ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie

ENONCE : Partie A : On lance 2n fois une pièce de monnaie équilibrée, où n est un entier naturel non nul. A-t-on plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce ? On note P(n) la probabilité d’obtenir n piles en lançant 2n fois la pièce. Exprimer P(n) en fonction de n. P( n + 1 ) 2n + 1 = Montrer que, pour n ∈ N∗ , . P( n ) 2( n + 1 ) On désigne par X le nombre de piles en lançant 2n fois la pièce . Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire X et préciser son espérance mathématique. Partie B : Une urne contient 10 boules : 7 boules rouges toutes numérotées 1, et 3 boules jaunes toutes numérotées 0. On tire simultanément 2 boules de cette urne. On considère les événements A : « les deux boules sont de la même couleur » et B : « les deux boules sont de couleurs différentes ». Déterminer les probabilités P(A) et P(B). On désigne par X la variable aléatoire égale à la somme des chiffres des deux boules. Déterminer la loi de probabilité de X et préciser son espérance mathématique. CORRIGE : Partie A : Il s’agit d’un schéma de Bernouilli avec 2n lancers et une probabilité de succès pour chaque 4

8 1 1 lancer de ½ . La probabilité d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce est =  4        2   2  6

8− 4

=

70 35 = et la 28 128

12−6

12  1   1  924 231 280 35 probabilité d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce est =  6      = 12 = ; donc on a < = 2 1024 1024 128   2   2  plus de chance d’obtenir 4 piles en lançant 8 fois la pièce que d’obtenir 6 piles en lançant 12 fois la pièce . n

2 n− n

k

2 n−k

n+1

2( n+1 )−( n+1 )

1  2( n +1 )   1   1   2( n+1 )  1 =  n +1  2 n+2 . ; de plus P(n + 1) =  n +1      2n 2   2   2   2 ( 2 n + 2 )!  2( n +1 )  1 n +1  2 n+ 2  P( n + 1 )  2n + 1 ( n + 1 )!( n + 1 )! 1 ( 2n + 2 )( 2n + 1 ) 2 = = × = = D’où, pour n ∈ N∗ , . ( 2n )! P( n ) 4 4( n + 1 )2 2( n + 1 )  2nn  1   2n n! n!  2 La loi de probabilité de la variable aléatoire X est une loi binomiale de paramètres 2n et ½ ; d’où 2n  1   1  On a P(n) =  n        2   2 

=  

2n  n 

2n  1   1  p( X = k ) =  k      . L’espérance mathématique de X est égale au produit des paramètres = n.   2   2  Partie B : P(A) = P(« obtenir deux boules rouges » ou « obtenir deux boules jaunes ») = P(« obtenir deux boules

rouges » ) + P(« obtenir deux boules jaunes ») =

 7    2  10    2

 3   2

+ 10 =   2

7 1 8 7 . P(B) = 1 - P(A) = . + = 15 15 15 15

La variable aléatoire X prend les valeurs 0, 1 et 2. On a P(X = 0) = P(« obtenir deux boules jaunes ») =

1 ; 15

7 ; et P(X = 1) = P(« obtenir une boule jaune et une boule rouge ») = 15 7 1 7 7 7 . Son espérance mathématique est E(X) = 0 × + 1× + 2 × = . 15 15 15 15 5

P(X = 2) = P(« obtenir deux boules rouges ») =