia de 2. Así, 7 es un primo de Mersenne (7 + 1 = 8 = 2³, y 7 es primo), pero 13 no lo es (por no ser 14 una potencia de 2) y 15 tampoco lo es (por no ser un número primo). Se denominan así en memoria del filósofo del siglo XVII Marin Mersenne quien en su Cognitata Physico−Mathematica realizó una serie de postulados sobre ellos que sólo pudo refinarse tres siglos después. Los ocho primeros números primos de Mersenne son: 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, 524287, 2147483647. Los números primos de Mersenne están íntimamente relacionados con los números perfectos, en efecto Euclides había demostrado siglos antes que si M es un número primo de Mersenne (obviamente no se llamaban así en su época), entonces M· (M+1)/2 es un número perfecto. Euler demostró en el siglo XVIII que todos los números perfectos pares son de la forma M· (M+1)/2. No se conocen en la actualidad números perfectos impares, y se sospecha que no exista ninguno. No se sabe si existen un número infinito di primos de Mersenne. La siguiente tabla muestra los números primos de Mersenne conocidos: #

n

Mn

1 2 3 4 5 6 7

2 3 5 7 13 17 19

3 7 31 127 8191 131071 524287

Número de dígitos Mn 1 1 2 3 4 6 6

Fecha de descubrimiento antigüedad antigüedad antigüedad antigüedad 1456 1588 1588

Descubridor desconocido desconocido desconocido desconocido anónimo Cataldi Cataldi

10

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

31 61 89 107 127 521 607 1,279 2,203 2,281

2147483647 2305843009213693951 618970019449562111 162259276010288127 170141183884105727 686479766115057151 531137992031728127 104079321168729087 147597991697771007 446087557132836351

10 19 27 33 39 157 183 386 664 687

18 3,217

259117086909315071

969

19 4,253

190797007350484991

1,281

20 4,423

285542542608580607

1,332

21 22 23 24 25 26

9,689 9,941 11,213 19,937 21,701 23,209

478220278225754111 346088282789463551 281411201696392191 431542479968041471 448679166511882751 402874115779264511

2,917 2,993 3,376 6,002 6,533 6,987

1772 1883 1911 1914 1876 30 de enero 1952 30 de febrero 1952 25 de junio 1952 7 de octubre 1952 9 de octubre 1952 8 de septiembre 1957 3 de noviembre 1961 3 de noviembre 1961 11 de mayo 1963 16 de mayo 1963 2 de junio 1963 4 de marzo 1971 30 de octubre 1978 9 de febrero 1979

27 44,497

854509824011228671

13,395

8 de abril 1979

28 86,243

536927995433438207

25,962

29 110,503

521928313465515007

33,265

30 132,049

512740276730061311

39,751

31 216,091

746093103815528447

65,050

32 756,839 33 859,433

174135906544677887 129498125500142591

227,832 258,716

34 1,257,787

412245773089366527

378,632

35 1,398,269

814717564451315711

420,921

36 2,976,221

623340076729201151

895,932

37 3,021,377

127411683024694271

909,526

38 6,972,593

437075744924193791

2,098,960

39 13,466,917 924947738256259071

4,053,946

25 de septiembre 1982 28 de enero 1988 20 de septiembre 1983 6 de septiembre 1985 19 de febrero 1992 10 de enero 1994 3 de septiembre 1996 13 de noviembre 1996

Euler Pervushin Powers Powers Lucas Robinson Robinson Robinson Robinson Robinson Riesel Hurwitz Hurwitz Gillies Gillies Gillies Tuckerman Noll & Nickel Noll Nelson & Slowinski Slowinski Colquitt & Welsh Slowinski Slowinski Slowinski & Gage Slowinski & Gage Slowinski & Gage

GIMPS / Joel Armengaud GIMPS / Gordon 24 de agosto 1997 Spence GIMPS / Roland 27 de enero 1998 Clarkson GIMPS / Nayan 1 de junio 1999 Hajratwala 14 de noviembre GIMPS / Michael 2001 Cameron

11

40 20,996,011 125976895855682047

6,320,430

41 24,036,583 299410429733969407

7,235,733

42 25,964,951 122164630577077247

7,816,230

43 30,402,457 315416475652943871

9,152,052

44 32,582,657 124575026053967871

9,808,358

17 de noviembre 2003

GIMPS / Michael Shafer GIMPS / Josh 15 de mayo 2004 Findley GIMPS / Martin 18 de febrero 2005 Nowak GIMPS / Curtis 15 de diciembre Cooper & Steven 2005 Boone GIMPS / Curtis 4 de septiembre Cooper & Steven 2006 Boone

Biografía de Mersenne Nacido en una familia de campesinos cerca de Oizé (hoy Sarthe), en la provincia francesa de Maine, fue educado en Le Mans y en el colegio jesuita de La Flèche, donde coincidió con René Descartes, pero es sumamente improbable que su amistad provenga de esos años, porque se llevaban ocho años. Aunque en ocasiones se afirma que fue jesuita, lo cierto es que nunca llegó a ingresar en la Sociedad de Jesús. El 17 de julio de 1611 se hizo miembro de los Mínimos dedicándose al estudio de la teología y el hebreo. Después de este período recibió la orden sacerdotal en París en 1613. Tras su consagración estuvo un tiempo enseñando filosofía y teología en Nevers, pero en 1619 regresó a París. Allí entró en el convento de L'Annonciade y, en compañía de personajes como Étienne Pascal, Gilles de Robeval y Nicholas−Claude Fabri de Peiresc, estudió matemáticas y música. Tuvo una nutrida correspondencia con diversos eruditos de Francia, Italia, Inglaterra y Holanda, tales como Descartes, Pierre de Fermat, Galileo Galilei, Giovanni Doni y Constantijn Huygens. Durante la estancia de Descartes en Holanda, Mersenne fue su principal corresponsal y su intermediario con los sabios de la época. Desde 1620 hasta 1623 se dedicó exclusivamente a escribir en materia de filosofía y teología, y en 1623 publicó Quaestiones celeberrimae in Genesim, a la que rápidamente siguieron otras obras como L'Impieté des déistes (1624) y La Vérité des sciences (1624). Visitó Italia en tres ocasiones, en 1640, 1641 y 1645. Murió después de una serie de complicaciones que se derivaron de una intervención quirúrgica. En su testamento vital, pidió que su cuerpo fuera sometido a autopsia como último servicio al interés de la ciencia

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