Energin i ett elektromagnetiskt fält Ett elektromagnetsikt fält

Föreläsning 15

1

Energin i ett elektromagnetiskt fält Ett elektromagnetsikt fält innehåller energi. Både det elektriska och det magnetiska fältet bidrar. Vi ska nu härleda uttrycket för energitätheten i fälten genom att studera de två idealiseringarna ideal kondensator och lång rak spole. Vi börjar med den ideala kondensatorn. Energin i en laddad kondensator Hur mycket energi måste vi tillföra när vi laddar upp en kondensator? Vi för laddning från den nedre plattan till den övre. Vi måste beakta att i varje ögonblick beror potentialskillnaden mellan plattorna på hur mycket laddning vi redan har förflyttat. Vi har

dW = dQ!V (Q) , där dW är arbetet vi måste utföra då vi flyttar dQ från den undre plattan till den övre. Q

Q

2 W = ! dW = ! dQV (Q) = V = Q = ! dQ Q = Q C 0 C 2C 0

Alltså är energin som finns lagrad i kondensatorn Q2 1 1 W= eller W = CV 2 eller W = QV . 2C 2 2

Var finns denna energi? Den finns lagrad i det elektriska fältet. Om vi har ett elektriskt fält närvarande så har vi energi. Detta gäller även för magnetfält.

Föreläsning 15

2

Uppskattning av energitätheten, W/τ i ett elektriskt fält inuti ett dielektrikum. Area A Q d -Q

E =V d

C=

A! 0 ! r d

! = A"d W CV 2 A" 0 " r # d 2 E 2 1 1 = = = " 0 " r E 2 = ED ! 2! d # 2 # Ad 2 2

Detta gäller generellt, inte bara för en plattkondensator. Energitätheten i det elektriska fältet är

W 1 = ED ! 2

När vi förflyttade laddningarna skapade vi fältet.

Föreläsning 15

3

Energin i en spole RL-krets B R L

!

i

V0

Spänningskällan ansluts vid tiden t = 0. Då går ingen ström genom kretsen. Den ökar gradvis och när stationärt tillstånd uppnås flyter strömmen I0 genom kretsen. Vi har $ #i #i &! = "L #t ( V0 = L + Ri % #t &V + ! = Ri ' 0

Spänningskällan har levererat energin # $

W = ! V0 idt = ! % Li

& "i + Ri 2 ( dt ' "t

Den 1:a termen går till energi, Wm, som lagras i spolen. Den 2:a termen går till förluster i motståndet. "

" " 2 I0 !i !i 1 !i 1 1 Wm = # Li dt = L # i dt = L # dt = L $i 2 & = LI 02 !t !t 2 !t 2 % '0 2 0 0 0

= ( = Li =

1 2 1 ( L = (I 0 2 2

Föreläsning 15

4

Tecknet på emsen? Vi har ansatt att den verkar i positiv riktning (strömriktningen). Den får då ett negativt värde. Den försöker motverka strömökningen genom spolen. Uppskattning av energitätheten, W/τ i ett magnetfält. Vi använder oss av vårt funna resultat och applicerar det på en lång rak spole.

L = µ0 N 2 S l ! = B"S"N 1 2 1 B2 S 2 N 2 l 1 2 1 2 Wm = ! L = = B Sl = B # 2 2 µ0 N 2 S 2 µ0 2 µ0

Wm !

=

1 2 1 B = BH 2 µ0 2

Den elektromagnetiska energitätheten är !Wem 1 1 = ED + BH !" 2 2

Föreläsning 15

5

Intensiteten för en plan våg i vakuum. Vi har funnit att en plan våg enligt nedan är en lösning till Maxwells ekvationer i vakuum. #%E = E0 sin ( kx ! " t ) yˆ ; B0 = E0 c0 ; " k = c0 = 1 $ ˆ B = B sin kx ! " t z ( ) %& 0

' 0 µ0

Energitätheten

(

)

!Wem 1 = # 0 E02 + B02 µ0 sin2 ( kx $ % t ) !" 2 &

)

1 = # 0 E02 ( 1+ 1 c02 # 0 µ0 + sin2 ( kx $ % t ) = # 0 E02 sin2 ( kx $ % t ) ( !#"#$ + 2 '

*

1

Obs! Det elektriska och magnetiska fältet ger samma bidrag till energitätheten. c0

x

På tiden t0 passerar energin som finns inuti volymen dτ nedan genom ytan med area A. l=c0t0