EX 1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note X

Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale

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E X 1 :( 3 points ) Une PME fabrique des boules de billard. On note X la variable aléatoire qui, à chaque boule prélevée au hasard dans la production, associe son diamètre (en millimètres). On suppose que X suit la loi normale d’espérance 61, 25 et d’écart-type 0, 2. 1.

a. Calculer, à 10−4 près, la probabilité P(X 6 61).

À la calculatrice

P(X 6 61) ' 0, 1056 à 10−4 près

b. Dans un lot de 200 boules de billard, à combien peut-on estimer le nombre de boules de diamètre inférieur à 61 millimètres ?. D’après la question précédente environ 10, 56% des boules ont un diamètre inférieur à 61 mm. Dans un lot de 200 boules, environ 2.

200 × 0, 1056 = 21, 12 ' 21 boules ont un diamètre inférieur à 61 mm.

a. Une boule est dite « de premier choix » si son diamètre (en millimètres) appartient à l’intervalle [61 ; 61, 5], sinon elle est dite « de second choix ». Calculer, à 10−4 près, la probabilité qu’une boule prélevée au hasard dans la production soit de premier choix. La probabilité qu’une boule soit de premier choix est P(61 6 X 6 61, 5) Avec la calculatrice, on obtient :

P(61 6 X 6 61, 5) ' 0, 7887 à 10−4 près

b. En déduire la probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix. L’événement « une boule est de second choix » est l’événement contraire de « une boule est de premier choix ». La probabilité qu’une boule prélevée au hasard soit de second choix est : 1 − P(61 6 X 6 61, 5) ' 1 − 0, 7887 = 0, 2113 à 10−4 près E X 2 :( 2 points )

Les questions suivantes sont indépendantes.

1. Une variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 18 et d’écart-type 0, 5. Donner un intervalle I de centre 18 auquel appartiennent environ 95% des valeurs prises par X. £ ¤ D’après le cours, I = µ − 2σ ; µ + 2σ = [18 − 2 × 0, 5 ; 18 + 2 × 0, 5] = [17 ; 19] 2. Une usine fabrique, en grande quantité, des rondelles d’acier. Une rondelle est conforme lorsque son diamètre (exprimé en millimètres) appartient à l’intervalle [89, 6 ; 90, 4] et on sait que la probabilité qu’une rondelle prélevée au hasard dans la production soit conforme est égale à 0, 95. On note X la variable aléatoire qui associe à chaque rondelle, prélevée au hasard dans la production, le diamètre de cette rondelle. On suppose que X suit une loi normale d’espérance 90 et d’écart-type σ. a. Calculer σ. On doit avoir P(89, 6 6 X 6 90, 4) = 0, 95. Comme 90 (espérance de la loi normale suivie par X) est le centre de l’intervalle contenant 95% des valeurs on doit avoir [89, 6 ; 90, 4] = [90 − 2σ ; 90 + 2σ] D’où 2σ = 0, 4, soit

σ = 0, 2

b. On a indiqué sur la figure ci-dessous, la courbe de la loi normale N (90 ; 0, 32 ). Parmi les deux autres courbes, indiquer par une flêche celle de la loi normale N (90 ; 0, 22 ). Justifier. L’écart-type est un paramètre qui traduit la dispersion des valeurs autour de la moyenne. La loi normale N (90 ; 0, 22 ) a ses valeurs moins dispersées autour de la moyenne que la loi N (90 ; 0, 32 ).

N (90 ; 0, 22 )

N (90 ; 0, 32 )

88

89

90

91

92

Correction TSTMG. Évaluation 6 - Chapitre : Loi normale E X 3 :( 5 points ) Une entreprise fabrique des jetons destinés à un établissement de jeux. On note D la variable aléatoire qui, à un jeton prélevé au hasard dans la production totale, associe son diamètre en millimètres. On admet que la variable aléatoire D suit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type 0, 2. Partie A. Étude du diamètre des jetons 1. Calculer, à 10−4 près, la probabilité P(D 6 29, 5). À la calculatrice, on obtient :

P(D 6 29, 5) ' 0, 9938 à 10−4 près

2. Dans un lot de 15 000 jetons, à combien peut-on évaluer le nombre de jetons ayant un diamètre inférieur à 29, 5 mm ? On peut estimer qu’il s’agit environ 99, 38% des jetons. Soit 15 000 × 0, 9938 = 14 907 jetons 3. On a calculé, à 10−4 près, les probabilités P(D 6 k)pour différentes valeurs de k avec un tableur. k P(D 6 k)

28, 8

28, 9

29

29, 1

29, 2

29, 3

0, 1587

0, 3085

0, 5000

0, 6915

0, 8413

0, 9332

Donner une valeur approchée du réel k tel que P(D 6 k) ' 0, 69 à 0, 01 près, puis interpréter ce résultat. P(D 6 29, 1) ' 0, 69 à 0, 01 près, donc

k = 29, 1

Environ 69% des jetons ont un diamètre inférieur à 29, 1 mm. Partie B. Amélioration de la production Le cahier des charges de l’entreprise indique que le diamètre doit être compris entre 28, 7 mm et 29, 3 mm. 1. Calculer, à 10−4 près, la probabilité qu’un jeton pris au hasard dans la production ait un diamètre : a. conforme au cahier des charges ;

À la calculatrice, on obtient :

P(28, 7 6 D 6 29, 3) ' 0, 8664 à 10−4 près

b. non conforme au cahier des charges. La probabilité qu’un jeton est un diamètre non conforme est : 1 − P(28, 7 6 D 6 29, 3) ' 1 − 0, 8664 = 0, 1336 à 10−4 près 2. L’entreprise désire améliorer la qualité des jetons en modifiant le réglage des machines de production. On note X la variable aléatoire qui, à un jeton prélevé dans la production future, associe son diamètre. On suppose que la variable aléatoire X suit la loi normale d’espérance 29 et d’écart-type σ. Déterminer σ pour qu’environ 95% des jetons de la production future soient conformes au cahier des charges. On doit avoir P(28, 7 6 X 6 29, 3) ' 0, 95. Comme l’intervalle [28, 7 ; 29, 3] a pour centre 29, cet intervalle est : [29 − 2σ ; 29 + 2σ]. On en déduit que 2σ = 0, 3 soit 3.

σ = 0, 15

a. Colorer sur la figure ci-dessous : le domaine correspondant a une production non conforme au cahier des charges. b. Déterminer la valeur de la probabilité P(X > 29, 3) en s’appuyant sur le graphique. Justifier. La probabilité d’une production non conforme est donné par : 1 − P(28, 7 6 X 6 29, 3) = 1 − 0, 95 = 0, 05. Par symétrie de la courbe « en cloche » on a donc

P(X > 29, 3) = 0, 05 ÷ 2 = 0, 025

Ce qui représente 2, 5% de l’ensemble des valeurs.

2, 5% 28

2, 5%

' 95% 28, 7

29

29, 3

30