EXAMEN DE Ã LGEBRA, FEBRERO 2002 PN TEORÃ A:

EXAMEN DE à LGEBRA, FEBRERO 2002 PN TEORà A: 1.- Razona adecuadamente o proporciona un contraejemplo: Dos planos (subespacios vectoriales de dimensión 2) siempre se cortan (se interceptan) en una recta (subespacio vectorial se dimensión 1) 2.- Sean tres vectores de ninguno nulo, tales que: > > Determinar el rango de los vectores de 3.- Discutir y calcular el rango de la siguiente matriz en función de los valores de los parámetros de y 4.- Sea una aplicación lineal dada por: ¿ Es usted capaz de encontrar dos vectores distintos u, v tales que f(u)=f(v)=0?. Razone su respuesta.. Sea (E,g) un espacio euclÃ−deo y sea V un subespacio vectorial de E. Se tiene que Luego: ¿Puede usted afirmar que 5.- Defina los siguientes conceptos: base de un espacio vectorial, rango de una matriz, espacio ortogonal a uno dado en un espacio vectorial euclÃ−deo, núcleo de una aplicación lineal. 6.- Demuéstrese que si f es una aplicación lineal entonces f(0)=0 7.- Demuéstrese que si es una aplicación lineal entonces kerf es un subespacio vectorial de 8.- Demuéstrese que una condición suficiente para que una aplicación lineal entre dos subespacios vectoriales de la misma dimensión sea isomorfismo es que f sea inyectiva. EXAMEN DE à LGEBRA FEBRERO 2002 PN PROBLEMAS 1.- Sea • Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal inyectiva y si es posible, una base del Ker f • Calcule los valores de a para los que es una aplicación lineal epiyectiva • Sean: Calcular ; y 2.- Sea una aplicación lineal dada por : 1

;; • Factorice por el método L-U la matriz A de la aplicación lineal f cuando consideramos en la base • Encuentre un vector de tal que f(a,b,c)=(1,2,3) • Sea otra base que se relaciona con la anterior por las fórmulas siguientes: ; Calcule la matriz asociada a f en la base de 3.- Sea: • Calcule los valores propios de la aplicación lineal que tiene la matriz A por matriz asociada • Calcule donde es la matriz identidad de orden tres. 4.-Sea un espacio euclÃ−deo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ; • Sea V =Calcule las ecuaciones paramétricas de y las ecuaciones implÃ−citas de • Dé una base de . ¿Están en suma directa? • Calcule una base ortonormal de EXAMEN DE à LGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN TEORà A: 1.- Teorema de la base. Enunciado y demostración. 2.-Dada la base B, formada por los vectores u=(1,1,2) y v=(2,1,1), amplÃ−ese a una base B´ del total utilizando el teorema de Steinitz. 3.- DefÃ−nase el concepto de base. Demuéstrese si los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) forman base. 4.- DefÃ−nase el concepto de coordenadas. Calcúlense las coordenadas en la base B={(1,-2),(2,1)} del vector w=(4,7). 5.- Se considera la matriz A= expresada en la base canónica. Calcúlese dicha matriz en la base B={(2,2),(1,-1)}. 6.- Demuéstrese que si T es un isomorfismo entonces su matriz asociada es invertible. 7.- DefÃ−nase el rango de una matriz. Calcúlese el rango de A= 8.- Dados los vectores u=(1,-2) y v=(2,1) determÃ−nese a partir de ellos y con el producto escalar usual una base ortonormal. EXAMEN DE à LGEBRA SEPTIEMBRE 2002 PN PROBLEMAS: 1.- Consideremos los subespacios U, V, W contenidos en , definidos como sigue: • Calcular las dimensiones y una base de los espacios V, V W • Obtener las ecuaciones paramétricas e implÃ−citas de W U 2

• Obtener un subespacio suplementario de V W 2.- Dado el endomorfismo de definido por f(x,y,z)=(x´,y´,z´) donde Se pide: • Calcular a y b para que (1,1,b) no esté en la imagen de f • Calcular todos los valores de a y b para que el Ker f tenga un único elemento • Encontrar para a=-1 y b=1 una solución del sistema f(x,y,z)=(1,1,1) 3.- Calcular usando para ello propiedades de diagonalización de: 4.- Sea un espacio euclÃ−deo cuyo producto escalar en la base canónica, satisface las siguientes condiciones es ortogonal a los vectores ,,; es unitario. El ángulo(,)=ángulo(,)=; g(,)=0, g(,)=4; ; Sea V = • Dar una base de ¿Están estos subespacios en suma directa? • Calcule una base ortonormal de

3