Espaces probabilisés

Espaces probabilisés Exercice 1. Vrai ou faux ? Dire si chaque affirmation est vraie (alors la prouver) ou fausse (donner un contre-exemple) : 1) Si est un univers et A; B  alors f?; ; A; A; B; B g est une tribu sur . 2) Si = f1; 2; 3; 4g, la tribu engendrée par f1g; f1; 2g; f2; 3g est égale à P ( ). 3) Si P(A) + P(B ) = 1 alors B = A. 4) Si A et B sont deux évènements indépendants alors P(A [ B ) = P(A) + P(B ). 5) Si P(A [ B ) = P(A) + P(B ) alors A et B sont incompatibles. 6) Si (Ak )k2NP est un système complet d’évènements de probabilités non nulles alors pour tout évènement A la série k2N P(A j Ak ) est convergente. Exercice 2. Tribu sur N Montrer que T = fX  N tq

8 n 2 N; 2n 2 X , 2n + 1 2 X g est une tribu.

Exercice 3. Équité ? On considère une société dont chaque individu peut avoir les caractéristiques suivantes : – il peut être bleu (probabilité p) ou rouge (probabilité 1 p) ; – il peut être riche (probabilité q ) ou pauvre (probabilité 1 q ) ; On sait de plus que 70% des bleus sont riches et 70% des riches sont bleus. La richesse est-elle équitablement répartie entre les bleus et les rouges ? Exercice 4. Probabilité des causes On cherche un objet dans un meuble constitué de sept tiroirs. La probabilité qu’il soit effectivement dans ce meuble est p. Sachant qu’on a examiné les six premiers tiroirs sans succès, quelle est la probabilité qu’il soit dans le septième ? Exercice 5. Temps d’attente On dispose d’un trouseau de n clés, une seule d’entre elles pouvant ouvrir la porte de l’appartement. 1) On essaie une clé au hasard, puis on recommence tant qu’on n’a pas trouvé la bonne clé. Les essais étant supposés indépendants et le choix d’une clé à chaque essai étant supposé uniforme, déterminer la probabilité qu’on trouve la bonne clé au k-ème essai et la probabilité qu’on ne trouve jamais la bonne clé. 2) Mêmes questions mais en supposant qu’à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre que celle que l’on vient d’essayer. 3) Mêmes questions mais en supposant qu’à chaque nouvel essai on choisit uniformémént une clé autre que toutes celles que l’on a déjà essayé. Exercice 6. Évènements Soit (An )n2N une suite d’évènements dans un même espace probabilisé. 1) Montrer que les ensembles suivants sont des évènements : A = « Il y a une infinité d’évènements parmi les An qui sont réalisés ». B = « A partir d’un certain rang, tous les An sont réalisés ». C = « Il n’y a jamais deux évènements consécutifs réalisés ». 2) On suppose les An mutuellement indépendants et P(An ) = 12 pour tout n 2 N. Calculer P(A), P(B ), P(C ). 3) On suppose les An mutuellement indépendants et P(An ) = 1=2n+1 pour tout n 2 N. Calculer P(A), P(B ) et montrer sans la calculer que 0 < P(C ) < 1. 4) Donner des exemples de telles suites (An ).

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Exercice 7. Temps d’attente On lance une infinité de fois une pièce et on considère l’évènement Ak = « au cours des k premiers lancers, il n’est jamais sorti trois pile de suite » avec la convention A0 = . 1) En supposant les lancers mutuellement indépendants et la pièce équilibrée, montrer que P(Ak ) = 12 P(Ak 1 ) + 14 P(Ak 2 ) + 18 P(Ak 3 ) pour k > 3. 2) On note ; ; les racines dans C du polynôme X 3 X 2 =2 X=4 1=8. Montrer, sans les calculer, que max(jj; j j; j j) < 1 et en déduire limk!1 P(Ak ). 3) Reprendre l’exercice avec l’évènement Bk = « au cours des k premiers lancers, il n’est jamais sorti la séquence PFP ». 4) Soit S une suite fixée dans fP; F gN . Montrer, sans calcul, qu’il est presque certain que S apparaît au moins une fois lors d’une infinité de tirages mutuellement indépendants, avec P et F de probabilité 12 à chaque lancer. Montrer qu’il est presque certain que S apparaît une infinité de fois dans les mêmes conditions ; et montrer enfin que ceci reste vrai pour toute pièce vérifiant P(P ) = p 2 ]0; 1[, les lancers étant toujours mutuellement indépendants. Exercice 8. Équilibre On lance une infinité de fois une pièce et on considère les ensembles de résultats suivants : An = f sur les 2n premiers lancers, il est apparu autant de P que de F g. Bn = f sur les 2n premiers lancers, il est apparu pour la première fois autant de P que de F g. C = f sur l’ensemble des lancers, P et F sont arrivés à égalité au moins une fois g. D = f sur l’ensemble des lancers, P et F sont arrivés à égalité une infinité de fois g. 1) Montrer que ce sont des évènements. 2) Calculer P(An ) et P(Bn ) pour n 2 N . 3) Calculer P(C ). On distinguera les cas p 6= q , p = q = 12 . 4) Calculer P(D). Exercice 9. Lemme de Borel-Cantelli Soit (An )n2N une suite d’évènements dans un même espace probabilisé. On note A = « Il y a une infinité d’évènements parmi les An qui sont réalisés ». 1) Montrer que P A est un évènement. 2) Si la série P k P(Ak ) est convergente, montrer que P(A) = 0. 3) Si la série k P(Ak ) est divergente et si les Ak sont mutuellement indépendants, montrer que P(A) = 1. 4) Donner un cas où P(A) = 12 . Exercice 10. Non indépendance On lance une pièce équilibrée n fois (les lancers sont mutuellement indépendants) et on note Ak = « le k-ème lancer donne P », B = « le nombre total de P est pair ». Montrer que parmi les n + 1 évènements A1 ; : : : ; An ; B , n quelconques sont mutuellement indépendants mais les n + 1 ne le sont pas. Exercice 11. Pièces variables On lance n pièces, l’une après l’autre, et on fait l’hypothèse que les lancers sont mutuellement indépendants et que la k-ème pièce a une probabilité 1=(2k + 1) de produire pile. Quelle est la probabilité que le nombre de pile obtenu soit pair ? Exercice 12. Limite de probabilités Soit (Pk )k2N une suite de probabilités sur N (avec la tribu P (N)). On suppose que pour tout entier n 2 N, la suite (Pk (fPng)) est convergente, de limite pn 2 [0; 1]. 1) a) Montrer que n2N pn 6 1. b) Donner un exemple où la somme est strictement plus petite que 1. P 2) On suppose que P n2N pn = 1 et on pose pour k;P n 2 N : an;k = min(Pk (fng); pn ). a) Montrer que n2N an;k ! 1 et en déduire n2N jPk (fng) pn j ! 0.

!1

!1

X  N, montrer que P (X ) !1 !P 2 p . c) Prouver enfin que l’application X 7! lim !1 (P (X )) est une probabilité sur N. k

b) Pour

k

k

k

n

k

X

n

k

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Exercice 13. P(kN) = 1=k ? On démontre dans cet exercice qu’il n’existe par de probabilité P sur N vérifiant : pour tout k 2 N , la probabilité qu’un entier choisi au hasard selon la probabilité P soit divisible par k est égale à 1=k. Pour cela, on raisonne par l’absurde ; soit P une telle probabilité. 1) Montrer que si k1 ; : : : ; km sont des entiers non nuls et deux à deux premiers entre eux, alors les évènements Ai = « n est divisible par ki » sont mutuellement indépendants. 2) Montrer que l’évènement A = « n n’est divisible par aucun facteur premier » est de probabilité nulle. 3) Généraliser et conclure. Exercice 14. Permutation aléatoire On veut tirer au hasard une permutation des entiers 1; : : : ; n et on envisage les deux méthodes suivantes. 1) On fixe un entier N , et on tire 2N entiers i1 ; j1 ; : : : ; iN ; jN 2 [[1; n]] de manière uniforme et indépendante. On calcule alors  = (i1 j1 )  : : :  (iN jN ) avec la convention (ik jk ) = id si ik = jk . a) Comment choisir N pour être sûr de pouvoir obtenir chaque permutation ? b) Lorsque cette condition est remplie, permutation obtenue est-elle uniformément distribuée sur Sn ? 2) On tire de manière uniforme et indépendante des entiers k1 2 [[0; 1]], k2 2 [[0; 2]],: : : ,kn 1 2 [[0; n 1]] et on calcule  = (1 2)k1  (1 2 3)k2  : : :  (1 : : : n)kn 1 . Peut-on ainsi obtenir toutes les permutations ? Sont-elles équiprobables ? Exercice 15. Fonction  , Mines-Ponts 2015 8 ! [0; 1] < P (N ) P 1 Soit s 2 ]1; +1[ et s : A 7 !  (1s) Pk2A k1s où  (s) = k2N ks . : 1) Montrer que s est une probabilité. 2) Soit n 2 N et An le sous-ensemble de N constiué des multiples de n. Calculer s (An ). 3) Soit (`1 ; : : : ; `n ; : : :) la suite des nombres premiers. Montrer que les évènements A`1 ; : : : ; A`n ; : : : sont mutuellement indépendants pour la probabilité s .  Q1  1 . 4) En déduire que 1 = i=1 1  (s) `si

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solutions Exercice 1. 1) faux, ne contient par A [ B . 2) Vrai, elle contient tous les singletons. 3) Faux, prendre A = B de probabilité 12 . 4) Faux lorsque P(A)P(B ) > 0. 5) Faux, A \ B est négligeable. 6) Faux, prendre A = . Exercice 3. P(richejbleu)p + P(richejrouge)(1

p) = q. La richesse est équitablement répartie ssi q = 70%.

Exercice 4. Il manque l’information concernant les probabilités que l’objet soit dans un tiroir ou un autre sachant qu’il est dans le meuble. Supposons que ces probabilités sont égales à 1=7 et soient Ai l’évènement « l’objet est dans le tiroir i » et B l’évènement « l’objet n’est pas dans le meuble ». P(A7 ) p On a P(A7 ) = P(A7 j B )p + P(A7 j B )(1 p) = p=7 puis P(A7 j A7 [ B ) = P(A7 ) + P(B ) = 7 6p . Exercice 5. 1) pk = (n 1)k 1 =nk , p1 = 0. 2) p1 = 1=n, pk = (n 2)k 2 =n(n 3) pk = 1=n pour 1 6 k 6 n.

1)k

2

pour

k > 2, p1 = 0.

Exercice 6. T1 S 1 S1 T1 S1 1) A S = n=0 ( k=n Ak ) ; B = n=0 ( k=n Ak ) ; C = n ( n=0 (An \ An+1 )). 1 2) P(Tk=n Ak ) = P(An ) + P(An \ An+1 ) + P(An \ An+1 \ An+2 ) + : : : = 1 donc P(A) = 1. P( 1 Ak ) = 0 donc P(B ) = 0. k=n P(CS)16 P(T1 (A2n \ A2n+1 )) = 0 donc P(C ) = 0. n=0 P 1 3) P(Tk=n Ak ) 6 k=n P(Ak ) = 1=2n donc P(A) = 0. 1 P( k=n Ak ) = 0 doncSP1(B ) = 0. P1 1 1=22n+3 = 16 . n=0 8 = P(A0 \ A1 ) 6 P( n=0 (An \ An+1 )) 6 4) Dans un jeu de pile ou face infini, An = « le lancer de rang n donne pile » ; A0n = « les lancers de rang 10n ; 10n + 1; : : : ; 10n + n donnent tous pile ». Exercice 7. 1) Conditionner par le résultat des lancers de rang k 3; k 2; k 1. 2) Par étude de fonction, il existe une unique racine réelle  2 ] 12 ; 1[. Les deux autres racines sont non p réelles conjuguées et j j = j j = 1=8 < 12 . P(Ak ) est combinaison linéaire des suites (k ), ( k ), ( k ) donc P(Ak ) ! 0.

!1

3) En conditionnant par le nombre n de pile consécutifs à la fin des k lancers, on obtient P(Bk ) = 12 P(Bk 1 ) + Pkn=12 P(Bk n 2 )=2n+2 , puis P(Bk+1 ) = P(Bk ) 14 P(Bk 1 ) + 18 P(Bk 2 ). L’équation caractéristique admet à nouveau trois racines  2 ] 12 ; 1[ et ; non réelles conjuguées de module < 12 , d’où P(Bk ) ! 0. k

k

!1

4) Découper la suite des lancers en blocs de taille

N.

Exercice 8.

2) P(An ) = 2nn (pq )n , P(Bn ) = 2 2nn 12 (pq )n =n. P1 p1 4pq = 2 min(p; q) par DSE dans le cas p 6= q et par intégration terme 3) P(C ) = n=1 P(Bn ) = 1 à terme, cas réel positif dans le p = q = 12 . 4) P(D) = 0 si p 6= q , P(D) = 1 si p = q = 12 .

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Exercice 9. T1 S 1 1) A S = n=0 ( k=P A1k ). n 1 2) P( k=n Ak ) 6 k=n P(Ak ) S1

n

! 0. !1

3) 1 P( k=n Ak ) = 1 P(An )+ P(An \ An+1 )+ P(An \ An+1 \ An+2 )+ : : : = (1 P(An ))(1 P(An+1 )) : : : La série de terme général ln(1 P(An )) est divergente : grossièrement si P(An ) ne tend pas vers zéro, sinon par équivalence si P(An ) ! 0. Donc le produit infini précédent est nul, ce qui suffit à n!1 conclure. 4) Tous les Ak égaux à un même évènement de probabilité 12 .

Exercice 11. Soit pn cette probabilité. En conditionnant par le résultat du n-ème lancer, on a (2n + 1)pn = 1 + (2n 1)pn 1 = : : : = (n 1) + 3p1 = n + 1. Exercice 12. 1) a) Passer à la limite dans une somme finie. b) Pk (X ) = 1 si P k 2 X , 0 sinon. P 2) a) Pour N fixé, n6N an;k ! n6N pn et pour

k fixé, P 6 a !1 ! P 2N a . Cette dernière convergence est uniforme par rapport à k car a 6 p donc on peut intervertir les limites : P ! P 2N p = 1. 2N a !1 La deuxième 2a . P convergence P résulte de la relation jP (fng) p j = P (N) + p b) jP (X ) 2 p j 6 2N jP (fng) p j. k

!1

n

n;k

n

n;k

n

k

Exercice Q 13. 2) p premier (1 3) De même, si

n

X

n

n;k

n;k

n

N

n

n

k

k

N

n

k

n

k

n

n;k

n

1=p) = 0. p1 ; : : : ; p sont premiers distincts alors k

P(n n’a pas de diviseur premier en dehors de p1 ; : : : ; p et par union croissante :

k

)=0

P(N n f1g) = 0, en contradiction avec P(2N) = 12 .

Exercice 14. 1) a) La composée de N transpositions a au moins n N orbites si N < n et il existe des permutations à une seule orbite (les n-cycles) donc il faut N > n 1. Cette condition est suffisante, toute permutation de n éléments peut être décomposée en au plus n 1 transpositions. b) Non, la taille de l’univers est n2N qui n’est pas un multiple de n! si n > 3. 2) Oui. Exercice 15. 2) 1=ns . 4) Les évènements contraires (k n’est pas divisible par `i ) sont aussi mutuellement indépendants donc le produit de leurs probabilités est la probabilité de leur intersection qui est égale à f1g.

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