ÉPREUVE DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE

ÉPREUVE DE BERNOULLI ET LOI BINOMIALE ..............................................................................................................................2 I.

RAPPEL SUR LA NOTION D’ÉVÉNEMENTS INDÉPENDANTS ..........................................................................................2

II.

ÉPREUVE DE BERNOULLI .........................................................................................................................................................2

III.

SCHÉMA DE BERNOULLI ...........................................................................................................................................................2

IV.

VARIABLE ALÉATOIRE..............................................................................................................................................................3

V.

ARBRE D’UN SCHÉMA DE BERNOULLI .................................................................................................................................3 1) 2) 3) 4)

VI.

UN SEUL LANCÉ D’UNE PIÈCE DE MONNAIE : ...................................................................................................................................3 DEUX LANCÉS DE SUITE D’UNE PIÈCE DE MONNAIE .........................................................................................................................3 ARBRE PONDÉRÉ .............................................................................................................................................................................4 ÉTUDE D’UN CAS COMPLET .............................................................................................................................................................4 LA LOI BINOMIALE .....................................................................................................................................................................5

Cas particuliers importants..................................................................................................................................................................5 DIAGRAMME D’UNE LOI BINOMIALE................................................................................................................................................5 Lancé de pièces de monnaie.................................................................................................................................................................5 Bon de réduction ..................................................................................................................................................................................5 2) ESPÉRANCE MATHÉMATIQUE ..........................................................................................................................................................6 Définition : ...........................................................................................................................................................................................6 Exemple de calcul d’espérance :..........................................................................................................................................................6 Espérance d’une loi binomiale.............................................................................................................................................................6 1)

Épreuve de Bernoulli et loi binomiale I. Rappel sur la notion d’événements indépendants Deux événements sont dits indépendants si le la réalisation de l’un n’a aucune influence sur la probabilité de réalisation de l’autre. Exemples : •

1 la probabilité de sortir un six avec un dé. Quelque soit le résultat du 6 premier dé, la probabilité pour que le deuxième dé sort un six reste égale à P. On jette successivement deux dés et on appelle P =

•

Un exemple frappant d’une erreur de raisonnement sur la dépendance d’événements concerne le loto : Certains joueurs sont persuadés que si un numéro n’est pas sorti pendant plusieurs tirages de suite sa probabilité d’apparition aux prochains tirages est plus élevée : Voici par exemple un tableau du nombre de sortie de quelques numéros sur 50 tirages. numéros 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49

nombre de sorties 5 7 8 4 3 7 5 2 3 0 5

Sur 50 tirages du Loto, le nombre 48 n’est jamais sorti. Il est tentant de croire que ce numéro a plus de chance de sortir que les autres donc je vais jouer de préférence le 48. Raté, je n’ai absolument pas augmenté mes chances, les tirages successifs étant indépendants, la probabilité de sortie du numéro 48 n’a pas augmentée. Le hasard n’a pas de mémoire ce qui veut dire que les résultats des 50 tirages n’influencent pas les tirages suivants. La Française des jeux n’hésite malheureusement pas à jouer sur ce préjugé. Voici ce que l’on peut lire sur son site : « Ces statistiques vous permettront de voir les numéros sortant le plus fréquemment ou au contraire ceux qui sortent peu souvent et sont donc plus susceptibles de faire partie de la prochaine grille gagnante du Loto. » http://www.lesbonsnumeros.com/loto/statistiques/numeros/nombre-sorties.htm

Contres exemples Une urne contient 5 boules blanches et 5 boules rouges. On tire successivement deux boules de l’urne sans les remettre dans l’urne et soit p la probabilité de tirer une boule rouge. 1 Pour le premier tirage on a bien sûr p = , mais tout se complique lorsqu’on tire la deuxièmes boule : 2 Il reste maintenant 9 boules dans l’urne 5 Si la première boule tirée est blanche alors il y a toujours 5 boules rouges et on a p = 9 4 Et si la première boule tirés est rouge, alors il reste 4 boules rouges et on a p = 9 Le résultat du deuxième tirage dépend du résultat du premier tirage : les deux événements sont dépendants

II. Épreuve de Bernoulli Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec seulement deux issues possibles : un résultat attendu qu’on appelle « réussite » de probabilité p et son contraire qu’on appellera bien sûr « échec » de probabilité souvent notée q =1 - p Exemples : •

Lancer une pièce de monnaie en espérant qu’elle va tomber sur « pile ». La probabilité de la réussite est égale à celle de l’échec, 1 soit 2

•

Lancer un dé en espérant qu’il va tomber sur le « six ». La probabilité de la réussite est p =

1 5 et celle de l’échec q = 6 6

III. Schéma de Bernoulli Si on répète plusieurs fois de suite une épreuve de Bernoulli on obtient un schéma de Bernoulli. Mais attention toutes les épreuves doivent être indépendantes : •

Lancer plusieurs fois de suite une pièce de monnaie est un schéma de Bernoulli.

•

Tirer, sans la remettre, plusieurs fois de suite une boule d’une urne contenant des boules de deux couleurs différentes n’est pas un schéma de Bernoulli. Les tirages successifs ne sont pas indépendants.

Un schéma de Bernoulli est donc défini par deux paramètres : la probabilité p de réussite d’une épreuve et le nombre n d’épreuves successives

IV. Variable aléatoire Prenons l’exemple du lancé de pièce de monnaie. On lance une pièce de monnaie en espérant qu’elle tombe sur pile. Au lieu d’écrire : probabilité pour que la pièce tombe sur pile, on écrira p(x = 1) Et la probabilité de perdre s’écrira p(x = 0) Le nombre x est appelé variable aléatoire Si maintenant on lance plusieurs fois de suite une pièce de monnaie Dans un schéma de Bernoulli on s’intéresse au nombre de réussites, sans tenir compte de l’ordre. p(x = 1) veut dire qu’une seule des pièces est tombée sur pile. Que ce soit la première, la dernière ou n’importe quel autre rang n’a aucune importance p(x = 2) veut dire que seulement deux pièces sont tombées sur pile. p(x ≥ 2) veut dire au moins deux pièces sont tombées sur pile

V. Arbre d’un schéma de Bernoulli 1) Un seul lancé d’une pièce de monnaie : Il n’y a que deux possibilités : pile on gagne, face on perd La variable aléatoire ne prend que deux valeurs 0 ou 1 1 La pièce tombe sur « pile » p(x = 1) = 2 1 La pièce tombe sur « face » p(x = 0) = 2

2) Deux lancés de suite d’une pièce de monnaie La probabilité de réussite d’un lancé est toujours

1 , et on lance la pièce deux fois de suite 2

On est bien dans le cas d’expériences indépendantes, c’est donc un schéma de Bernoulli de paramètre p =

1 et n = 2 2

Il y a maintenant quatre possibilités : la pièce retombe sur pile de 0 à 2 fois La variable aléatoire peut prendre trois valeurs : 0, 1, 2 Toutes les branches sont équiprobables, il y a donc 4 cas possibles équiprobables (il y a 4 branches finales) Calculons la probabilité de chacun de ces 4 cas Aucune pièce ne tombe sur « pile » ce qui correspond à l’unique cas favorable {face ; face} 1 p(x = 0) = 4 1 seule pièce tombe sur « pile » ce qui correspond aux deux cas favorables {face ; pile} ou {pile ; face} 2 1 p(x = 1) = = 4 2 les deux pièces tombent sur « pile » ce qui correspond à l’unique cas favorable {pile ; pile} 1 p(x = 2) = 4 1 1 1 On vérifie que p(x = 0) + p(x =1) + p(x = 2) = + + = 1 4 2 4 Mais on peut raisonner autrement. Ce n’est pas très utiles dans ce cas car obtenir « pile » ou « face » avec une pièce sont des événements équiprobables, mais dans le cas général ou les probabilités de réussite et d’échec ne sont plus les mêmes on ne pourra pas faire autrement. On utilisera un arbre pondéré

3) Arbre pondéré

chemin {pile ; face}

O

•

Sur chaque branche de l’arbre on indique la probabilité de l’événement correspondant.

•

On appelle chemin un déplacement sur l’arbre de l’origine O à une extrémité de l’arbre.

•

Sur un chemin on multiplie les probabilités de chaque branche

•

Si plusieurs chemins sont favorables on fait la somme des probabilités de chaque chemin

Étudions le cas ou on veut calculer p(x = 1) chemin {face ; pile}

Deux cas favorables {pile ; face} ou {face ; pile} chacun des ces cas correspond à un chemin sur l’arbre Chemin {pile ; face} probabilité 1 × 1 = 1 2 2 4 Chemin {face ; pile} probabilité 1 × 1 = 1 2 2 4

On a bien p(x = 1) = 1 + 1 = 1 4 4 2

4) Étude d’un cas complet Pour faire sa publicité un magasin a disposé une urne contient trois boules noires et une boule blanche. Au moment de payer chaque client tire une boule puis la remet dans l’urne. Un client obtient un bon de réduction uniquement s’il tire une boule blanche. Trois clients se présentent, calculer la probabilité pour qu’aucun, un deux ou les trois clients obtiennent un bon de réduction. Le tirage se faisant avec remise, chaque client a toujours une boule à choisir parmi quatre. Les trois tirages sont indépendants on est bien dans le cas d’un schéma de Bernoulli. Pour chaque client la probabilité d’obtenir un bon de réduction est p = 1 et trois clients se présentent on a donc n = 3 4 3 1 C’est un schéma de Bernoulli de paramètres p = , n = 3 et q = 1 –p = 4 4 Pour faire l’arbre on appellera B l’événement, un joueur tire une boule blanche et N le joueur tire une boule noire. 1 3 P(B) = 1 P(N) = 4 4 On n’est plus dans un cas d’équiprobabilité ( il y a 8 branches finales mais elles 2 ont des probabilités différentes) La variable aléatoire X qui défini le nombre de joueurs obtenant un bon de 3 réduction peut prendre les valeurs 0, 1, 2 ou 3 Sur l’arbre tous les chemins possibles ont été numérotés de 1 à 8 4 Tous les clients tirent une boule noire. Il n’y a qu’un seul chemin, le 8 3 3 3 27 o P(x = 0) = × × = 4 4 4 64 5 Un seul client tire une boule blanche. Il y a trois chemins favorables, 4, 6 et 7 3 3 3 3 3 3 27 P(x = 1) = 1× × + ×1× + × ×1 = 6 4 4 4 4 4 4 64 4 4 4 Deux clients tirent une boule blanche. Il y a trois chemins favorables 2, 3 et 5 3 3 3 9 7 p(x = 2) = 1 × 1 × + 1× ×1 + ×1 × 1 = 4 4 4 64 4 4 4 4 4 4 Enfin les trois clients tirent une boule blanche. Chemin 8 1 8 p(x = 3) = 1 × 1 × 1 = 4 4 4 64 On peut représenter ces résultats sous forme de tableau nbre de clients obtenant un bon

0

probabilité

27 27 64 64

1

2

3

9 64

1 64

ou

Si on veut par exemple, calculer la probabilité pour qu’au moins deux clients gagnent un bon de réduction : p(x ≥ 2) =

9 1 10 + = = 0,15625 (environ 15 chances sur 100) 64 64 64

un diagramme en bâton

VI. La loi binomiale Pour reprendre l’exemple du magasin, 3 clients cela fait vraiment peu et il est à prévoir une rapide faillite du dit magasin. Supposons donc que ce magasin reçoive 20 clients par jour ; Combien compte-t-on de branches finales sur l’arbre d’un schéma de Bernoulli ? 1 seul client : 2 branches 2 clients : 4 = 2² branches 3 clients : 8 = 23 branches 4 clients : 16 = 24 branches 5 clients : 32 = 25 branches A chaque fois qu’un nouveau client entre, le nombre de branches finales est multiplié par 2 20 clients

: 220 plus de 1 000 000 branches !!

Donc au dessus de 4 épreuves de Bernoulli successives faire un arbre devient trop difficile Heureusement il existe une formule mathématique qui permet de faire ces calculs sans faire d’arbre. C’est ce qu’on appelle la loi binomiale. On l’écrit B(n ;p) Malheureusement pour vous cette formule utilise des notions qui ne sont pas au programme de STMG Alors que faire ? • Utiliser votre calculatrice, il faut au minimum une CASIO 35+ ou une TEXAS ti82 stat • Utiliser un tableur comme EXCEL • Utiliser un logiciel comme par exemple SINEQUANON Cas particuliers importants Pour une loi binomiale B(n ; p), il existe quelques cas ou l’on peut calculer des probabilités sans faire d’arbre. Il s’agit du calcul de p(x = n), p(x = 0) et p(x ≥ 1) En effet pour p(x = n) et p(x = 0) il n’y a qu’une seule façon (un seul chemin) d’obtenir n succès ou n échecs En remarquant que p(x ≥ 1) est le contraire de p(x = 0), (le contraire d’obtenir au moins un succès c’est de n’obtenir aucun succès). p(x ≥ 1)= 1 – p(x = 0), Exemple : On jette 4 fois un dé et on veut qu’il tombe sur un « six ». c’est une loi binomiale B 4 ,



p=

1 6

q=1–p=

1 6

5 6

1 1 1 1  1 4 × × × = ≈ 0,0008 6 6 6 6 6  5 5 5 5 5 4 p( x = 0) = × × × =   ≈ 0,48 6 6 6 6 6  5 4 p( x ≥ 1) = 1 –   ≈ 0,52 6 

p(x = 4) =

8 chances sur 10 000 que le dé tombe 4 fois de suite sur « six » 48 chances sur 100 que le dé ne tombe jamais sur « six » 52 chance sur 100 que le dé tombe au moins une fois sur « six »

1) Diagramme d’une loi binomiale Voici quelques exemples de diagramme en bâton Lancé de pièces de monnaie On lance 50 fois de suites une pièce de monnaie et on compte le nombre de fois qu’elle tombe sur pile C’est une loi binomiale de paramètres n = 50 et p =0,5 on la note B(50 ; 0,5) On peut remarquer sur ce graphique : • La plus forte probabilité est de 25 pièces tombée sur pile sur les 50 lancés • Le graphique admet une symétrie axiale (ce qui est toujours le cas quand p = 0,5) • La probabilité d’avoir moins de 15 pièces ou plus de 35 pièces tombées sur pile est pratiquement nulle (environs 3 chances sur 1000) Bon de réduction Reprenons l’exemple du magasin vu plus haut. Supposons que dans la journée il reçoive 20 clients. La probabilité qu’un client tombe sur pile est p = 0,25 On est en présence d’une loi binomiale B(20 ; 0,25) • • •

La plus forte probabilité est de 5 bons distribués sur 20 clients Le graphique n’admet pas de symétrie La probabilité de donner plus de 11 bons est très faible (environ 4 chances sur 1000)

2) Espérance mathématique Définition : La notion d’espérance mathématique est à rapprocher de celle de la moyenne en statistique mais avec une différence qu’il faut bien comprendre. La moyenne est un paramètre que l’on observe alors que l’espérance est un paramètre que l’on prévoit avant de faire l’expérience. L’espérance est donc un paramètre théorique. En théorie des probabilités on démontre qu’en augmentant le nombre d’expériences réalisées, la moyenne a des chances de se rapproche de l’espérance Exemple de calcul d’espérance : Simulation du lancé de deux pièces de monnaie sur EXCEL On demande à 10 personnes de lancer deux pièces de monnaie et de compter le nombre de piles apparus. Les résultats obtenus apparaissent dans le tableau suivant nombre de piles apparus X

nombre de personnes xi

fréquence fi

0 1 2

2 7 1 10

0,2 0,7 0,1 1

En statistique X est appelé modalité. En utilisant les fréquences, la formule de la moyenne est 

x =

∑ xi fi = 0×0,2 + 1×0,7 + 2×0,1 = 0,9

La moyenne est de 0,9 pile par lancé

On refait la même expérience mais avec 100 personnes nombre de piles apparus X

nombre de personnes xi

fréquence fi

0 1 2

22 44 34 100

0,22 0,44 0,34 1



x =

∑ xi fi = 0×0,22 + 1×0,44 + 2×0,34 = 1,12

La moyenne est de 1,12 pile par lancé

Et maintenant avec 1000 personnes nombre de piles apparus X

nombre de personnes xi

fréquence fi

0 1 2

242 491 267 1000

0,242 0,491 0,267 1



x =

∑ xi fi = 0×0,242 + 1×0,491 + 2×0,267= 1,025

La moyenne est de 1,025 pile par lancé

Maintenant passons aux probabilités nombre de piles apparus X

probabilité

0 1 2

0,25 0,5 0,25 1

pi

X est maintenant appelé variable aléatoire et les probabilités pi remplacent les fréquences fi dans la formule de la moyenne : Calcul de l’espérance : 

x = ∑ xi pi = 0×0,25 + 1×0,5 + 2×0,25 = 1

On remarque qu’avec l’augmentation du nombre d’expériences les fréquences tendent à se rapprocher des probabilités Il en est de même pour la moyenne qui tend à se rapprocher de l’espérance. Mais en probabilité il n’y a pas de certitude, par exemple la moyenne obtenue avec 10 lancés est un peu plus proche de l’espérance que celle obtenue avec 100 lancés Par contre, avec un très grand nombre de lancés la moyenne a très peu de chance de s’écarter de l’espérance (mais cela peut arriver) Espérance d’une loi binomiale On démontre que l’espérance d’une loi binomiale B(n ; p) est :  x =n×p Le lancé de deux pièces est une loi binomiale B(2 ; 0,5)  x = 2 × 0, 5 = 1 Dans l’exemple des trois clients qui tirent une boule pour obtenir un bon de réduction la loi binomiale est B(3 ;0,25)  x = 3 × 0, 25 = 0,75 Vérifions ce résultat :

nbre de clients obtenant un bon xi

0

probabilité

27 64

pi

1

2

3



x =0×

27 64

9 64

1 64

27 27 9 1 48 + 1× + 2× + 3× = = 0,75 64 64 64 64 64

et dans le cas de 20 clients la loi binomiale est B(20 ;0,25)  x = 20 × 0, 25 = 5 En moyenne, le magasin peut espérer donner 5 bons de réduction sur un total de 20 clients Ici pas moyen de vérifier par cette méthode car cela demanderait de calculer 21 probabilités de p(x = 0) à p(x = 20) ce qui est hors de portée