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Matrices 1. Définition Une matrice A de dimension n×p ou de format (n; p) est un tableau de nombres comportant n lignes et p colonnes. On note aij l’élément se trouvant à l’intersection de la ligne i et de la colonne j. Lorsque n = p on dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre n. 2. Exemple
2 −5 4 6 3 −8
est une matrice de format (2; 3) a11 a12 Une matrice carrée d’ordre 2 est une matrice de la forme : a21 a22 3. Matrices particulières Si n = 1, A est une matrice ligne. Si p = 1, A est une matrice colonne. Si tous les coefficients sont nuls, A est une matrice nulle. A=
4. Égalité de matrices Deux matrices sont égales lorsqu’elles ont le même format et les mêmes coefficients aux mêmes emplacements. 5. Définition La matrice transposée d’une matrice A de format (n; p) est la matrice de format (p; n), notée AT obtenue en échangeant les lignes et les colonnes de A. 2 6 2 −5 4 alors AT = −5 3 6. Exemple Si A = 6 3 −8 4 −8 7. Addition de deux matrices de même format On appelle somme de deux matrices de même format la matrice obtenue en additionnant les coefficients de même emplacement. 8. Multiplication d’une matrice par un nombre réel Pour un réel k et une matrice A, on note kA la matrice M dont l’élément mij est égal à kaij 9. Exemple 2 −5 4 2 × 2 2 × (−5) 2×4 4 −10 8 2 = = 6 3 −8 2×6 2×3 2 × (−8) 12 6 −16 10. Propriétés A, B et C sont des matrices de même format, O est la matrice nulle de même format, k et k 0 sont deux nombres réels. (a) A + B = B + A (b) A + (B + C) = (A + B) + C (c) A + O = O + A = A (d) 0A = O et 1A = A (e) (k + k 0 )A = kA + k 0 A et k(A + B) = kA + kB
1
11. Multiplication de deux matrices b1 b2 . ... ap par la matrice colonne C = . est le . bp
I Le produit de la matrice ligne L = a1 a2
nombre LC = a1 b1 + a2 b2 + ... + ap bp =
p X
ak bk
k=1
I Le produit de la matrice A = (aij ) de format (n; p) par une matrice B = (bij ) de format (p; r) est la matrice, notée AB, de format (n; r) dont le coefficient (cij ) est le produit de la matrice ligne i de A par la matrice colonne j de B : cij =
p X
aik bkj
k=1
12. Exemple A de format (2; 3) B de format (3; 2), C = AB de format (2; 2)
1 3 5 2 4 6
1 −1 3 2 −3 4 −5 25 −4 30
13. Remarque importante Si les matrices AB et BA sont définies, en général AB 6= BA . 14. Propriétés A, B et C sont des matrices dont les formats permettent les calculs indiqués, k est un réel (a) A(BC) = (AB)C (b) A(B + C) = AB + AC (c) (A + B)C = AC + BC (d) (kA)B = A(kB) = k(AB) 15. Matrices unités Soit n un entier naturel non nul. On appelle matrice unité d’ordre n la matrice I, carrée d’ordre n dont tous les coefficients sont nuls sauf ceux de la diagonale principale (éléments aii ) qui sont égaux à 1. 16. Exemple 1 0 0 La matrice unité d’ordre 3 est I = 0 1 0 0 0 1 17. Inverse d’une matrice carrée A est une matrice carrée d’ordre n. On dit qu’une matrice B, carrée d’ordre n, est l’inverse de A si elle vérifie AB = I et BA = I. 18. Propriété Si la matrice carrée A d’ordre n admet une inverse, celle-ci est unique. On la note A−1 . 2
19. Puissance d’une matrice carrée A est une matrice carrée et n ∈ N∗ . La puissance n-ième de la matrice A, notée An , est la matrice définie par : An = AA....A | {z } n fois
Par convention, A = I 0
20. Théorème Pour n ∈ N∗ et pour tous nombres réels a et b, n n a 0 a 0 = 0 b 0 bn Démonstration par récurrence : exercice 21. Théorème
a b Soit A = une matrice carrée d’ordre 2. c d
1) Si ad − bc 6= 0, A admet une inverse A
−1
1 = ad − bc
d −b −c a
2) Si ad − bc = 0, A n’a pas d’inverse. Démonstration 1 1 0 d −b 1) Soit B = . On vérifie que AB = BA = I = 0 1 ad − bc −c a 0 2) On suppose que A admet une inverse A d −b −c a et C = Soit B = d −b −c a −c a a b 0 0 BA = = = O De même, CA = O −c a c d 0 0 B = B(AA0 ) = (BA)A0 = O donc a = c = 0 C = C(AA0 ) = (CA)A0 = O donc d = b = 0, A est la matrice O ce qui implique que : AA0 = I = O ce qui est impossible : A n’a pas d’inverse. Remarque Le nombre ad − bc s’appelle le déterminant de la matrice A 22. Application aux systèmes linéaires Tout système linéaire de n équations à n inconnues peut s’écrire sous la forme matricielle AX = B où A est la matrice carrée d’ordre n des coefficients du système, X est la matrice colonne des inconnues et B est la matrice colonne formée par les seconds membres des équations. Si la matrice carrée A est inversible alors le système a une unique solution égale à A−1 B
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Matrices et Suites 23. Suites de matrices Une suite de matrices colonnes de taille k ( k ∈ N, k ≥ 2) est une fonction de N dans l’ensemble des matrices colonnes de taille k. 24. Définition On dit que la suite de matrices colonnes (Xn ) de taille k est convergente si les k suites formées par les termes correspondant à la même ligne sont convergentes. La limite de la suite est alors la matrice colonne formée des k limites obtenues.
Suites de la forme Un+1 = AUn + B 25. Propriété Soit une suite de matrices colonnes (Un ) de taille k telle que, pour tout n ∈ N, Un+1 = AUn , où A est une matrice carrée d’ordre k Alors, pour tout n de N , Un = An U0 Démonstration par récurrence à compléter 1) Initialisation : 2) Hérédité : 26. Propriété Soit une suite de matrices colonnes (Un ) de taille k vérifiant pour tout n ∈ N , Un+1 = AUn +B, où A est une matrice carrée non nulle d’ordre k et B une matrice colonne de taille k. S’il existe une matrice C telle que C = AC + B alors le terme général de cette suite peut s’écrire : Un = An (U0 − C) + C Remarque Si I − A est inversible alors C = (I − A)−1 B Démonstration Comme Un+1 = AUn + B et C = AC + B, par différence on a : Un+1 − C = A(Un − C) La suite (Vn ) telle que Vn = Un − C vérifie Vn+1 = AVn donc Vn = An V0 D’où : Un − C = An (U0 − C) soit Un = An (U0 − C) + C 27. Convergence des suites vérifiant Un+1 = AUn + B Soit une suite de matrices colonnes vérifiant Un+1 = AUn + B On suppose qu’il existe une matrice C telle que C = AC + B 1) Si U0 = C, la suite converge vers C 2) Si U0 6= C et si la suite (An ) converge vers une matrice A0 alors la suite (Un ) converge vers A0 (U0 − C) + C Démonstration Exercice
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28. Marche Aléatoire (a) Marche aléatoire entre deux états i. Définition On considère un système qui n’a que deux états possibles A et B et qui évolue par étapes successives. On note p la probabilité qu’il passe de A à B. On note q la probabilité qu’il passe de B à A. Le graphe probabiliste ci-contre donne l’évolution du système d’une étape à la suivante. p
1-p A
1-q B
q
1−p p On définit la matrice de transition par : T = q 1−q Remarque Tous les coefficients appartiennent à [0; 1] Pour chaque ligne, la somme des coefficients est 1. ii. Définition Pour n ∈ N , on note : An l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état A". Bn l’événement : "à l’étape n le système est dans l’état B". an = p(An ), bn = p(Bn ). On a : an + bn = 1 iii. Définition La matrice ligne Pn = (an bn ) est appelée la répartition de probabilité à l’étape n. iv. Propriété Pour n ∈ N, Pn+1 = Pn T Démonstration 1−p An+1 An b
b
an
p b
Bn+1
b
bn
Bn
q
An+1 b
p(An+1 ) = = —————– p(Bn+1 ) = =
p(An ∩ An+1 ) + p(Bn ∩ An+1 ) (1 − p)an + qbn —————————————– p(An ∩ Bn+1 ) + p(Bn ∩ Bn+1 ) pan + (1 − q)bn
b
1−q
b
Bn+1
Pn T = an bn On a bien : Pn+1 = Pn T
1−p p . q 1−q . (1 − p)an + bn q pan + (1 − q)bn
v. Propriété Pour tout n ∈ N : Pn = P0 T n Démonstration Par récurrence.
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vi. Définition On appelle répartition stable de probabilité une matrice ligne P dont tous les coefficients sont positifs et de somme 1 vérifiant : P = PT vii. Théorème Avec les notations précédentes, si (p; q) 6= (0; 0) et (p; q) 6= (1; 1) alors : 1) il existe une unique répartition stable de probabilité P donnée par : p q P = p+q p+q 2) la suite (Pn ) converge vers P , indépendamment de P0 Démonstration 0 ≤ p ≤ 1 et 0 ≤ q ≤ 1 donc : 0 ≤ p + q ≤ 2 Comme p + q 6= 0 et p + q 6= 2 on a : 0 < p + q < 2 puis −2 < −p − q < 0 et enfin : −1 < 1 − p − q < 1 (*) On a vu que : an+1 = (1 − p)an + qbn et bn = 1 − an donc : an+1 = (1 − p − q)an + q A partir de cette dernière formule, on peut démontrer par récurrence que : q q q p n n + − (1 − p − q) a0 − an = (1 − p − q) a0 − puis bn = p+q p+q p+q p+q p q et lim bn = . On a bien : lim Pn = P n→+∞ n→+∞ n→+∞ p+q p+q 1−p p . q 1−q . (1 − p)x + qy px + (1 − q)y = (x y) P T = P ⇔= x y q x − xp + yq = x x= p+q On obtient le système : qui donne : p x + y = 1 y= p+q
D’après (*), lim an =
(b) Marche aléatoire entre plusieurs états Les définitions et propriétés précédentes se généralisent à un système qui peut se trouver dans plusieurs états. Théorème Si la matrice de transition T a une puissance n’ayant aucun coefficient nul, alors : 1) il existe une unique répartition stable de probabilité P telle que P T = P 2) la suite (Pn ) converge vers P , indépendamment de P0
C Gerlein
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