EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2001 TEORIA 1.- 2.-

EXAMEN PRIMER PARCIAL ALGEBRA 2001 TEORIA 1.-Demostrar por inducción que el número de elementos de un álgebra do Boole es 2n 2.-Demostrar que el Kerf e Imf son subespacios vectoriales PROBLEMAS 1.- En Egipto se celebra una cumbre para tratar de llegar a un acuerdo de paz entre Palestina e Israel. Se reúnen Egipto, Siria, Jordania, Palestina, Israel, Estados Unidos, Rusia y Unión Europea. Se conviene aceptar cuando haya mayorÃ−a, y cuando haya empate cuando Palestina e Israel estén a favor. Se tiene: Siria y Estados unidos se llevan la contraria Jordania==Egipto==Unión Europea Palestina ==Rusia Hacer el circuito de interruptores que contenga a todos los paÃ−ses. 2.- Tenemos las actividades desde A....K y todas ellas duran 2 horas Relación: J después de A y E B antes de G y H E y D después de C J después de D, H, I F antes de K K después de G • resolver el grafo • A las tres horas se hace un control J se acabó D sólo lleva 1 hora Y el resto igual 3.- Consideramos los subespacios de siguientes: E1 ={(1,2,1,3) (0,2,1,1) (0,0,1,4)} E2={(x,y,z,t)/ 2x+y-2z=0, y-z=0, t=0} E3={}

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E4={(x,y,z,t)/x+2y+t=0, y+z=0, x+3y+z+t=0} • Calcular bases y dimensiones • E1 y E2 ¿son suma directa? ¿son suplementarios? E2 y E4 ¿son suma directa? ¿son suplementarios? (d) Ampliar E2 a un total y calcular una base de 4.¿Existe alguna relación entre F y G? TEST ÔLGEBRA ENERO DE 2001

1.- Se define en N la relación XY x+y=3x, entonces: • es una relación de orden • 1 es el primer elemento • no es una relación transitiva 2.- Sea una aplicación lineal tal que f(1,0)=. Entonces: • f es inyectiva • f es epiyectiva • f es biyectiva 3.- Sea una aplicación lineal tal que kerf= Entonces: • dim(Imf)=2 • f es epiyectiva • Imf= 4.- Sea {e1,...,e6} un conjunto de vectores de y sea una aplicación lineal Entonces es: • Un conjunto linealmente independiente • Un conjunto linealmente dependiente • Un sistema de generadores de 5.- Sea E=. Las coordenadas del vector (2,1,-2,-1) respecto de la base E son: • 2,1,-2,-1 • -5,2 • Ninguna de las anteriores 6.- Sea A={(x,y); }. Se define en A la siguiente relación: . El elemento (4,4) es: • maximal 2

• minimal • ninguna de las anteriores 7.- Sean a y b dos elementos de un álgebra de Boole. Entonces • G (último elemento) • 8.- Sea definida por: Entonces: • f es inyectiva • f es epiyectiva • f no es una aplicación 9.- Sean U y V dos subespacios de un espacio vectorial E de dimensión 4. Sean dim(U)=2 y dim(V)=3, respectivamente. Entonces: • 10.- Sea una aplicación lineal tal que f(1,1)=(1,2,3), Kerf= Entonces, f(4,1) es: • (1,2,3) • (0,0,0) • (4,8,12)

EXAMEN SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA 2001 TEORà A: 1.- Teorema de reflexividad 2.- Cambio de base frente a endomorfismos PROBLEMAS: 1.- Sea Pn[x] el espacio vectorial de los polinomios de grado n. Sea la aplicación lineal f(x) de P1[x] en P2[x] tal que . Sean las bases B1={7, 3+x} de P1[x] y B2={x2, 2x-2, 3x2+2} de P2[x]. Calcular: • La matriz asociada a f(x) en las bases ={7x, 1} de P1[x] y B2 de P2[x]. • El núcleo y la imagen de f(x) en las bases B1 y B2 ¿Qué tipo de aplicación es f(x)? • La base dual asociada a la base B2 de P2[x] 2.- Se considera el espacio euclÃ−deo con el producto escalar usual. Dada la base B={e1=(-1,1,0), e2=(2,0,1), e3=(1,0,0)} y los vectores y , Calcular: • Un vector perteneciente al subespacio vectorial V= que sea ortogonal al vector • Una base ortonormal y una base ortogonal a partir de la base B. • Las ecuaciones implÃ−citas del subespacio ortogonal al subespacio W, sabiendo que W0=, siendo {w1, w2, w3} la base dual de la base dada. Calcular una base de l subespacio w. 3.- Resolver, si es posible el siguiente sistema de ecuaciones diferenciales para a=2:

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4.- La imprenta “El Monegasco Feliz” se dedica a producir diariamente el periódico “Monaco Matin”, del cual vende todos los ejemplares. También imprime diariamente la revista “Monaco Nuit” que igualmente agota su producción. Las máquinas pueden producir como mucho 25.000 ejemplares del periódico y 15.000 ejemplares de la revista, pero no más de 30.000 ejemplares de ambos conjuntamente al dÃ−a. AsÃ− mismo la cantidad de papel que se puede utilizar es de 100.000 pliegos. Una revista esta compuesta de 5 pliegos de papel y un periódico de 2 pliegos. El precio de venta de cada revista es de 2 euros y el de cada periódico es de 1 euro. ¿Cuántas revistas y periódicos conviene producir por dÃ−a para obtener el máximo beneficio? TEST SEGUNDO PARCIAL ALGEBRA 2001

1.- Dadas las bases de B={(1,0),(0,1)}, B'={(3,2),(0,1)}, el determinante de la matriz de cambio de base B' a la base B es: •3 • 1/3 •1 2.- Sea la aplicación cuya matriz en una base {e1, e2, e3} es A=, y sea B la matriz de T en la base { e1, 2e2+e3, e1-e2+7e3}. Entonces: • Ninguna de las anteriores 3.- Sea T el endomorfismo definido por la matriz T= • T diagonaliza • T tiene tres vectores linealmente independientes • AT(T)= 4.- Sea tal que F(x,y)=(y,0) • F es inyectiva • Ker(F)=Im(F) • Ninguna de las anteriores 5.- Sea T un endomorfismo de que verifica: T diagonaliza; el vector propio (1,1) tiene valor propio -2, Ker(T)={(x,y); x+y=0}. Las ecuaciones del endomorfismo T son: • T(x,y)=(-2x,0) • T(x,y)=(x-y, 0) • No se puede calcular con estos datos 6.- Sea una forma lineal no nula. • Es inyectiva • Es epiyectiva • Ninguna de las anteriores

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7.- Sea A una matriz tal que . Sea At su matriz traspuesta. • 8.- Sea AX=B un sistema homogéneo • Es un sistema incompatible • Las soluciones del sistema coinciden con el núcleo de la aplicación lineal asociada • Ninguna de las anteriores • Sea V un subespacio de . Sea B una base de V y B' una base de • los vectores de B y B' forman una base de • los vectores de B y B' forman una base de ortonormal • los vectores de B y B' son linealmente dependientes entre sÃ− 10.- Dada la ecuación en diferencias finitas . La solución es: •

FINAL DE FEBRERO 2001 PROBLEMAS: 1.-Una cadena de TV está preparando una gala especial desde el Caribe. Una vez realizado, durante una semana, un estudio sobre los contenidos de la gala se procederá a la contratación de las estrellas invitadas y de los operarios de control, sonido, ... en sendos plazos de tres dÃ−as. à stos (estrellas y operarios) serán trasladados hasta el Caribe en un viaje de cuatro dÃ−as de duración. AllÃ− procederán a los ensayos previstos de tres y dos dÃ−as respectivamente. Dicho escenario no será montado hasta que sea limpiada la playa(en lo que se invertirán tres dÃ−as). Dicha limpieza no se hará hasta que las estrellas hayan sido contratadas. Debido a las malas condiciones atmosféricas, que se prevén que durarán dos dÃ−as, el traslado de estrellas y operarios no se realizará hasta que el tiempo mejore. Elaborar la tabla de precedencias, el grafo P.E.R.T y las rutas crÃ−ticas. ¿VariarÃ−a la duración del proyecto si la limpieza se prolongara en dos dÃ−as?. 2.- Consideremos el espacio vectorial y los siguientes subespacios del mismo: • Calcular las bases y dimensiones de cada uno de ellos. • Ampliar una base a una del total • ¿Es cierto que ? 3.- Consideremos dotado del producto escalar euclÃ−deo, y sea una base del mismo. Si f es un endomorfismo de definido como • Calcular la matriz de f respecto de la base canónica en el primer espacio y B en el segundo • Calcular una base del Ker(f) y las ecuaciones paramétricas de Im(f) en la base canónica • Calcular un vector perteneciente al subespacio que sea ortogonal a usando para ello la matriz del producto escalar en la base B 4.- Para mejorar el cultivo se necesita abonar el terreno, con al menos 8 Kg de nitrógeno y 12 Kg de fósforo. En el mercado hay distintos productos. El de marca M contiene 30 % de fósforo y 10 % de nitrógeno y su precio por Kg es 90 ptas. El de marca N contiene 20 % de fósforo y 20 % de nitrógeno y su 5

precio por Kg es 120 ptas el kilogramo. ¿Qué cantidad de cada marca debemos utilizar para que el coste de abono sea mÃ−nimo. Resolver la ecuación en diferencias: para todo FINAL DE JUNIO 2001 PRIMER PARCIAL PROBLEMAS: 1.- Consideremos las siguientes relaciones de precedencia: A antes de C. D y H; E y F después de B; C antes de G; D antes de I; K después de D, E, G y H; E y F antes de J; L después de I, K; J antes de M; N después de L, M. Calcular el grafo PERT asociado, las fechas, las holguras y las rutas crÃ−ticas sabiendo que la duración de las actividades son: A(1), B(2), C(3), D(4), E(3), F(2), G(1), H(2), I(3), J(4), K(3), L(2), M(1), N(2) A los 3 dÃ−as se hace un control y se comprueba que K lleva 1 dÃ−a desarrollándose. ¿ Cuál es la nueva duración del proyecto? 2.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado menor o igual que 2 y consideremos los siguientes subespacios del mismo: • Calcular las ecuaciones implÃ−citas, las ecuaciones paramétricas y las dimensiones de cada uno de estos subespacios. • Calcular sendas bases de y de . ¿Están V y W en suma directa? • Calcular un suplementario de 3.- Sean f(A,B,C) y g(A,B,C) dos proposiciones compuestas de tal forma que la proposición fg es siempre falsa. Construir la tabla de verdad para las proposiciones, y Sea el espacio vectorial de las matrices de orden 2 con coeficientes reales. ¿Es el subconjunto tal que un subespacio vectorial de ? 4.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado posible para la siguiente función booleana: FINAL SEGUNDO PARCIAL ÔLGEBRA 2001 PROBLEMAS: 1.- Sea el espacio vectorial de los polinomios de grado n. Sea la aplicación lineal f(x) de en tal que: . Sean las bases de y de . Calcular: • La matriz asociada a f(x) en las bases de y de • El núcleo y la imagen de f(x) en las bases y . ¿Qué tipo de aplicación es f(x)? • La base dual asociada a la base de 2.- Sea A la matriz asociada al endomorfismo definido por: • Calcular los valores de a para los cuales el endomorfismo diagonaliza • Suponiendo a=5, calcular un vector perteneciente al subespacio que sea ortogonal al vector , siendo la base de diagonalización del endomorfismo T del apartado anterior. 3.- Consideremos el endomorfismo T de , definido por 6

• Calcular la matriz T en la base usando una matriz de cambio de base • Calcular las coordenadas de respecto de B • ¿T es inyectiva?,¿T es epiyectiva?,¿T es isomorfismo?. Razonar la respuesta • Calcular las ecuaciones implÃ−citas de 4.- Calcular utilizando una ecuación en diferencias finitas, el término n-ésimo de la sucesión de Fibonacci: {3,4,11,18,29,47,...} Resolver la ecuación diferencial; FINAL ÔLGEBRA SEPTIEMBRE 2001 PROBLEMAS: 1.- Escribir el circuito de interruptores más simplificado para la siguiente función booleana: Dados los subespacios de tales que: Calcular: • Bases, ecuaciones paramétricas, ecuaciones implÃ−citas y dimensión de , , y de • Suplementarios de , y de • Base, ecuaciones paramétricas, ecuaciones implÃ−citas de 2.- Sea M() el espacio vectorial de las matrices cuadradas simétricas de orden 2. Consideremos los siguientes subespacios de M() • Calcular las bases, dimensiones y ecuaciones paramétricas e implÃ−citas de cada uno de ellos. • Calcular las bases de ; • Calcular el subespacio suplementario de ¿Están V y W en suma directa? 3.- Sea A la matriz asociada al endomorfismo definido por: • Calcular la matriz del mismo en la base tal que ; ; usando para ello matrices de cambio de base. • Calcular las coordenadas de en la base • Calcular los valores propios del endomorfismo. ¿Existe alguna base respecto a la cual el endomorfismo posea una matriz diagonal? 4.- Demostrar que la siguiente aplicación es un producto escalar en y calcular el ángulo formado por y Resuelve la siguiente ecuación diferencial:

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