Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad D. Lösningar lämnas

Examinationsuppgifter, Talteori, TATM54. Blad D.

L¨ osningar l¨ amnas i det r¨ oda tr˚ aget, c:a 2 meter nordv¨ ast om mitt rum. inte i mitt postfack! L¨ osningarna ska vara v¨ alskrivna och l¨ asliga, p˚ a ena sidan av varje ark. Jag tar inte emot l¨ osningar per epost! Alla uppgifter ¨ ar handr¨ akneuppgifter.

D1) a) Best¨ am det irrationella tal √ som har den periodiska utvecklingen [9, 9, 18] (3) b) Best¨ am utvecklingen av 7 samt s˚ a m˚ anga konvergenter som beh¨ ovs f¨ or att l¨ osa x2 − 7y 2 = 1. 2 2 ¨ Ange d¨ arp˚ a alla l¨ osningar. Ar x − 7y = −1 l¨ osbar? √ √ √ D2) n, k a ¨r positiva, n ej j¨ amn kvadrat. L˚ at p + q n vara minimal i att p + q n > k och att p,√q satisfierar ekvationen p2 − nq 2 = k. Visa att p, q m˚ aste vara positiva. Tips: betrakta samtidigt p − q n. D3) Anta att x, y, b˚ ada udda, a ¨r en heltalig l¨ osning till ekvationen x2 − dy 2 = ±4. Bilda de rationella talen u, v enligt: √ √ x+y d 3 ) u+v d =( 2 Visa att u, v a ¨r en heltalig l¨ osning till u2 − dv 2 = ±1. D4) Ange kedjebr˚ aksutvecklingarna f¨ or a =

√ d2 ± 1, d heltal. Ge exempel p˚ a b˚ ada slagen.

D5) Best¨ am minsta positiva l¨ osningen till Pells ekvation x2 − ny 2 = 1, d¨ ar n = d2 + 2. D6) 2 2 a) (Bakgrund −1 a ¨r l¨ osbar, med minsta positiva l¨ osning √ till b), c)) Anta att ekvationen x −2dy = √ 2 x0 +y0 d > 1. (jfr D2). L˚ at vidare ekvationen x −dy = 1 ha minsta positiva l¨ o sningen x +y 1 1 d. √ √ 2 Visa att x1 + y1 d = (x0 + y0 √d) . √ √ √ agelse. Slut (x1 + y1 d)(y0 d − Lite steg: Visa att 0 < (x1 − y1 d)(x0 + y0 d) < 1, eljes√mots¨ √ att x0 ) > 1. H¨ arled nu en mots¨ agelse ur antagandet x1 + y1 d 6= (x0 + y0 d)2 . (kom g¨ arna p˚ a n˚ agot b¨ attre!)

b) Best¨ am, t ex genom inspektion, minsta positiva l¨ osningen till x2 − 13y 2 = −1. B¨ orja med att best¨ amma klassen av x modulo 13. H¨ arled sedan minsta positiva l¨ osningen till x 2 − 13y 2 = +1. c) Best¨ am, medels inspektion, minsta positiva l¨ osningen till x2 − 30y 2 = 1. Avg¨ or, med dess hj¨ alp 2 2 huruvida ekvationen x − 30y = −1 a ¨r l¨ osbar. D7) 1

a) Visa att den aritmetiska summan 1 + 2 + 3 + · · ·+ n a ¨r en j¨ amn kvadrat f¨ or o¨ andligt m˚ anga v¨ arden p˚ a n. ˚ Aterf¨ or p˚ a l¨ osbarheten hos l¨ amplig Pellsk ekvation. b) Visa nu samma om summorna 1 + 2 + 3 + · · · + 2n och 1 + 2 + 3 + · · · 2n + 1 D 8) a) p ≡ 1 (mod 4) a ¨r ett primtal. u a ¨r en positiv l¨ osning till u2 ≡ −1 (mod p). Det rationella talet u/p har en a ¨ndlig kedjebr˚ aksutveckling som framg˚ ar ur Euklides’ algoritm. √ L˚ at pi /qi var den sista konvergenten f¨ or vilken qi ≤ p. Visa, medels den allm¨ anna approximationssatsen, en l¨ amplig uppskattning: pi u | − | 0) till ekvationen x2 − dy 2 = 1. L˚ at p vara ett godtyckligt positivt heltal. Visa att det finns ett n s˚ adant att p|yn . D 13 Studera Bhaskarastencilen. Anta att D = 4d + 1, positivt, ej j¨ amn kvadrat. Vi studerar kedjebr˚ aks√ utvecklingen av ( D + 1)/2. Anta √ D + Pl αl = Ql Visa att Ql a ¨r j¨ amnt och att p2 − pr + dr2 = ±Ql /2 d¨ ar p, r a ¨r en konvergent i utvecklingen.

3