Ensembles invariants par 2 ou 3

Ensembles invariants par 2 ou 3 18 janvier 2017 On s’intéresse ici à des parties fermées du tore T = R/Z, que l’on identifiera souvent à l’intervalle semi-ouvert [0, 1[. On fixe dans toute la suite deux entiers p positifs p < q multiplicativement indépendants, i.e. tels que log log q 6∈ Q, et on considère les morphismes du tore associés Tp :

T→T x 7→ px

and

Tq :

T→T . x 7→ qx

Les transformations Tp et Tq correspondent respectivement aux décompositions p en base p et q d’un élément de T. En effet, si x = 0, a1 a2 . . . , alors Tp x = q q p 0, a2 a3 . . . en base p, et de même, si x = 0, b1 b2 . . . , alors Tq x = 0, b2 b3 . . . . Dans les années 1960, Furstenberg a proposé diverses conjectures qui visaient à exprimer l’idée que les expansions dans les bases p et q n’ont rien en commun, si p et q sont multiplicativement indépendants. En voici quelques exemples : — Si S est une partie fermée infinie invariante par Tp et Tq , alors S = T ; furstenberg_disjointness démontré en 1967 par Furstenberg [3]. — Si µ est une mesure de probabilité borélienne diffuse (i.e. sans atome) sur T invariante par Tp et Tq alors µ est égale à la mesure de Lebesgue ; cette conjecture encore ouverte aujourd’hui. — Si A et B sont deux fermés de T invariants respectivement par Tp et Tq , alors dimH (A + B) = min(dimH A + dimH B, 1), où A + Bhochmanshmerkin_projection = {a + b ; a ∈ A, b ∈ B} ; démontré en 2012 par Hochman et Shmerkin [4]. — Si A et B sont deux fermés de T invariants respectivement par Tp et Tq , alors dimH (A ∩ B) ≤ max(dim H A + dimH B − 1, 0) ; démontré en 2016 shmerkin_furstenbergconjecture wu_furstenbergconjecture par Shmerkin [6] et Wu [7], indépendamment. C’est la résolution par Shmerkin de cette dernière conjecture que nous nous proposons d’étudier ici. Plus précisément, le théorème qui nous intéresse est le suivant. but

Théorème 0.1 (Shmerkin/Wu, 2106). Soient p et q deux entiers multiplicativement indépendants, et A, B deux fermés de [0, 1[ invariants par Tp et Tq , respectivement. Pour toute bijection affine g : R → R, dimB (A ∩ g(B)) ≤ max(dimH A + dimH B − 1, 0).

1

L’énoncé ci-dessus fait intervenir deux notions de dimension. Tout d’abord, la dimension de Minkowski supérieure, ou « box-dimension », définie par dimB A = lim sup ε→0

log N (A, ε) , log(1/ε)

où N (A, ε) désigne le nombre minimal d’intervalles de longueur ε nécessaire pour recouvrir l’ensemble (relativement compact) A. Et ensuite, la dimension de Hausdorff, notée dimH . Pour définir celle-ci, on définit d’abord, pour s ∈ [0, 1] et ε > 0, X [ Hεs (A) = inf{ |Ii |s ; A ⊂ Ii , avec ∀i, |Ii | ≤ ε}. i∈N

i∈N

Ensuite, la mesure de Hausdorff de dimension s est donnée par Hs (A) = lim Hεs (A) ε→0

et la dimension de Hausdorff par dimH A = inf{s ∈ [0, 1] | Hs (A) = 0} = sup{s ∈ [0, 1] | Hs (A) = ∞}. falconer_fractalgeometry mattila

On renvoie par exemple à [2] ou à [5] pour les propriétés générales de ces dimensions, et notamment l’inégalité, pour tout ensemble A, dimH A ≤ dimB A.

1 section:strategy

Dimensions, exposants de Frostman, et stratégie générale.

Tout d’abord, notons que l’étude de l’intersection A ∩ g(B) se ramène à celle de l’intersection de l’ensemble fractal A × B avec la droite (`g ) d’équation x = g(y). D’après le théorème d’intersection de Marstrand, on a bien, pour presque toute droite `, dimH (A × B) ∩ `g ≤ max(dimH A + dimH B − 1, 0) (à vérifier, exercice), mais cela ne suffit pas, car on désire un résultat valable pour toute droite `. On utilisera le lemma suivant, pour lequel on rappelle qu’une mesure µ sur un espace X est dite α-Frostman s’il existe C ≥ 0 tel que pour tout x ∈ X et tout r > 0, µ(B(x, r)) ≤ Crα . Remarque 1. Même si nous n’en aurons pas besoin ici, rappelons le lemme de Frostman, qui justifie la terminologie ci-dessus : — Si A est une partie borélienne de R (ou d’un espace vectoriel euclidien) telle que dimH A > α, alors il existe une mesure de probabilité µ αFrostman telle que Supp µ ⊂ A. — Si µ est une mesure α-Frostman et A une partie telle que µ(A) > 0, alors dimH A ≥ α. 2

Lemme 1.1. Soit µ une mesure de probabilité borélienne sur X = A × B et telle que, ∀x ∈ X, ∀r ≤ r0 , µ(B(x, r)) ≥ rs . Soit π une forme linéaire sur R2 . Si la mesure image π∗ µ est α-Frostman, alors, ∀y ∈ R, dimB π −1 (y) ≤ s − α. Démonstration. Soit C ≥ 1 une constante telle que π soit C-lipschitzienne. Soit (xj )1≤j≤M une famille de cardinal maximal d’éléments Cε -séparés dans π −1 (y). ε ) sont disjointes et incluses dans π −1 (B(y, ε)), on a Comme les boules B(xj , 2C M

M [ ε ε
s B(xj , ) ≤µ 2C 2 j=1

≤ π∗ µ(B(y, ε)) ≤ Cεα , donc N (π −1 (y), ε) ≤ M  ε−s+α . but

Pour démontrer le théorème 0.1, il suffit donc de faire voir que : 1. L’ensemble X = A × B supporte une mesure de probabilité µ telle que, pour tout x ∈ X et tout r > 0, µ(B(x, r)) ≥ rdimH A+dimH B . 2. Pour toute forme linéaire non nulle π et tout ε > 0, la mesure image π∗ µ est [min(1, dimH A + dimH B) − ε]-Frostman. En effet, le lemme ci-dessus montre alors, en faisant tendre ε > 0 vers zéro, que pour toute droite affine ` = π −1 (y), dimB (A × B) ∩ ` ≤ max(dimH A + dimH B − 1, 0). Nous verrons plus tard, au §3, que la condition 1 se vérifie facilement dans le cas où A est un ensemble de Cantor p-adique et B un ensemble de Cantor q-adique, et qu’on peut toujours se ramener à ce cas. Pour la condition 2, nous allons passer par la notion de dimension Lq d’une mesure, que nous rappelons maintenant. Soit ν une mesure de probabilité sur R. Pour m ≥ 1, on étudie la densité de µ à l’échelle 2−m ; plus précisément, on pose µm = µ ∗ φm , où φm est une approximation de l’identité de taille 2−m , par exemple φm = 2m 1[0,2−m ] . On a bien sûr 1 ≤ kµm kqLq ≤ 2m(q−1) , et les cas d’égalité à gauche et à droite correspondent respectivement aux cas d’étalement maximal (Lebesgue) et de concentration maximale (Dirac). On définit donc naturellement la dimension Lq de la mesure µ par Dµ (q) = 1 − lim sup − m→∞

log kµm kqLq . m(q − 1)

Remarque 2. Si Dm désigne la collection des intervalles dyadiques de longueur P log I∈Dm µ(I)q −m 2 , on a Dµ (q) = lim inf m→∞ − . m(q−1)

3

Exercice 1. Vérifier que la fonction q 7→ (q − 1)Dµ (q) est concave sur ]1, ∞[, et en déduire que q 7→ Dµ (q) est continue décroissante sur ]1, ∞[. Montrer par ailleurs que dimH µ ≥ limq→1 Dµ (q), où dimH µ = inf{dimH A ; µ(A) > 0}. Quand le paramètre q tend vers l’infini, la dimension Dµ (q) se rapproche d’un exposant de Frostman pour µ. Lemme 1.2 (Dimension Lq et exposant de Frostman). Soient s ∈]0, 1[, q ∈ ]1, ∞[, et µ une mesure de probabilité borélienne sur R telle que Dµ (q) > s. Alors µ est [(1 − 1q )s]-Frostman. Démonstration. Le fait que µ est α-Frostman équivaut à l’inégalité kµm kL∞  m 2m(1−α) , pour tout m ≥ 1. Comme on a toujours kµm kL∞ ≤ 2 q kµm kLq , et que 1 l’hypothèse implique que pour m assez grand, kµm kLq ≤ 2m[1−s(1− q )] , le lemme est démontré. but

Pour démontrer le théorème 0.1, les deux assertions que l’on cherche dorénavant à obtenir sont donc : 1. L’ensemble X = A × B supporte une mesure de probabilité µ telle que, pour tout x ∈ X et tout r > 0, µ(B(x, r)) ≥ rdimH A+dimH B . 2. Pour toute forme linéaire non nulle π et tout ε > 0, pour tout q > 1, Dπ∗ µ (q) = min(1, dimH A + dimH B).

2

Dimensions et invariance par Tp but

Pour ramener la démonstration du théorème 0.1 au cas où A et B sont des ensembles de Cantor respectivement p-adique et q-adique, le point essentiel est furstenberg_disjointness la proposition suivante, due à Furstenberg [3, Proposition III.1]. Pour un résultat falconer_subselfsimilarsets un peu plus général, avec une démonstration analogue, on renvoie à Falconer [1, Proposition 3.2]. Proposition 2.1 (Dimensions d’un ensemble invariant par Tp ). Si A est une partie fermée de [0, 1[ telle que Tp A ⊂ A pour un certain entier p ≥ 2, alors dimH A = dimB A. Démonstration. Quel que soit l’ensemble A, on a toujours dimH A ≤ dimB A, donc seule l’inégalité réciproque nécessite une preuve. Supposons dimH A < s, de sorte qu’on peut trouver un recouvrement fini (car A est compact) [ A⊂ Ii i∈Q p

par des P intervalles p-adiques Ii = {x = 0, i1 . . . i` ∗ . . . }, où i = (i1 , . . . , i` ), tel que i∈Q p−s|i| < 1. Soit L = max{|i| ; i ∈ Q}. Pour k ≥ 1, posons p

Ak = {i = (i1 , . . . , ik ) | ∃x ∈ A : x = 0, i1 . . . ik ∗ . . . } = {k-préfixes de A}. 4

On a bien sûr dimB A = lim sup k→∞

log card Ak , k log p

et il suffit donc de montrer que card Ak  psk . Posons aussi, pour k ≥ L, Qk = {i1 i2 . . . ir ; ij ∈ Q, |i1 . . . ip−1 | < k ≤ |i1 . . . ip |}. Comme A S est stable par Tp , pour tout intervalle p-adique Ii , on a l’inclusion A ∩ Ii ⊂ j∈Q A ∩ Iij , et donc [ (p−k ) A⊂ Ij , j∈Qk (p−k )

où Ij désigne l’intervalle p-adique de longueur p−k correspondant au préfixe j (tronqué à longueur k). Cela montre que card Ak ≤ card Qk . Enfin, X X 1≥ p−s(|i1 |+···+|i` |) ≥ p−s|j| ≥ p−L p−ks card Qk i1 ,...,i` ∈Q

j∈Qk

et donc card Qk  pks , ce qu’il fallait démontrer. Remarque 3. L’invariance de A par Tp implique Ak A` ⊃ Ak+` et donc, d’après Ak ) le lemme sous-additif, la suite log(card converge. Cela montre l’égalité entre k dimensions de Minkowski supérieure et inférieure. Nous déduisons maintenant de la proposition ci-dessus un corollaire qui but montre qu’il suffit de démontrer le théorème 0.1 dans le cas où A est un pCantor et B un q-Cantor. Rappelons que si p ≥ 2 est un entier, un p-Cantor A (ou ensemble de Cantor p-adique) est un ensemble défini par les chiffres de ses éléments en base p : il existe une partie D ⊂ {0, . . . , p − 1} telle que p A = {x = 0, a1 a2 . . . ; ∀i, ai ∈ D. Corollaire 2.2 (Approximation d’un fermé Tp -invariant par un Cantor). Soit p ≥ 2 un entier, et A un fermé de [0, 1[ tel que Tp A ⊂ A. Pour tout ε > 0, il existe N ≥ 1 et un pN -Cantor A˜ tel que A ⊂ A˜ et dimH A˜ ≤ dimH A + ε. Démonstration. Comme dimH A = dimB A, on peut trouver un entier N tel que card AN ≤ p(s+ε)N , où AN est l’ensemble des N -préfixes de A. On définit alors A˜ comme le pN -Cantor dont les blocs admissibles sont donnés par AN . L’inclusion AN A ⊂ A˜ découle de ce que A ⊂ Tp A, et bien sûr, dimH A˜ = logNcard ≤ s+ε. log p Pour conclure cette partie, vérifions que si A est un p-Cantor et B un qCantor, la condition 1 souhaitée à la fin de la partie précédente est satisfaite. Cela découle du lemme suivant. Lemme 2.3. Soit A un p-Cantor, associé à une partie D ⊂ {0, . . . , p − 1}, et µA la mesure de probabilité usuelle sur A. Alors, il existe c > 0 tel que, pour tout r ∈]0, 1[ et tout x ∈ A, µA (B(x, r)) ≥ crdimH A . 5

Démonstration. Rappelons que si i = (i1 , . . . , ik ) est un préfixe de A, alors µA (Ii ) = (card D)−k . (Cette égalité définit d’ailleurs la mesure µA .) Par suite, si x ∈ A et r ∈]0, 1[, on choisit k tel que p−k < r ≤ p−k+1 , et alors µA (B(x, r)) ≥ µA (Ix(p

3

−k

)

) = (card D)−k = p−k dimH A ≥

1 dimH A r . p

Mesures dynamiquement auto-similaires

Convolution de mesures associées à des ensembles de Cantor Comme auparavant, p < q sont deux entiers positifs multiplicativement indépendants. L’ensemble A est un p-Cantor, défini par une partie D1 ⊂ {0, . . . , p − 1}, et B un q-Cantor, associé à D2 ⊂ {0, . . . , q − 1}. On note η1 et η2 les mesures usuelles P sur A et B respectivement, et ∆i , i = 1, 2, la loi de probabilité ∆i = |D1i | d∈Di δd . Si Xi , i = 1, 2, . . . est une suite de variables aléatoires indéP∞ pendantes identiquement distribuées de loi ∆1P , alors la variable i=1 Xi p−i suit ∞ la loi η1 . De même, η2 est la loi de la variable i=1 Yi q −i , où leq Yi , i = 1, 2, . . . sont i.i.d. de loi ∆2 . On note µ = η1 ⊗ η2 la mesure produit sur A × B, et on s’intéresse à la mesure image π∗ µ, où π:

R2 → R (a, b) 7→ a + ex b

La mesure π∗ µ peut aussi s’écrire π∗ µ = η1 ∗ Sex η2 , où Sex désigne la dilatation par ex . Les mesures η1 et η2 sont auto-similaires, mais comme p 6= q, la mesure η1 ∗ Sex η2 ne l’est pas. Cependant, elle satisfait une propriété d’auto-similarité dynamique, que nous expliquons maintenant. P∞ On veut mettre la somme q-adique i=1 Yi q −i sous la forme d’une somme p-adique. Pour cela, on pose X = [0, log q[, et on considère la transformation T : X x

→ X 7 → x + log pmod(log q).

Ensuite, pour chaque ` ≥ 1, on choisit r` tel que pr` −1 ex ≤ q ` < pr` ex , de sorte que Y1 Y2 pr1 ex pr2 ex + + ... = ( Y1 )p−r1 + ( 2 Y2 )p−r2 + . . . q q q q −r1 = (Sexp(T r1 x) Y1 )p + (Sexp(T r2 x) Y2 )p−r2 + . . . 6

P∞ En sommant cette décomposition avecPη1 ∼ i=0 Xi p−i , on trouve que µx = ∞ π∗ µ est la loi d’une variable aléatoire i=1 Zi p−i , où les Zi sont des variables i aléatoires indépendantes de loi ∆(T x), où  ∆1 ∗ Sex ∆2 si x ∈ [0, log p[ ∆(x) = ∆1 si x ∈ [log p, log q[ En d’autres termes, i µx = π∗ µ = ∗∞ i=1 Sp−i ∆(T x).

Un modèle plus général L’espace X est un espace métrique compact, muni d’une transformation T : X → X. Étant donné intervalle compact I0 ⊂ R, on note A l’espace des mesures de probabilité à support fini inclus dans I0 . Ayant fixé une raison λ ∈]0, 1[, et une application ∆ : X → A, on définit une famille de mesures dynamiquement auto-similaires µx , x ∈ X, par la formule i µx = ∗∞ i=1 Sλi ∆(T x).

Pour tout entier positif n, on pose n i µx,n = ∗∞ i=1 Sλi Sλi ∆(T x).

Alors, µx = µx,n ∗ Sλn µT n x . Dans la suite, on fera les hypothèses suivantes : 1. T : X → X est uniquement ergodique ; on note P l’unique mesure de probabilité invariante. 2. Les mesures µx sont diffuses et x 7→ µx est continue (pour la topologie faible) P-presque partout. 3. x 7→ ∆(x) est continue presque partout, avec un nombre borné d’atomes. 4. (séparation) Pour presque tout x, il existe P R ≥ 0 tel que, pour n arn i bitrairement grand, les atomes de µx,n ∼ i=1 λ Zi sont distincts et Rn λ -séparés. Dans la dernière hypothèse,Ql’assertion « les atomes de µx,n sont distincts » sin gnifie en fait | Supp µx,n | = i=1 | Supp ∆(T i x)|. On veut démontrer le théorème suivant. dssm-dimension

Théorème 3.1 (Shmerkin 2016). Sous les hypothèses ci-dessus, on a, pour tout q ∈]1, ∞[, pour tout x ∈ X, R log k∆(x)kqq dP(x) , Dµx (q) = min(1, X (q − 1) log λ P où k∆kqq = y∈Supp ∆ ∆(y)q . 7

but

Pour conclure cette partie, vérifions que ce théorème implique le théorème 0.1. On reprend les notations du début de cette partie. Comme nous l’avons expliqué section:strategy à la fin de la partie 1, il suffit de montrer que, pour tout x ∈ X et tout q > 1, Dµx (q) = min(1, dimH A + dimH B). Dans ce cadre X = [0, log q[ et P est la mesure de Lebesgue renormalisée. De plus, pour presque tout x,  |∆1 |−q+1 |∆2 |−q+1 si x ∈ [0, log p[ q k∆(x)kq = |∆1 |−q+1 si x ∈ [log p, log q[, et par conséquent, Z log k∆(x)kqq dP(x) = X

1 [−(q − 1)(log p)(log |∆1 ||∆2 |) − (q − 1)(log q − log p)(log |∆1 |)] log q log |∆1 | log |∆2 | + ]. = −(q − 1)(log p)[ log p log q dssm-dimension

Cela montre que le membre de droite de la formule du théorème 3.1 est bien égal à min(1, dimH A + dimH B), ce qu’on voulait. Reste à vérifier que les hypothèses du théorème sont satisfaites, mais ce n’est pas très difficile.

Références

alconer_subselfsimilarsets

[1] K. Falconer. Sub-self-similar sets. Transactions of the AMS, 347(8), 1995.

falconer_fractalgeometry

[2] K. Falconer. Fractal Geometry. Wiley, 2003.

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[3] H. Furstenberg. Disjointness in ergodic theory, minimal sets, and a problem in Diophantine approximation. Math. Systems Theory, 2(1) :1–49, 1967.

hochmanshmerkin_projection

[4] M. Hochman and P. Shmerkin. Local entropy averages and projections of fractal measures. Ann. of Math., 175(3) :1001–1059, 2012.

mattila

[5] P. Mattila. Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Cambridge University Press, 1995.

rkin_furstenbergconjecture

[6] P. Shmerkin. On Furstenberg’s intersection conjecture, self-similar measures, and the lq norms of convolutions. preprint arXiv :1609.07802v1, 2016.

wu_furstenbergconjecture

[7] M. Wu. A proof of Furstenberg’s conjecture on the intersections of ×p and ×q-invariant sets. preprint arXiv :1609.08053v1, 2016.

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