estimation - Université Paris 8

Master 1

I

ESTIMATION

Mars 2009

INTRODUCTION

Dans son livre, ”Le jeu de la science et du hasard”, Daniel Schwartz, cite cette anecdote d'un anglais qui débarque à Calais et qui apercevant une femme rousse, conclut :”Tiens, les françaises sont rousses”....Nous rions de son erreur, mais bien souvent nous avons du mal à l'éviter ; il cite lui même le cas d'un ami mathématicien, qui le rencontre à Paris un samedi et lui dit :”..Tu ne vas plus à la campagne le samedi ?” ; plus loin il imagine un chirurgien, auteur d'une nouvelle technique opératoire qui écrit aux 1000 premiers patients qui en ont béné ciée ; il reçoit 100 réponses : 75 sont très satisfaits, 25 non ; il évalue donc la proportion de succès à 75%, à partir de cet échantillon. Cependant le doute le saisit : que sont devenus les 900 autres patients, qui n'ont pas répondu ? Réponse : ils sont morts des suites de l'opération....No comment. On comprend donc le problème qui se pose : on est souvent amené à décrire une population à partir d'un échantillon, soit parce que tester la population entière est impossible, on ne peut interroger chaque électeur sur ses intentions pour construire un sondage, soit parce que le test peut détruire l'échantillon ; on voit mal un fabriquant d'ampoules tester leur durée de vie en les laissant toutes allumées jusqu'à leur usure complète. C'est l'objet de l'induction ; les statisticiens appellent inférence la démarche qui consite à passer du particulier, c'est-à dire de l'échantillon, au général, c'est-à dire à la population-mère. Les tests statistiques permettent de saisir les éffets des uctuations d'échantillonnage et de répondre à la question fondamentale : que valent les informations issues d'un échantillon ? permettent-elles de décrire la population ? Ainsi se pose de façon cruciale le choix de l'échantillon, et notamment la construction d'un échantillon représentatif de la population. On ne peut pas tester la population française par les personnes dont le nom commence par un A;ou les étudiants d'un certain cours ni en prenant ceux du premier rang ( quand il y en a..) ni ceux du dernier rang. Ces échantillons évoqués sont dits ”biaisés”, en ce sens qu'ils diffèrent systématiquement de la population ; ils ne sont pas représentatifs. La seule façon satisfaisante du point de vue théorique, pour éviter le biais, est que l'appartenance d'un élément à l'échantillon ne dépende en aucun cas d'une caractéristique de cet élément (première lettre du nom, place dans l'amphithéâtre,..), mais provienne uniquement du hasard, d'un tirage aléatoire, où chaque individu a la même probabilité d'être choisi. Si l'on veut tester si la soupe est correctement salée, et si elle a été bien mélangée, on aura la même conclusion en goûtant dans la marmite, ou dans l'assiette de quelqu'un. Dans de nombreux sondages, on utilise un échantillonnage plus sophistiqué que le tirage au sort : on procède par strates, en xant à l'avance le nombre d'individus qui devront avoir tel âge, sexe, catégorie socio-professionnelle, etc. Mais à l'intérieur de chaque sous-groupe, les individus retenus devront résulter d'un tirage au sort. La statistique est basée sur le fait que les données observées sont des réalisations de variables aléatoires ; ainsi les n valeurs observées dans une population constituent n réalisations indépendantes d'une variable aléatoire X suivant une loi de probabilité P; ou une réalisation du n-uplet (X1; X2; :::; Xn ) où les Xi sont des variables aléatoires indépendantes et de même loi, P ( i:i:d: indépendantes et identiquement distribuées). On note (x1; x2; :::; xn ) un échantillon de taille n ou par extension (X1; X2; :::; Xn ) : Par exemple, si l'on désire tester la durée de vie d'une ampoule dans une population de taille 10000; un échantillon de taille 10 sera noté (X1; X2; :::; X10 ) ; où X1 est la durée de vie de l'ampoule N 1; etc. Si l'expérience nous donne pour la première ampoule une durée de vie de 500 heures, alors x1 = 500: A partir de notre échantillon, nous pourrons calculer diverses caractéristiques, comme la moyenne de l'échantillon, et nous chercherons à estimer la moyenne inconnue de la population. Pour estimer un paramètre inconnu d'une population, on peut se xer deux types d'objectifs : soit rechercher une estimation sous la forme d'un nombre et on parle alors d'estimation ponctuelle, soit rechercher un intervalle qui contienne le paramètre inconnu, avec un risque d'erreur consenti, et on parle alors d'intervalle de con ance (fourchette).

II ECHANTILLONS Nous supposerons dans la suite que l'on procède à un échantillonnage aléatoire, c'est-à dire que tous les individus d'une population de taille N ont été numérotés et que l'on a tiré au sort n ( n < N ) nombres parmi les entiers de 1 à N; pour constituer un échantillon aléatoire de taille n: On peut effectuer le tirage de deux façons donnant lieu à deux types d'échantillons. 1. Un échantillon est dit exhaustif (du latin ”épuiser”, au sens épuiser toutes les possibilités), s'il est constitué sans remise et non exhaustif s'il est constitué avec remise. 2. Dans le cas d'un tirage non exhaustif (avec remise), il y a indépendance entre les tirages. 3. Dans le cas d'échantillons exhaustifs constitués à partir d'une population nie de taille N; il n'y a pas indépendance. On dé nit alors n le taux de sondage T = : Si le taux de sondage est suf samment petit ( T 0:05), on peut assimiler (comme dans la situation N d'un schéma de Bernoulli) un échantillon exhaustif à un ensemble de valeurs résultant de tirages indépendants. 4. Convention : les résultats énoncés dans ce chapitre supposent par défaut que les échantillons considérés sont soit non n exhaustifs soit exhaustifs avec un taux de sondage : T = inférieur ou égal à 5%: N Dans le cas contraire, pour des populations nies, de taille N; si n 0:05N; on devra utiliser un correctif qui sera précisé. page 1

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2

III ESTIMATION PONCTUELLE

1. ESTIMATEUR Supposons que lors d'un concours comportant 1000 candidats, on ait corrigé 100 copies. Si notre échantillon de 100 copies a pour moyenne 10:85; cette valeur numérique constitue une estimation "naturelle" de la moyenne inconnue de la population des copies. Dé nition : considérons une population et un paramètre inconnu de cette population (par exemple sa moyenne). Un estimateur est une fonction f qui à chaque échantillon tiré au hasard, (X1; X2; :::; Xn ) associe un nombre, f (x1; x2; :::; xn ) qui constitue une estimation du paramètre : L'estimateur est noté b ; c'est une variable aléatoire qui dépend de l'échantillon. c = X1 + X2 + ::: + X100 et m b = 10:85 une Dans notre exemple précédent un estimateur de la moyenne m des notes est : M 100 estimation de cette moyenne. On aurait pu prendre comme estimateur la médiane des Xi ( i variant de 1 à 100); ou encore tout simplement la note de la première copie tirée au hasard. On comprend que ces différents estimateurs ne sont pas équivalents et l'on va dé nir diverses caractéristiques d'un estimateur de façon à choisir celui qui permettra d'obtenir une estimation la plus proche possible du paramètre inconnu. 2. BIAIS On appelle biais d'un estimateur b, la différence E b et négatif dans la cas contraire. On notera que la variable aléatoire b

; entre l'espérance de b et : Le biais est positif si b tend à surestimer

qui représente l'erreur d'estimation s'écrit : b

= b E b +E b ; le premier | {z } | {z } terme représentant les uctuations de b autour de son espérance (erreur aléatoire) et le deuxième terme représentant le biais (erreur systématique). On cherchera des estimateurs sans biais, en gardant à l'esprit l'importance d'autres critères comme la variance.

3. ESTIMATEUR SANS BIAIS a. Un estimateur b est sans biais si E b = :

En clair, la moyenne des valeurs de l'estimateur dans tous les échantillons de même taille est égale à la valeur du paramètre dans la population. X1 + X2 + ::: + Xn Exemple important : l'estimateur X = qui à un échantillon de taille n associe la moyenne de l'échantillon n est un estimateur sans biais de la moyenne m de la population.

b. Les grands échantillons : un estimateur b est asymptotiquement sans biais si lim E b = : n!+1

Exemple : on considère que le temps d'attente X entre deux rames de métro est une variable aléatoire qui suit une loi uniforme sur un intervalle [a; b] ; les bornes a et b étant inconnues. Soient X1 ; X2 ::; Xn un échantillon de n valeurs mutuellement indépendantes et Z = M in(X1 ; X2 ::; Xn ) un estimateur de a: On admet que E (Z) = na+b n+1 : Z est-il biaisé ?

4. ESTIMATEUR EFFICACE On notera qu'un estimateur sans biais n'est pas une garantie d'obtenir une estimation de satisfaisante ; si la variance de b est grande, on peut se trouver assez malchanceux avec l'échantillon prélevé et obtenir une estimation éloignée de : Il est donc important que la variance de b soit aussi faible que possible. a. Dé nition : b est un estimateur ef cace de s'il est sans biais et s'il possède la variance la plus faible des estimateurs sans biais. On parle de meilleur estimateur sans biais (BUE : best unbiased estimator). b. Si b1 et b2 sont deux estimateurs sans biais, on dira que b1 est plus ef cace que b2 si V b1 < V b2 :

c. Estimateur linéaire : on a vu que X = n1 X1+ n1 X2 + ::: + n1 Xn est un estimateur de la moyenne de la population ; cet estimateur est linéaire car c'est une combinaison linéaire des observations de l'échantillon, du type : b = a1 X1+ a2 X2 + ::: + an Xn :

d. Estimateur BLU E ( best linear unbiased estimator) : un estimateur BLU E est un estimateur linéaire sans biais de variance minimale. On peut néanmoins trouver un estimateur non linéaire plus ef cace qu'un estimateur BLUE.

5. ERREUR QUADRATIQUE MOYENNE Un estimateur sans biais peut avoir une grande variance et pose alors un problème : si b1 est un estimateur sans biais de et si b2 est un autre estimateur légèrement biaisé, mais avec V b2 < V b1 ; quel estimateur choisir ? On dé nit la précision d'un estimateur en mesurant sa dispersion autour de la vraie valeur inconnue de : a. Dé nition : l'erreur quadratique moyenne est dé nie par : EQM = E b. Relation entre erreur quadratique et biais :

2

b

2

:

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E E

b

b

2

b

=E 2

E b

+2E

h 2

=V b + E b

2

E b +E b

=

i E b E b +E h i car E b E b = 0 et E b b

E b

2

est une constante.

En conclusion : l'erreur quadratique moyenne est la somme de la variance de b et du carré du biais : 2

b

E

2

=V b + E b

c. Remarque : pour un estimateur sans biais, l'erreur quadratique moyenne est la variance, car E b = :

6. ESTIMATEUR ET GRANDS ECHANTILLONS CONVERGENT Un estimateur b est dit convergent (vers ) si b converge vers quand n tend vers l'in ni, c'est à dire si la probabilité que b s'écarte de tend vers 0 quand n tend vers l'in ni : quel que soit " > 0; lim P b = 0: n!+1

L'ensemble des valeurs que peut prendre l'estimateur dans tous les échantillons de même taille doit se ressérer autour de la valeur du paramètre de la population, quand la taille de l'échantillon augmente. On notera que si b est un estimateur convergent, alors g b constituera un estimateur convergent de g ( ) ; pour toute fonction g de R dans R continue.

7. Echantillonnage de la moyenne (sur un exemple) a. Exemple : Soit une population de 5 étudiants dont les notes à un examen de statistique sont les suivantes : 1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 (sur 10). Considérons l'expérience aléatoire qui consiste à prélever un échantillon aléatoire (sans remise) de taille n ( n = 2 ou 3 ou 4 dans les calculs qui suivent) et notons X n la variable aléatoire, appelée moyenne d'échantillon qui à chaque échantillon de taille n associe sa moyenne. Calculons ensuite l'espérance de X n . Cela suppose d'exhiber tous les échantillons, de calculer leurs moyennes respectives et d'effectuer la moyenne de ces moyennes. On a calculé par ailleurs, la moyenne = 5 et la variance 2 = 10:8 de la population. i. Echantillons de taille 2, sans remise : 1 Il y a A25 = 20 échantillons de taille 2 ayant tous la même probabilité, ; d'être choisis. Il y a 20 moyennes à calculer, en 20 fait 10;car les échantillons (1; 2) et (2; 1) ; par exemple, ont la même moyenne. Echantillons et moyennes

(1; 2) (1; 5) (1; 7) (1; 10) (2; 5) (2; 7) (2; 10) (5; 7) (5; 10) (7; 10) (2; 1) (5; 1) (7; 1) (10; 1) (5; 2) (7; 2) (10; 2) (7; 5) (10; 5) (10; 7) : 1:5 3 4 5:5 3:5 4:5 6 6 7:5 8:5 On peut alors donner la distribution d'échantillonage de la moyenne (modalités xi et effectifs ni ). xi ni

1:5 2

3 2

3:5 2

4 2

5:5 2

4:5 2

6 4

7:5 2

8:5 2

2 1:5 + 2 3 + 2 4 + 2 5:5 + 2 3:5 + 2 4:5 + 4 6 + 2 7:5 + 2 8:5 La moyenne des xi est : E X 2 = = 5: 20 On note que 5 est la moyenne de la population. ii. Echantillons de taille 3 (sans remise) : Il y a A35 = 5 4 3 = 60 échantillons, on en exhibe 10, chacun en donnant 6 par permutation. TAILLE

Ech. xi

(1; 2; 5) 2:7

(1; 2; 7) 3:3

(1; 2; 10) 4:3

(1; 5; 7) 4:3

(1; 5; 10) 5:3

3

(1; 7; 10) 6

(2; 5; 7) 4:7

(2; 5; 10) 5:7

(2; 7; 10) 6:3

(5; 7; 10) 7:3

On trouve pour la moyenne des échantillons de taille 3 : E X 3 = 5 Bilan échantillons exhaustifs : TAILLE

E X2 5

2

TAILLE

V X2 4:05

E X3 5

3

TAILLE

V X3 1:8

E X4 5

4

V X4 0:675

iii. Echantillons non exhaustifs de taille 2 : Il y a 52 = 25 échantillons de ce type. TAILLE

(1; 2) (2; 1) (1; 1)

(1; 5) (5; 1) (2; 2)

(1; 7) (7; 1) (5; 5)

(1; 10) (10; 1) (7; 7)

(2; 5) (5; 2) (10; 10)

2

(2; 7) (7; 2)

(2; 10) (10; 2) page 3

(5; 7) (7; 5)

(5; 10) (10; 5)

(7; 10) (10; 7) |

E X 5

TAILLE

{z

V X 5:4

2 AVEC REMISE

}

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4 iv. Conclusion :

On a constaté sur tous nos exemples que la moyenne des moyennes est égale à celle de la population, mais que la variance des moyennes est plus petite que celle de la population et qu'elle diminue avec la taille de l'échantillon.

IV DISTRIBUTION D'ECHANTILLONAGE DE LA MOYENNE 1. Notations Soit une population de taille N (ou in nie) sur laquelle est dé ni un caractère quantitatif noté X ayant dans cette population pour moyenne et pour écart-type . En prélevant au hasard un échantillon de taille n, nous créons une suite de n variables aléatoires indépendantes, de même distribution que X; notées X1 ; X2 ; :::; Xn et prenant respectivement pour valeurs les valeurs prises par X sur chacun des n individus de l'échantillon. 2. Dé nition On dé nit la variable aléatoire notée X n , appelée moyenne d'échantillon et dé nie par : X1 + X2 + ::: + Xn Xn = n Nous allons déterminer la moyenne, la variance et l'écart-type de la moyenne d'échantillon. 3. Espérance Par linéarité dePl'espérance, on a : E (Xi ) ;mais E (Xi ) = et donc E X n = n1 n = : E X n = n1 La moyenne d'échantillon est un estimateur sans biais de la moyenne de la population. La moyenne de la variable aléatoire X est toujours égale à la moyenne de la population mère, celle d'où l'échantillon a été prélevé. 4. Variance et écart-type X1 + X2 + ::: + Xn 1 = 2 V (X1 + X2 + ::: + Xn ), de plus les variables Xi étant indépendantes la variance est V Xn = V n n P 1 X n = p : On note que additive et on a : V X n = n12 V (Xi ) = n1 2 car V (Xi ) = V (X) = 2 ; on en déduit : n l'écart-type de la variable X diminue quand la taille n de l'échantillon augmente, en clair plus la taille de l'échantillon est grande, plus X n "se concentre" autour de la moyenne de la population. 5. A retenir : Si l'on extrait d'une population d'espérance et d'écart-type une variable aléatoire de moyenne et d'écart-type p : n

un échantillon de taille n; la moyenne de cet échantillon est

2

E Xn =

V Xn =

n

Xn = p

n

6. Flash-Back : TCL Le théorème central limite permet d'af rmer que la distribution de la moyenne d'échantillon tend vers une loi normale au fur et à mesure que la taille n de l'échantillon augmente et ce sans aucune hypothèse sur la loi parente (loi de la population). Si la loi parente a pour moyenne et pour écart-type, la moyenne d'échantillon de taille n; notée X n ; suit approximativement la loi N

;p

n

: L'approximation est jugée satisfaisante lorsque la taille de l'échantillon est d'au moins 30:

Pratique : si l'on note Z =

Xn

; la probabilité P (a

Z

b) a pour valeur approchée F (b)

F (a) ;quand n est assez grand,

p

n F désignant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 7. Petits échantillons ( n < 30) : distribution de Student Dans le cas de petits échantillons, nous devrons supposer que la loi de la population est normale, pour af rmer que la moyenne d'échantillonage suit une loi normale. Mais il subsite un problème : l'estimation de par S n'est pas able, car elle varie trop d'un échantillon à l'autre ; le TCL ne s'applique pas et on doit utiliser la distribution de Student (W.S.Gosset, statisticien qui travaillait dans la brasserie irlandaise Guiness). Rappel : Si l'échantillonnage s'effectue à partir d'une population normale La variance 2 est inconnue La taille de l'échantillon est petite ( n < 30). alors : X T = suit une loi de Student à = n 1 ddl (degré de liberté). cf exemple intervalle de con ance 3c. S p n 4 UFR14

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8. Exercice a. Une machine automatique produit des pièces dont le poids moyen est de 5 g avec un écart-type de 0:25g. Le contrôle de qualité fait prélever 100 pièces. Calculer la probabilité que la moyenne d'un échantillon de taille 100 soit inférieure ou égale à 5:01g: (réponse : 65:54%) b. Déterminons un intervalle centré sur la moyenne tel qu'on puisse af rmer qu'avec une probabilité de 95% cet intervalle contient le poids moyen. Solution : l'intervalle que nous cherchons est dé ni par : z0:025 Z z0:025 ; avec P (Z z0:025 ) = 97:5; ce qui donne X X : z0:025 = 1:96, 1:96 X + 1:96 p soit ici : 1:96 soit 1:96 1:96 soit X 1:96 p n n p p n n 0:25 0:25 soit l'intervalle : [4: 951 ; 5: 049] : On attribue à cet intervalle le niveau de con ance de 5 + 1:96 p 5 1:96 p 100 100 95% de contenir la vraie valeur de ; ce qui signi e que pour 95% des échantillons de taille 100 prélevés dans cette population la moyenne de la population se trouve dans l'intervalle calculé (on dit aussi 19 fois sur 20): 9. On a établi précédemment que : E X n = (moyenne de la population).

et

1 Xn = p ; on en déduit que X n est un estimateur (ponctuel) sans biais de n

10. Trois estimateurs à connaître : Moyenne, Variance et proportion. a. Moyenne : Le problème est réglé : X n est un estimateur ponctuel sans biais de l'échantillon).

et l'estimation sera notée : b = X n (moyenne de

b. Variance et Ecart-type : i. Estimateur sans biais Si on note S 2 un estimateur sans biais de la variance, on attend de lui : E S 2 = 2 . On est tenté de penser que la 1P 2 Xi X n ; pourrait tenir ce rôle, mais cet estimateur est "biaisé" ; si l'on extrait de nombreux variance d'échantillon, n échantillons d'une population de variance 2 , on constatera qu'en moyenne la variance d'échantillon sera inférieure à la vraie valeur 2 : On démontre que la moyenne des variances de tous les échantillons de taille n n'est pas la variance de la population. 1 P 1P 2P 1P 2 2 2 2 Xi X n = (Xi ) Xn = (Xi ) + Xn (Xi ) Xn On a : n n n n P 1P 2 1P 2 2 2 2 soit en développant : (Xi ) + Xn Xn (Xi )= (Xi ) Xn ; il reste n n n 1P 1P 2 2 à prendre l'espérance des deux membres, et à utiliser la linéarité : E Xi X n = E (Xi ) n n 2 2 1P 2 n 1 2 2 E Xn = = 2 = ; on corrige ce biais en posant : n n n n n 1P 1 P n n 1 2 2 2 S2 = Xi X n = Xi X n et on a alors : E S 2 = = 2: n 1 n n 1 n 1 n On doit retenir : Un estimateur sans biais de la variance de la population est la variance d'un échantillon aléatoire de taille n dé nie par : 1 X 2 S2 = Xi X n n 1 1P n 2 2 2 xi X n désigne la variance calculée qui donne comme estimation de la variance : S 2 = n où n = n n 1 r n sur l'échantillon ; on obtient comme estimation de l'écart-type : S = n . n 1 On note que S >

n:

ii. Calculatrice La calculatrice statistique fournit à partir de données d'un échantillon, l'écart-type de l'échantillon, noté tions n ) et l'estimation de l'écart-type de la population, notée SX (avec nos notations s). Rentrer dans une liste l'échantillon der taille 3; (10 ; 20 ; 50)r; dans le menu Calcul 1variable on obtient : 3 3 SX ' 20:8167 ; on véri e que SX ' ' 20:816 6: X ' 16:9967 2 2

X

(avec nos nota-

X

= 16:9967 et

iii. Exercice corrigé Par un sondage effectué auprès d'un échantillon de 178 cadres supérieurs, on a obtenu un revenu annuel moyen de 41854 e, avec un écart-type de 7684 e, l'objectif étant d'estimer le revenu annuel de tous les cadres supérieurs. Estimer ponctuellement le salaire moyen et l'écart-type du salaire moyen des cadres de la population. page 5 UFR14

ESTIMATION

6

Corrigé : On sait que le salaire moyen de l'échantillon est un estimateur sans biais du salaire moyen de la population, donc on estimera le salaire moyen de la population par : E X = 41854 ; on prend comme estimateur de la variance de la population, S 2 ; la r r n n 178 2 2 variance d'échantillon dé nie par : S = 7684 = 7705: 68 n = n et donc pour l'écart-type : S = n 1 n 1 177 e c. Estimation d'une proportion On s'intéresse à la proportion p des individus d'une population ayant une caractéristique donnée. On démontre que p peut être estimée par pb; la proportion d'individus ayant cette caractéristique dans un échantillon de taille n; cet estimateur étant sans biais. d. BILAN :

Paramètre à estimer Moyenne : Variance :

2

Ecart-type proportion : p

Estimateurs X 1 P n 2 2 S2 = Xi X n = ; n écart-type calculé sur l'échantillon de taille n n 1 n 1 n r n S= n n 1 pb (proportion d'échantillon), avec E (b p) = p

V INTERVALLE DE CONFIANCE

1. Introduction 2. Les estimations ponctuelles ne fournissent pas d'information sur la précision des estimations, c'est-à dire qu'elles ne tiennent pas compte de l'erreur possible attribuable aux uctuations d'échantillonnage, or deux échantillons distincts donnent presque certainement des valeur différentes pour l'estimation. Il s'agit toujours d'estimer un paramètre inconnu, mais au lieu de lui attribuer une valeur unique en faisant appel à un estimateur ponctuel, de construire un intervalle aléatoire qui permette de ”recouvrir”, avec une certaine abilité, la vraie valeur du paramètre estimé. Cet intervalle aléatoire dépend de l'échantillon. Avant de prélever l'échantillon, on assigne à l'intervalle aléatoire une probabilité de contenir la vraie valeur de . On attribue souvent à cette probabilité, décidée au préalable, la valeur de 95%: Une fois l'échantillon prélevé, on obtient un intervalle xe (non aléatoire) auquel on attribue le niveau de con ance de 95%; de contenir la vraie valeur de : a. Niveau de con ance Si P (a b) = 1 ; cette probabilité notée (1 ) souvent exprimée en pourcentage s'appelle le niveau de con ance de l'intervalle. Ce niveau est décidé au préalable et peut être aussi élevé (proche de 100%) que l'on veut. On choisit souvent = 5%;ce qui donne un niveau de con ance de 95%: b. Le seuil de risque La probabilité ; exprimée en pourcentage, est appelée le niveau de risque. représente la probabilité de se tromper en af rmant que l'intervalle de con ance contient le paramètre : désigne la probabilité pour que l'intervalle que l'on détermine ne contienne pas la vraie valeur du paramètre. c. Le choix La détermination d'un intervalle de con ance nous place devant un choix dif cile : soit refuser un risque élevé, mais alors obtenir un intervalle "grossier" et de peu d'intérêt, soit accepter un risque élevé et obtenir un encadrement assez précis. On peut dire qu'avec un niveau de con ance de 100%;l'intervalle [0; 20] contiendra votre note de partiel....mais l'intérêt d'un tel résultat est faible.... d. Exemple : Soit X la variable aléatoire correspondant à la valeur hebdomadaire des achats de la ménagère de 50 ans... Supposons que l'intervalle de con ance à 95% soit ]455:10 ; 495:40[ et que l'intervalle de con ance à 99% soit ]448:73 ; 501:77[ ; cela signi e que 95% des échantillons de taille n donneront une valeur dans l'intervalle ]455; 10 ; 495:40[ et que 99% d'entre eux une valeur dans l'intervalle ]448:73 ; 501:77[ . On notera évidemment que plus le niveau de con ance exigé est grand, plus l'amplitude de l'intervalle est grande. 3. Intervalle de con ance d'une moyenne a. Ecart-type de la population connu Pour n 30 ;

z

=2

I= x

z

z

Z

étant calculé avec la loi normale : P

Rappel : P

z

=2

Z

z

=2

= 2F z

=2

=2

=2 p

z

n

;x + z

=2

=1

=2 p

n ; Z suivant la loi N (0; 1) ;

1 , F désignant la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite. 6 UFR14

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Master 1 On retiendra que pour réduite).

= 0:05; z

=2

= 1:96 (véri er dans la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée

b. Ecart-type de la population inconnu i. On commence par faire une r estimation ponctuelle S de l'écart-type n dans l'échantillon : S = n et on fait le même travail : n 1 I= X

z

S ;X + z n

=2 p

de la population, en utilisant

n

l'écart-type calculé

S n

=2 p

S n Remarque : p = p n n 1 ii. Exemple : reprenons le salaire des cadres (9biii) et cherchons une estimation du salaire moyen par un intervalle de con ance à 95%. Le théorème central limite nous dit que si n 30; la variable X a une distribution approximativement normale avec comme S paramètre la moyenne m de la population et comme écart-type estimé p = 577: 56; que nous avons déjà calculé. n Sn Sn m X + 1:96 p = 0:95: On a donc : P X 1:96 p n n Sn On appelle marge d'erreur la demi amplitude de l'intervalle : 1:96 p = 1:96 577: 56 = 1132: 02; ce qui donne un intervalle n de con ance : 41854 1132: 02 m 41854 1132: 02 soit : 40721: 98 m 42986: 02 Pour 95% des échantillons de taille 178, le revenu annuel moyen est au plus à 1132.02 e du revenu annuel moyen de tous les cadres. L'intervalle calculé nous donne raison 19 fois sur 20. c. Petit échantillon ( n < 30) prélevés dans une population normale S S i. I = X t =2; p ; X + t =2; p n n ii. Exemple : on a testé 25 enfants de 3 à 6 ans prélevés au hasard dans une population et on a relevé le temps X de réaction (en centième de seconde) à certains stimuli. on suppose que ce temps obéit à une loi normale. Déterminer un intervalle de con ance à 98%: S 19:09 On donne la moyenne d'échantillon X = 100:48 et l'écart-type d'échantillon, S = 19:09; ce qui donne p = = 3: 5 n 82 centièmes de seconde. =2 = 0:01 et = 24 ; la table donne t =2; = t0:01;24 ' 2:49; soit un intervalle de con ance : S S I = X t =2; p ; X + t =2; p = [100:48 2:49 3: 82 ; 100:48 + 2:49 3: 82] = [90: 97 ; 109: 99] . n n d. Fluctuation d'échantillonnage d'une proportion i. Introduction et notations On prélève au hasard un échantillon de grande taille d'une population dont les éléments possèdent dans une proportion p un caractère qualitatif. Sur cet échantillon de taille n;on observe une proportion que nous noterons pb d'éléments possèdant ce caractère ; pb est une estimation ponctuel de p et nous notons Pb l'estimateur de p: ii. Règle Si

nb p 5 n (1 pb) 5

la distribution de Pb est approximativement normale, sa moyenne est pb et son écart-type "

iii. Intervalle de con ance : I = pb

z

=2

r

pb (1 pb) ; bp + z n

=2

r

pb (1 pb) n

#

=

r

pb (1 pb) : n

e. Exemple : Un processus de fabrication produit en moyenne une proportion de 2:5% de transistors défectueux. Quelle est la probabilité pour que sur 200 transistors contrôlés, au moins 8 soit défectueux ? Corrigé : np = 200 0:025 = 5 5 et n (1 p) = r 200 0:975 = 195 5 ; on en déduit que la distribution de Pb est approximativement r 0:025 (1 0:025) pb (1 pb) ' 0 :0 110 ; on cherche la probabilité d'en avoir normale ;avec E Pb = 0:025 et (p) = = 200 n page 7 UFR14

ESTIMATION

8

au moins 8 sur 200; soit une proportion supérieur ou égale 4% . 0:04 0:025 Calculons la probabilité : P Pb 0:04 = P Z =1 0:0 110

F (1: 36) ' 1

0:9131 ' 0:0 869

f. Exercices : i. Sur 100000 naissances, on observe 51300 garçons. Déterminer un intervalle de con ance au seuil de 5% du taux de masculinité. Réponse : [0:5032; 0:5228] : ii. A la suite d'un sondage aléatoire, portant sur 1000 électeurs, une proportion de 31% de d'intentions de vote s'est dégagée en faveur du candidat X .Donner un intervalle de con ance à 95% du pourcentage des intentions de vote pour ce candidat dans l'ensemble de la population. Réponse : [0:281; 0:339]

VI LEARNING BY DOING 1. Reprendre l'exercice du salaire des cadres et donner un intervalle de con ance au seuil de 99%. Commenter. 2. Reprendre le même exercice avec un échantillon de taille 10000. Commenter. 3. "Pas facile de transmettre des valeurs à ses enfants" Il ressort d'un sondage réalisé auprès de 1009 parents au Québec, que 772 d'entre eux jugent dif cile de transmettre des valeurs durables à leurs enfants. 1. a. Estimer ponctuellement la proportion de parents trouvant dif cile de transmettre des valeurs durables à leurs enfants. b. Donner une estimation de cette proportion par un intervalle de con ance à 95%. Dans la pratique, on retient : Paramètre à estimer Moyenne : m Variance : proportion : p

Estimation calculée sur l'échantillon X n 2 Sn2 = ; n écart-type de l'échantillon de taille n n 1 n pb (proportion dans l'échantillon)

L'estimateur de la moyenne est sans biais et convergent : E X = m et V X = Pour l'écart type on a introduit un correctif car

2 n

n'est pas sans biais.

2

n

! 0 si n tend vers +1:

VIIRESUME : Intervalle de con ance VII.1 PROPRIETES I Il est centré sur la valeur de l'estimateur ponctuel calculé sur l'échantillon. I Il a une amplitude qui tient compte de l'erreur d'échantillonage. Ses bornes sont : estimation dépendant des uctuations de l'estimateur.

erreur d'échantillonage, cette erreur

I Il a un niveau de con ance, appelé seuil de con ance. Ce seuil, noté 1 ; est xé au départ ; il représente la probabilité que l'intervalle encadre le paramètre. plus le seuil est grand, plus la probabilité que l'intervalle contienne le paramètre estimé est grande. On prend souvent 1 = 0:95 (niveau de con ance 95%) : un intervalle de con ance au seuil 95%, signi e que si l'on prélève un grand nombre d'échantillon de même taille, 95% des intervalles de con ance calculés contiennent la vraie valeur du paramètre. VII.2 PRATIQUE 1. MOYENNE a. Ecart-type de la population connu Pour n 30 ; X avec : P

z

=2

Z

On retiendra que pour b. Ecart-type

z

=2

=1

z

=2 p

n

; X +z

=2 p

n

; Z suivant la loi N (0; 1) ;

= 0:05; t = 1:96 (véri er dans la table de la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite).

de la population inconnu

8

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ESTIMATION

Master 1

On commence par faire r une estimation ponctuelle Sn de l'écart-type n l'échantillon : S = n et on fait le même travail avec S : n 1 I= X

z

S ;X + z n

=2 p

de la population, en utilisant

n

l'écart-type calculé sur

Sn =2 p

n

S n Remarque : p = p n n 1 c. n < 30, population normale et écart-type

de la population inconnu

I= X

t

=2;

S p ;X + t n

=2;

S p n

2. PROPORTION Pour une population telle que :

nb p 5 , n (1 pb) 5 " r I = pb

z

=2

pb (1 pb) ; pb + z n

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=2

r

pb (1 pb) n

#

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