ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA TEKTONIK DI JAWABALI

January 14, 2018 | Author: Anonymous | Category: Ilmu, Ilmu kebumian, Seismologi
Share Embed Donate


Short Description

Download ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA TEKTONIK DI JAWABALI...

Description

ESTIMASI FUNGSI DENSITAS GEMPA  TEKTONIK DI JAWA­BALI

Oleh  Pumma Purwani M.0104048

SKRIPSI ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET SURAKARTA 2009

ABSTRAK Pumma   Purwani,   2009.  Estimasi   Fungsi   Densitas   Gempa   Tektonik   di   Jawa­Bali.   Fakultas  Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret. Gempa tektonik yang terjadi di Jawa­Bali akan memberikan dampak yang signifikan. Gempa  yang   terjadi   mempunyai   fungsi   distribusi   yang   dapat   menggambarkan   karakteristiknya.   Salah   satu  metode untuk mengestimasi fungsi distribusi adalah pendekatan kernel nonparametrik.  Tujuan   dalam   skripsi   ini   adalah   menentukan   fungsi   distribusi   untuk   magnitude   dan   banyak  kejadian gempa tektonik tiap bulan. Data yang digunakan untuk menentukan estimasi fungsi densitas  adalah gempa tektonik yang mempunyai magnitude 5.0­6.9 sR dengan kedalaman   70 km dan banyak  kejadian gempa tektonik tiap bulan. Berdasarkan   pembahasan,   diperoleh   kesimpulan   bahwa   estimasi   fungsi   densitas     untuk  magnitude     gempa   tektonik   antara   5.0­6.9   sR   dengan   kedalaman   ᆪ   70   km   adalah  2 598 � 1 � x  Xi � � 1 1 f h  x   = exp � � � ¥ � 2 �0,278394 � 166, 479612 i=1 2 �� � �, gempa tektonik yang terjadi di Jawa­Bali pada  ^

tahun 1964­2005 mempunyai nilai estimasi magnitude antara 5.0­5.5 Rs. Estimasi fungsi densitas untuk  2 504 � 1 � x  Xi � � 1 1 f h  x   = exp �  � � ¥ � � 2 �0,288081 �� 147,192824 i=1 2 � � banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan adalah  ^

. Gempa tektonik setiap bulan yang terjadi di Jawa­Bali mempunyai frekuensi 0­26 kali. Kata kunci

: fungsi densitas, gempa tektonik.

ABSRACT

Pumma   Purwani,   2009.  Tectonic   Earthquake   Density   Function   Estimation   in   Java­Bali.   The  Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University. The tectonic earthquake which was happened in Java­Bali would give a significant impact. The  earthquake has a distribution function which describes earthquake characteristic. One of method to  estimate distribution function is kernel nonparametric approach.  The aims of this research are to find density function of magnitude and to find earthquake’s  frequency every month. In order to determine the estimation density  function,  the  data  which used  are magnitude 5.0­6.9 Rs with the depth  ᆪ  70 km and frequency of earthquake every month. Based   on   discussion,   the   density   function   estimation   of   earthquake   magnitude   is  2 598 � 1 � x  Xi � � 1 1 f h  x   = exp  � ¥ �� � 2� 166, 479612 i=1 2 0,278394 � �� � �, the tectonic earthquakes happened in Java­Bali  ^

in 1964­2005 have magnitude estimation between 5.0­5.5 Rs. Density function estimator of frequency  ^

f h  x   = of   earthquake   every   month   is  

2 504 � 1 � x  Xi � � 1 1 exp  � � � ¥ � � 2 �0,288081 �� 147,192824 i=1 2 � �.   The   tectonic 

earthquake every month happened in Java­Bali in 1964­2005 have frequency 0­26 times. Key words : density function, tectonic earthquake.

PERSEMBAHAN

Karya sederhana ini penulis persembahkan untuk •

Bapak dan ibu tercinta

Sebagai wujud terima kasih atas doa, cinta dan dukungannya. •

Kakak­kakak dan keponakan

Yang selalu memberiku semangat •

Seseorang yang aku sayangi

Yang selalu memberiku dukungan •

Sahabat­sahabat sejati

Yang selalu memotivasi penulis untuk menjadi lebih baik.

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaaikum Wr. Wb. Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah­Nya, sehingga  penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul “Estimasi Fungsi Densitas Gempa Tektonik di Jawa­ Bali”. Penulis menyadari bahwa tanpa bantuan dan dukungan dari semua pihak, maka penulis tidak  mungkin dapat menyelesaikan skripsi dengan baik.  Pada kesempatan ini penulis menyampaikan rasa  terima kasih dan penghargaan kepada  1. Dra.   Respatiwulan,   M.   Si.,   Dosen   Pembimbing   I   yang   penuh   perhatian   dan   kesabaran  membimbing dan mengarahkan penulis hingga terselesaikannya skripsi ini. 2. Dra.   Sri   Sulistijowati,   M.   Si.,   Dosen   Pembimbing   II   yang   telah   banyak   membantu   hingga  terselesaikannya skripsi ini. 3. Dra. Sri Kuntari, M. Si., Pembimbing Akademik yang telah banyak memberi bimbingan dan  pengarahan. 4. Tuning dan Rina, yang memberikan masukkan dan semangatnya. 5. Sahabat­sahabatku, Pipit, Saptini, Surya, Agung yang memberikkan semangat dan bantuannya  sehingga skripsi dapat terselesaikan. 6. Seluruh teman angkatan 2004 dan semua pihak yang telah membantu terselesaikannya skripsi  ini yang tidak dapat penulis tuliskan satu persatu. Penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat. Amin. Wassalamu’alaaikum Wr. Wb. Penulis

DAFTAR ISI

Halaman HALAMAN JUDUL ……………………..………………………………………... i HALAMAN PENGESAHAN …………..…………………………………………. ii ABSTRAK ………………………………………………………………..………... iii ABSTRACT ………………………………………………………………………..  iv MOTTO ………………………………………………………………………….…  v PERSEMBAHAN ………………………………………………….………………  vi KATA PENGANTAR ………………………………………..……………………  vii DAFTAR ISI ……………………………………………..……………………….. viii DAFTAR TABEL …………………………………………………………………  x DAFTAR GAMBAR …………………………………………………………….... xi DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI …………………………….………………… xii BAB  I   PENDAHULUAN ………………………………………………………. 1 1.1 Latar Belakang Masalah ................................................................... 1 1.2 Rumusan Masalah ............................................................................. 3 1.3 Batasan Masalah …………………………………………………... 3 1.4 Tujuan ……………………………………………………………... 3 1.5 Manfaat ……………………………………………………………. 3 BAB  II   LANDASAN TEORI …………………………………………………… 4 2.1    Tinjauan Pustaka …………………………………………………... 4 2.1.1  Konsep Dasar Statistika …………………………………….. 4 2.1.2  Sifat­sifat Estimator ………………………………………… 6 2.1.3  Fungsi Kernel .......................................................................... 7 2.2    Kerangka Pemikiran ……………………………………………….. 8 BAB  III  METODE PENELITIAN ……………………………………………….. 9 BAB  IV  PEMBAHASAN ………………………………………………………. 10 4.1  Deskripsi Data …………………………………………………….. 10 4.2  Estimasi Densitas Kernel …………………………………………. 11 4.3  Estimator Densitas Kernel Magnitude ……………………………. 15

4.4  Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan ... 16 BAB  V  PENUTUP ……………………………………………………………… 18 5.1  Kesimpulan ………………………………………………………… 18 5.2  Saran ……………………………………………………………….. 18 DAFTAR PUSTAKA …………………………………………………………….. 19 LAMPIRAN ………………………………………………………………………. 20

DAFTAR TABEL

Tabel 4.1. Nilai probabilitas magnitude …………………………………………… 16 Tabel 4.2. Nliai probabilitas untuk banyaj kejadian gempa tiap bulan ……………. 17

DAFTAR GAMBAR

Gambar 4.1. Plot magnitude gempa ……………………………………………….. 11 Gambar 4.2. Plot banyak kejadian gempa tiap bulan ……………………………… 11 Gambar 4.3. Estimasi densitas kernel Gaussian magnitude dengan h = 0.278394 ... 15 Gambar 4.4. Estimasi densitas kernel Gaussian banyak kejadian gempa dengan          h = 0.288081 …………………………………………………………. 17

DAFTAR SIMBOL DAN NOTASI



: untuk setiap



: terdapat

S

: ruang sampel



: ruang parameter

P  .

: peluang observasi : mendekati sama dengan

c

: konstanta : anggota himpunan, elemen : harga mutlak : norma (norm)



: sigma, operator penjumlahan



: phi



: xi, interval

n

: jumlah data observasi berukuran n

X

: variabel random

X 1 , X 2 ,K , X n : sampel random x

: titik estimasi



: mean

h

: lebar interval (binwidth)

f  .

: fungsi densitas probabilitas

F  .

: fungsi distribusi kumulatif

^

f h  .

: estimator fungsi densitas dengan pengaruh lebar interval h 

E  .

: harga harapan

Var  .

: variansi

MSE  .

: mean squared error

MISE  .

: mean integrated squared error

A  MISE  .

: asymptotic mean integrated squared error

K  .

: fungsi kernel

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Masalah Menurut   Hutagalung   [3],   panas   di   inti   bumi   merupakan   sumber   energi   yang   menyebabkan  terjadinya   gunung   berapi,   gempa   bumi   dan   retakan   atau   patahan   pada   bagian   batuan   yang   lemah.  Retakan   ini   membuat   bumi   seolah­olah   terpisah   dan   berkelompok   membentuk   lempengan   yang  mengapung   di atas  permukaan astenosfer. Gempa bumi adalah proses pelepasan energi panas   oleh  batuan bumi yang mengalami regangan atau tekanan setelah mengalami akumulasi dalam jangka waktu  tertentu. Semakin tinggi kekuatan batuan menahan regangan atau tekanan semakin besar pula energi  yang dilepaskan. Menurut [7] magnitude gempa adalah parameter gempa yang berhubungan dengan besarnya  kekuatan   gempa   di   sumbernya.   Pengukuran   magnitude   gempa   yang   dilakukan   di   tempat   berbeda  memberikan   nilai   sama   walaupun   gempa   yang   dirasakan   berbeda.   Skala   Richter   (sR)   yang  dikembangkan oleh Charles Richter tahun 1935 digunakan sebagai ukuran kekuatan gempa. Intensitas   merupakan   parameter   gempa   yang   diukur   berdasarkan   kerusakan   yang   terjadi.  Intensitas gempa berbeda untuk setiap daerah walaupun pusat gempanya sama, Waluyo [8]. Hal ini  berbeda dengan   magnitude, dimana ukuran magnitude gempa yang sama dari tempat yang berbeda  mengakibatkan dampak yang berbeda juga. Berdasarkan Lee dan Steward [5], gempa dengan magnitude 5.0­6.9 sR dapat menyebabkan  kerusakan dalam area yang luas (  160 km). Di sisi lain bila kedalaman fokus yang merupakan sumber  gempa dari permukaan bumi adalah        ᆪ   70 km, terjadilah gempa dangkal yang menimbulkan efek  goncangan lebih dahsyat dibandingkan dengan kedalaman fokus  ᆪ  70 km. Indonesia yang merupakan daerah aktif gempa berada disepanjang pertemuan lempeng tektonik  Eurasia dengan Indo­Australia yang membentuk busur dari Sumatra, Jawa, Bali, Nusa Tenggara sampai  Maluku dan lempeng Pasifik di bagian utara Irian. Menurut Lea [4] wilayah tersebut merupakan daerah  pertemuan tiga lempeng tektonik yaitu lempeng tektonik Eurasia, lempeng Indo­Australia dan lempeng  Pasifik. Karena gempa tektonik adalah gempa yang terjadi akibat pergeseran lempeng tektonik, wilayah  tersebut merupakan daerah gempa tektonik.

Pulau   Jawa   dan   Bali   merupakan   pulau   yang   penting   bagi   negara   Indonesia.   Pulau   Jawa  merupakan pulau yang mempunyai jumlah penduduk yang terbanyak dibandingkan pulau yang lain.  Pulau Jawa juga merupakan pusat pemerintahan Indonesia. Candi Borobudur dan objek wisata terkenal  lainnya terletak di pulau Jawa. Pulau Bali merupakan objek wisata terkenal lainnya. Dengan demikian,  pulau Jawa­Bali merupakan pusat ekonomi yang berpenduduk relatif terbesar. Gempa bumi di pulau  Jawa­Bali mengakibatkan kerugian yang cukup besar. Gempa   bumi   yang   terjadi   di   Jawa­Bali   memerlukan   suatu   model   matematis   yang   dapat  menggambarkan   karakteristik   gempa   tersebut.   Menurut   Hardle   [2],   karakteristik   dasar   dari   suatu  variabel random dapat dilihat melalui fungsi densitas probabilitasnya. Dalam penelitian ini variabel  randomnya adalah magnitude dan banyak kejadian gempa tiap bulan.  Fungsi   densitas   dapat   diestimasi   dengan   dua   metode,   yaitu   pendekatan   parametrik   dan  pendekatan nonparametrik. Pendekatan nonparametrik dapat digunakan ketika data tidak memberikan  cukup informasi tentang bentuk fungsi densitas yang sebenarnya. Estimasi densitas kernel merupakan  salah satu metode pendekatan fungsi densitas nonparametrik. Pada penulisan skripsi ini akan dikaji  ulang   tentang   estimasi   fungsi   densitas   melalui   kernel.   Selanjutnya   estimasi   fungsi   densitas   yang  diperoleh akan diterapkan pada data magnitude gempa dan banyak kejadian gempa tiap bulan. 1.2 Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang masalah di atas, maka rumusan masalahnya sebagai berikut. (1) Bagaimana estimasi fungsi densitas magnitude gempa tektonik di Pulau Jawa­Bali dengan  magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus  ᆪ  70 km? (2) Bagaimana estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Pulau  Jawa­Bali? 1.3 Batasan Masalah Dalam penulisan ini, estimasi densitas kernel diasumsikan bahwa fungsi densitas termuat dalam  kelas fungsi yang mempunyai turunan. Kernel yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah kernel  Gaussian. 

1.4 Tujuan  Tujuan dari penulisan ini adalah menentukan fungsi densitas magnitude dan banyak kejadian  gempa tektonik tiap bulan di Pulau Jawa­Bali. 1.5 Manfaat Manfaat   yang   diharapkan   dari   penulisan   ini   adalah   menambah   wawasan   dan   pengetahuan  tentang fungsi distribusi kernel dan penerapannya pada data gempa bumi yang terjadi di Jawa­Bali  tahun 1964­2005.

BAB II LANDASAN TEORI Bab ini dibagi menjadi dua subbab, yaitu tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan  pustaka   mengandung   beberapa   hasil   penelitian   yang   telah   dilakukan   oleh   peneliti   terdahulu   yang  disajikan   dalam   bentuk   definisi,   teorema   dan   pengertian   yang   berhubungan   dengan   pembahasan.  Kerangka pemikiran menggambarkan langkah dan arah penulisan dalam mencapai tujuan penulisan. 2.1 Tinjauan Pustaka Skripsi ini memerlukan beberapa definisi, teorema dan pengertian yang berhubungan dengan  pembahasan. Pembahasan didasarkan pada teori tentang konsep dasar statistika dan estimasi densitas  kernel. 2.1.1 Konsep Dasar Statistika Untuk menunjang materi dalam pembahasan diperlukan konsep dasar statistika mengenai ruang  sampel, dan variabel random, fungsi densitas probabilitas yang diambil dari Bain and Engelhardt [1]. Definisi   2.1.  Himpunan   dari   semua  hasil   (outcome)   yang  mungkin   dari   suatu   eksperimen   disebut   sebagai ruang sampel (sample space), dinotasiakan dengan S. Ruang sampel dapat berupa ruang sampel diskrit, yaitu ruang sampel dengan jumlah elemen  hingga atau elemen tak hingga terhitung dan ruang sampel kontinu, yaitu ruang sampel dengan elemen  titik­titik dalam interval pada garis bilangan real. Definisi 2.2.  Variabel random X adalah suatu fungsi yang memetakan setiap hasil yang mungkin e   pada ruang sampel S dengan suatu bilangan real x, sedemikian hingga X (e) = x. Variabel random dibedakan menjadi dua, yaitu variabel random diskrit dan variabel random  kontinu. Definisi 2.3. Jika himpunan semua nilai yang mungkin dari variabel random X merupakan himpunan   berhingga  x1 , K , xn  atau  x1 , x2 , K , maka X disebut variabel random diskrit. Fungsi f  x   P  X  x

, untuk  x1 , x2 ,K

menyatakan   probabilitas   setiap   nilai   x   yang   mungkin   disebut   fungsi   densitas   probabilitas   diskrit  (discrete probability function). Jika f (x) merupakan fungsi densitas probabilitas diskrit maka mempunyai sifat  semua  xi ,  dan 

mempunyai sifat 

¥f  x   1 xi

f  x

i

0

f  x ᆪ 0

, untuk 

.  Jika  f   (x)   merupakan   fungsi   densitas   probabilitas   kontinu   maka 

, untuk semua x dan 

f  x  dx  1 ᆪ

.

Definisi 2.4. Fungsi distribusi kumulatif (cumulative distribution function) dari variabel random diskrit   X didefinisikan untuk setiap bilangan real x sebagai F  x  P  X

x

.

Definisi 2.5.  Jika X suatu variabel random diskrit dengan fungsi densitas probabilitas f (x), maka  harga harapan (expected value) dari X didefinisikan sebagai E  X   ¥xf  x  x

.

Definisi 2.6.  Variabel random X disebut variabel kontinu jika terdapat fungsi f (x) yang merupakan   fungsi densitas probabilitas dari X, sehingga fungsi distribusi kumulatifnya dapat dinyatakan dengan BAB III METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi kasus. Studi kasus  dilakukan  dengan mengumpulkan dan mempelajari referensi berupa artikel, buku, dan jurnal yang dapat  mendukung pembahasan tentang estimasi fungsi densitas gempa kemudian menerapkannya pada  masalah penentuan fungsi densitas gempa. Langkah­langkah yang diambil dalam mengestimasi fungsi  BAB IV PEMBAHASAN

Karakteristik   dari   suatu   variabel   random  X  dapat   diketahui   melalui   fungsi   densitas  probabilitasnya.   Sampel   yang   diambil   secara   random   dari   suatu   populasi   dapat   dianalisis   melalui  pendekatan   parametrik   dan   pendekatan   nonparametrik.   Pendekatan   parametrik   dilakukan   dengan  memberikan   asumsi   bahwa   data   berdistribusi   tertentu.   Pendekatan   nonparametrik   dilakukan   tanpa  memberikan   asumsi   bahwa   data   berdistribusi   tertentu.   Data   magnitude   gempa   akan   dianalisis  menggunakan estimasi densitas kernel. 4.1 Deskripsi Data Data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data gempa tektonik di Jawa­Bali pada tahun  1964 sampai tahun 2005. Data diperoleh dari lab seismik, Departemen Geofisika dan Meteorologi ITB.  Data   yang   diperoleh   meliputi   waktu   kejadian,   magnitude,   dan   kedalaman   gempa.   Magnitude  diklasifikasikan   menjadi  micro   earthquake,  small   earthquake,  moderate   earthquake,   dan  major   earthquake.   Kedalaman   gempa   dikelompokkan   menjadi  shallow   earthquake  dan  deep   earthquake.  Shallow earthquake  memberikan efek goncangan yang lebih dahsyat dibandingkan  deep earthquake,  hal itu dikarenakan sumber gempa lebih dekat dengan permukaan bumi. Dalam penelitian ini diambil  untuk magnitude 5.0­6.9 sR (moderate earthquake) dan kedalaman  ᆪ  70 km (shallow eartquake). Plot  data untuk magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman   ᆪ   70 km dapat dilihat pada Gambar 4.1. Plot data  untuk banyak gempa yang terjadi tiap bulan dapat dilihat pada Gambar 4.2. 160 140

Frekuensi

120 100 80 60 40 20 0 5.00

5.20 5.10

5.40 5.30

5.60 5.50

5.80 5.70

6.00 5.90

6.20 6.10

Magnitude

Gambar 4.1 Plot magnitude gempa

6.50 6.30

6.60

80

Frekuensi

60

40

20

0 0

2 1

4 3

6 5

8 7

10 9

12 11

14 13

16 15

19 18

23 20

35 26

176

Banyak kejadian gempa tiap bulan

Gambar 4.2 Plot banyak kejadian gempa tiap bulan 4.2 Estimasi Densitas Kernel Menurut   Hardle   [2],   estimasi   densitas   kernel   dapat   digunakan   untuk   mengestimasi   fungsi  densitas probabilitas nonparametrik dari suatu variabel random. Estimasi densitas kernel untuk estimasi  nilai densitas f (x) pada titik x adalah sebagai berikut ^

f h  x 

1 n ¥K h  x  X i  n i 1 .

    (4.1)

1 �x � K�� h �h �.

    (4.2)

Kernel K didefinisikan sebagai Kh  x  

Persamaan (4.2) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1), sehingga diperoleh 1 n �x  X i � f h  x  ¥K � � nh i 1 � h � ^

    (4.3)

dimana K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith.

^

Teorema 4.1 (Hardle) Jika 

f h  x

 diberikan oleh persamaan (4.1) dan  X i  identik maka

�^ � E �f h  x  � f  x  K  s  ds  f  x  ,      h � � Bukti :

0

.

n �^ � 1 E �f h  x  � ¥E  K h  x  X i   � � n i 1

Jika  u  x  sh  dan  h

      

 E  Kh  x  X  

      

 ᆪK h  x  u  f  u  du

      

 ᆪK  s  f  x  sh  ds

.

0  maka

�^ � E �f h  x  � f  x  K  s  ds  f  x  � � .

^

Teorema 4.2 (Hardle) Jika 

f h  x

 diberikan oleh persamaan (4.1) maka bias dinyatakan sebagai

2 �^ � h " Bias �f h  x  � f  x  2  K   o  h 2  ,       h ᆪ 0 � � 2

    (4.4)

Bukti : ^ � Bias � f � h  x  � ᆪK  s  f  x  sh  ds  f  x  � � � � h2 s2                         ᆪK  s  �f  x   shf '  x   f "  x   o  h 2  �ds  f  x  2 � �

 f  x  

dimana 

h2 " f  x  2  K   o  h2   f  x  2

h2 " f  x  2  K   o  h2  2

 2  K   ᆪs 2 K  s  ds

 dan 

s

x  Xi h .

Dalam persamaan (4.4) diperoleh h kuadrat, sehingga untuk menurunkan nilai bias dipilih nilai h yang  kecil. Variansi estimasi densitas kernel dihitung untuk mendapatkan kestabilan estimasi.

^

Teorema 4.3 (Hardle) Jika 

f h  x

 diberikan oleh persamaan (4.1) maka variansi dinyatakan sebagai

�^ � 1 Var �f h  x  � K � � nh

2 2

�1 � f  x  o � � �nh �

    (4.5)

Bukti :  n ^ � 1 Var � K x  X � Var � f x �h � 2 ¥ h i � � � � n �i 1 � n 1                      = 2 ¥Var  K h  x  X i   n i 1 1                      = Var  K h  x  X i   n 2 1                      = E � Kh  x  X i  �  E� Kh  x  X i  � � � � � n









2� 1 �1 x u � 2� �2 K � �f  u  du   f  x   o  h   � �h �           n �h



2� 1 �1 2 � ᆪK  s  f  x  sh  ds   f  x   o  h   �           n �h



1 �1 � K           n �h 

Jika 

E  Kh  x  X    f  x   o  h 

2 2

 f  x  o  h    f  x  o  h 

2

� �

 dari persamaan (4.4) dan 

K  s  f  x  sh  ds  � K  s  ds  f  x   o  h    � 2

2

K

2 2

 f  x  o  h  .

  Sehingga   untuk

  nh

 

diperoleh �^ � 1 Var �f h  x  � K � � nh

2 2

�1 � f  x  o � � �nh � .

Variansi nilainya akan menurun jika dipilih nilai  h  yang besar. Variansi yang minimum dapat  diperoleh dengan menaikkan nilai h. Hal ini kontradiksi dengan bias yang mempunyai nilai minimum  jika nilai  h  kecil. Nilai  h  yang terlalu besar akan menyebabkan estimasi densitas yang terlalu mulus.  Sedangkan   nilai  h  yang   terlalu   kecil   akan   menyebabkan   estimasi   densitas   yang   tidak   mulus.   Nilai  minimum MSE terhadap  h  merupakan langkah untuk mengatasi permasalahan tersebut karena MSE  ^

merupakan jumlahan dari bias kuadrat dan variansi. Melalui pendekatan bias dan variansi dari 

f h  x

 

diperoleh 2 h4 2 �1 � �^ � �1 � MSE �f h  x  � � �f  x  K 2   f "  x   2  K    o  h 4   o � � 4 � � �nh � �nh �

dan 4 2 2 �1 � �^ � �1 � 2 h MISE �f h  x  � � �K 2   2  K   f " 2  o  h 4   o � � 4 � � �nh � �nh �

untuk  h

0  dan  nh

.

�1 � o  h4   o � � �nh �  diabaikan, maka didefinisikan sebagai  Jika bagian yang berorder tinggi, yaitu   asymptotic mean squared error (A­MISE), yaitu 4 2 2 �^ � �1 � 2 h A  MISE �f h  x  � � �K 2   2  K   f " 2 4 � � �nh � .

Bandwith  

hopt

  dapat   diperoleh   dengan   menurunkan   A­MISE   terhadap   parameter  h,   sehingga 

didapatkan 4 2 � � � 2� � ^ � �1 � 2 h A  MISE f x K  2  K   f " 2 �    � � � � � 2 �h � 4 �nh � � � � �ᆪ � � ᆪh ᆪh 2 2 �1 � 2 ᆪ  � 2 �K 2  h3  2  K   f " 2 �nh �                                   

� � � ^ � ᆪ �A  MISE �f h  x  � � � � � � ᆪ h karena   fungsi  f  kontinu   dan  diferensiabel,   maka   meminimumkan     dilakukan  � � � ^ � ᆪ �A  MISE �f h  x  � � � � � � ᆪh dengan membuat nilai   menjadi nol sehingga diperoleh � � � ^ � ᆪ �A  MISE �f h  x  � � � � � � 0 ᆪh 2 2 �1 � 2  � 2 �K 2  h3   2  K   f " 2  0      �nh �

�1 � � 2 �K �nh �

  

2 2

 h3   2  K  

2

1 2 K 2 h5  2 n 2  2  K  f '' 2

2

f"2

. 1

hopt                   

2 5 1 � � K 2  � �  ᆪn 5 � f " 2  2  K   2 n � � 2 � .

Bandwidth optimal digunakan untuk mengestimasi fungsi densitas data sehingga diperoleh estimator  fungsi densitas kernel.

4.3 Estimator Densitas Kernel Magnitude Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai 

hopt

 untuk data magnitude 

5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus   70 km adalah  hopt   598 



1 5

 0,278394

.

Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel magnitude 5.0­6.9 sR  dan kedalaman fokus  ᆪ  70 km sebagai berikut 598 1 � x  Xi � fh  x   K� ¥ 166, 479612 i=1 �0,278394 � � ^

                (4.6)

Data diolah menggunakan software S­Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran. 

Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian 

K  x 

�1



 x2 � 1 � e� 2 � 2  pada data gempa tektonik di 

Pulau Jawa­Bali dengan magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus     70 km menghasilkan grafik  estimasi densitas kernel pada Gambar 4.3.

Gambar 4.3. Estimasi Densitas Kernel Gaussian Magnitude dengan h = 0.278394. Dari Gambar 4.1, dapat dilihat bahwa data berkelompok pada magnitude 5.0­5.5 sR. Hal ini  berarti bahwa sebagian besar gempa tektonik yang terjadi di pulau Jawa­Bali pada tahun 1964­2005  mempunyai   estimasi   magnitude   sebesar   5.0­5.5   sR.   Estimasi   densitas   kernel   untuk   magnitude  ^ �^ � MSE �f h  x  � 0.76587113 � � mempunyai nilai  MSE  sebesar   . Kesimpulan tersebut didukung oleh nilai 

probabilitas pada interval tertentu.

Jumlah observasi yang berada dalam suatu interval  P  a  x ᆪ b 

 a, b  dihitung sebagai

b ^

f h  x  dx

a

.

Densitas juga menginformasikan letak observasi berkelompok maupun pada interval mana obsrevasi  muncul dengan frekuensi relatif tertinggi.     Tabel 4.1. Nilai frekuensi relatif magnitude

 

Interval (sR) Frekuensi relatif 5.0­5.5  0.9270253 5.5­6.0  0.1511449 6.0­6.5  0.0144826 6.5­6.9  0.0018517 Dari Tabel 4.1 nilai frekuensi relatif yang terbesar terletak di antara nilai magnitude 5.0­6.9 sR.

4.4 Estimator Densitas Kernel Banyak Kejadian Gempa Tiap Bulan Estimator densitas kernel didefinisikan dalam persamaan (4.1). Nilai  

hopt

  untuk data banyak 

kejadian gempa tiap bulan adalah  hopt   504 



1 5

 0,288081

.

Oleh karena itu dari persamaan (4.3) dapat dibentuk estimator densitas kernel banyak kejadian gempa  tiap bulan sebagai berikut ^

fh  x  =

504 1 � x  Xi � K� ¥ 145,192824 i=1 �0,288081 � �

    (4.7)

Data diolah menggunakan software S­Plus 3.2 dengan langkah yang disajikan dalam lampiran.  �1



 x2 � 1 � �2 � K  x  e 2 Estimasi densitas kernel dengan fungsi kernel Gaussian   pada data gempa tektonik 

di Pulau Jawa­Bali untuk data banyak kejadian gempa tiap bulan menghasilkan grafik estimasi densitas  kernel pada Gambar 4.4.

Gambar 4.4. Estimasi Densitas Kernel Gaussian banyak kejadian gempa   dengan h = 0.288081. Dari Gambar 4.4 menunjukkan bahwa data berkelompok untuk banyak kejadian gempa antara  0­26 kali. Hal ini berarti bahwa setiap bulannya pada tahun 1964­2005 di pulau Jawa­Bali terjadi gempa  sebanyak 0­26 kali. Estimasi densitas kernel untuk banyak kejadian gempa tiap bulan mempunyai nilai  ^ �^ � MSE �f h  x  � 0.023011868 � � MSE sebesar .

Tabel 4.2. Nilai frekuensi relatif untuk banyak kejadian gempa tiap bulan Interval frekuensi relatif 0­0.29 0.0824511 0.71­1.29 0.1951342 1.71­2.29 0.1539087 2.71­3.29 0.1484119 M M 22.71­23.29 0.005495344 25.71­26.29 0.002747672 34.71­35.29 0.002747672 175.71­176.29 0.002747672 Dari Tabel 4.2 terlihat bahwa semakin besar nilai intervalnya maka probabilitasnya semakin kecil dan  mendekati nol. Sehingga dapat disimulkan bahwa setiap bulannya terjadi gempa sebanyak 0­26 kali  densitas gempa adalah 1. menyeleksi data gempa yang mempunyai magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus   70 km, 2. menghitung banyak kejadian gempa tiap bulan, 3. estimasi fungsi densitas magnitude gempa dengan kernel Gaussian, 4. estimasi fungsi densitas banyak kejadian gempa tiap bulan dengan kernel Gaussian, 5. penarikan kesimpulan dan interpretasi dari estimasi fungsi distribusi yang diperoleh.

F  x 

x

f  t  dt



.

Definisi 2.7.  Jika X suatu variabel random kontinu dengan fungsi densitas probabilitas f(x), maka   harga harapan dari X didefinisikan sebagai E X  



ᆪxf  x  dx

ᆪ

.

Definisi 2.8. Variansi dari variabel random X adalah  2 Var  X   E �  X   � � �.

Teorema 2.1. Variansi dari variabel random X dinyatakan dengan

Var  X   E  X 2    E  X    E  X 2    2 2

.

Variansi merupakan suatu ukuran dari keragaman atau penyebaran di dalam distribusi dari variabel   random. 2.1.2 Sifat­sifat Estimator Diberikan definisi tentang statistik, estimator tak bias, estimator bias, dan MSE.

Definisi   2.9.  Statistik  

T  t  X 1 , X 2 ,K , X n 

disebut estimator dari  

  

  dan nilai dari statistik  

Selanjutnya estimator T dinotasikan dengan 

  

 

  



  yang   digunakan   untuk   mengestimasi   nilai   dari  

  

t  t  x1 , x2 ,K , xn 

  disebut estimasi dari  

.

^

Definisi 2.10.  Misal      adalah ruang parameter. Estimator      dikatakan sebagai estimator tak bias   dari 

  

 jika �^ � E�  �     ��

   untuk semua   � . Jika tidak demikian,    dikatakan sebagai estimator bias dari  . ^

^

Definisi 2.11. Jika    adalah estimator dari 

  

, maka bias dinyatakan dengan 

�^ � �^ � b�  � E �  �     �� �� ^

dan mean square error (MSE) dari    dinyatakan dengan 2

�^ � �^ MSE �  � E �      � � �� � �   .

^

Teorema 2.2 Jika    adalah estimator dari 

  

, maka

^ 2 �^ � MSE �  � Var � � b  � � � � � � �� �� .

MSE merupakan jumlahan dari variansi dan bias kuadrat serta digunakan sebagai ukuran keakuratan  suatu estimasi. 2.1.3 Estimasi Densitas Kernel Menurut Menardi [6], estimator fungsi densitas kernel untuk estimasi nilai densitas 

f  x

 pada 

titik x didefinisikan sebagai berikut ^

f h  x 

1 n 1 n �x  X i � K x  X    ¥h ¥K � � i n i 1   nh i 1 � h �

dengan K disebut fungsi kernel dan h adalah bandwith. Salah satu fungsi kernel yang sering digunakan adalah kernel Gaussian. Bentuk kernel Gaussian  adalah sebagai berikut �1



 x2 � 1 � K  x  e� 2 � 2 .

2.2 Kerangka Pemikiran Karakteristik   dari   suatu   variabel   random  X  dapat   diketahui   melalui   fungsi   densitas  probabilitasnya. Estimasi dari fungsi densitas yang tidak diketahui dapat dilakukan melalui pendekatan  nonparametrik yaitu menggunakan kernel. Estimasi  fungsi densitas kernel tergantung pada pemilihan  lebar jendela h dan fungsi kernel K. Estimasi  fungsi densitas yang diperoleh akan diterapkan pada data  magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik di Jawa­Bali.

BAB V PENUTUP

5.1

Kesimpulan

Berdasarkan uraian dalam pembahasan diperoleh kesimpulan tentang estimasi fungsi densitas  magnitude dan banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan di Jawa­Bali sebagai berikut.  1. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk magnitude 5.0­6.9 sR dan kedalaman fokus    70 km adalah  DAFTAR PUSTAKA

[1]   Bain,   L.   J.   and   M.   Engelhardt,  Introduction   to   probability   and   mathematical   statistics,   2   ed.,  Duxbury Press Belmont, California, 1992. [2] Hardle, W., Smoothing techniques with implementation in S, Springer­Verlag,  New York, 1990. [3]   Hutagalung,   R.,  Prediksi   tentang   gempa­tsunami   di   Bali,   http://   www.   dbriptek.   ristek.   go.  id/cgi/gempa, 2007. [4]   Lea,  Menguak   misteri   gempa   di   pulau   Jawa,  www.technologyindonesia.com/   downlodphp? file=Gempa, 2008. [5]   Lee,   W.   H.   K.   and   S.   W.   Steward,  Principles   and   applications   of   microearthquake   networks,  Academic Press, Inc., New York, 1981. [6] Menardi, G., Variable kernel density function, http://geovani.menardi.net/ variable   kernel density  function.spontanee%202006_579_582.pdf, 2008. [7] Waluyo, Gempa, Hand out kuliah, Geofisika, UGM, Jogjakarta, 2006. [8] Richter magnitude scale, http://en.wikipedia.org/wiki Richter magnitude scale, 2008. ^

fh  x  

598 1 � x  Xi � K� ¥ 166, 479612 i=1 �0,278394 � �.

Menurut plot estimator fungsi densitas magnitude gempa tektonik yang terjadi di Jawa­Bali  pada tahun 1964­2005 mempunyai estimasi magnitude antara 5.0­5.5 sR. 2. Estimator fungsi densitas kernel Gaussian untuk banyak kejadian gempa tektonik tiap bulan  adalah 

^

fh  x  =

504 1 � x  Xi � K� ¥ 145,192824 i=1 �0,288081 � �.

Menurut plot estimator fungsi densitas untuk banyak kejadian gempa tiap bulan yang terjadi di  Jawa­Bali pada tahun 1964­2005 mempunyai estimasi frekuensi terjadi gempa sebesar 0­26 kali  tiap bulan. 5.2

Saran

Dalam   tulisan   ini   penulis   mengkaji   tentang   estimasi   fungsi   densitas   dengan   menggunakan  kernel Gaussian. Kepada pembaca yang ingin mengembangkan estimasi densitas, penulis memberikan  saran  menggunakan estimasi densitas kernel menyesuaikan (Adaptive Kernel Density Estimation) atau  menggunakan histogram WARPing untuk membandingkan metode mana yang lebih baik.

View more...

Comments

Copyright � 2017 NANOPDF Inc.
SUPPORT NANOPDF