Exemple fondamental : probabilité uniforme

EFREI – L’3

Probabilités

GENERALITES SUR LES PROBABILITES

1. Espace probabilisé 1.1. Expérience aléatoire, univers Définition 1. 1. 1 : On appelle expérience aléatoire (ou épreuve aléatoire) une expérience dont le résultat ne peut pas être prévu avant la réalisation de l’expérience. Définition 1. 1. 2 : On appelle univers d’une expérience aléatoire l’ensemble noté Ω des résultats possibles de l’expérience, parfois appelés issues. Remarque : L’univers peut être fini, infini et dénombrable, infini et non dénombrable, à deux dimensions… 1.2. Evénement Définition 1. 2. 1 : Soit une expérience aléatoire d’univers Ω. Un événement est une partie de l’univers. L’ensemble des événements est noté par la suite A. Propriété 1. 2. 1 : L’ensemble A est une -Algébre ou tribu sur  : un sous-ensemble de P() vérifiant les propriétés suivantes :  A   A, A  A A i A  A i  famille dénombrable d’éléments de A, iI

iI

 : Remarque  Lorsque Ω est fini, l’ensemble A est souvent égal à P().    , tribu triviale  P() tribu grossière

 Définition 1. 2. 2 : Le couple (Ω, A) est appelé espace probabilisable. Définition 1. 2. 3 et vocabulaire : Soit A et B deux événements.  Ω est l’événement certain ; ∅ est l’événement impossible ; {𝜔} est un événement élémentaire.  Si A⊂B, on dit que l’événement A implique l’événement B. ̅ de l’événement A est appelé événement contraire de A.  Le complémentaire A  Lorsque A ∩ B = ∅, on dit que A et B sont incompatibles ou disjoints. Définition 1. 2. 4 : On appelle système complet d’événements toute partition de Ω, c’est – à dire toute famille d’événements non vides, deux à deux incompatibles et dont l’union est égale à l’univers.

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1.3. Probabilités Définition 1. 3. 1 : Soit ( ; A) un espace probabilisable. On appelle probabilité sur ( ; A) toute application P de A sur ℝ+ vérifiant les deux conditions suivantes :  P() = 1  A i  famille dénombrable d’éléments de A deux à deux disjoints, iI

A i )   P(A i )

P( iI





iI

Le triplet (,A ; P) est appelé espace probabilisé. Propriétés 1. 3. 2 :  (A, B) A2, A  B  P(A)  P(B)  AA, P(A) 0 ; 1  AA, P(A ) 1 P(A)  P()  0   A i  système complet d’événements, iI

P(A )  1 i

iI



  (A, B) A2, P(AB)  P(A)  P(B)  P(AB)

 Exemple fondamental : probabilité uniforme  On suppose que  est un ensemble fini et que A = P(). On appelle probabilité  cardA uniforme sur  la probabilité P définie par : A  , P(A) = . card  (On rappelle que cardA est égal au nombre d’éléments de l’ensemble fini A) 2. Dénombrement Un sac contient n objets. On extrait p de ces objets successivement. 2.1. Tirages successifs. p-listes d’un ensemble à n éléments. Propriété 2. 1. 1 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n éléments (p-listes) avec remise est égal à np. Propriété 2. 1. 2 : Le nombre de tirages successifs de n éléments dans un ensemble de n éléments sans remise (permutations) est égal à n !. Propriété 2. 1. 3 : Le nombre de tirages successifs de p éléments dans un ensemble de n éléments sans remise (arrangement) est égal à : 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … . (𝑛 − (𝑝 − 1)) =

𝑛! (𝑛 − 𝑝)!

Remarque : Dans la formule précédente, si p = n, on retrouve le nombre de permutations.

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2.2. Tirages simultanés. Combinaisons. Propriété 2. 2. 1 : Le nombre de tirages simultanés de p éléments dans un ensemble à n éléments (combinaisons) est égal à : 𝑛 𝑛(𝑛 − 1)(𝑛 − 2) … (𝑛 − (𝑝 − 1)) 𝑛! ( ) = 𝐶𝑛𝑝 = = 𝑝 𝑝! 𝑝! (𝑛 − 𝑝)! Propriété 2. 2. 2 : 𝑛 𝑛 ( )=( )=1 0 𝑛 𝑛 𝑛 ( )=( )=𝑛 1 𝑛−1

𝑛 𝑛 ( )=( ) 𝑝 𝑛−𝑝 𝑛+1 𝑛 𝑛 ( )=( )+( ) 𝑝 𝑝 𝑝−1

3. Probabilité conditionnelle et indépendance 3.1. Probabilité conditionnelle Définition 3. 1. 1 : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et A un événement de probabilité non nulle. L’application PA :A  R 

B

PA (B) 

P(A  B) P(A)

  est une probabilité sur ( ;A) appelée probabilité conditionnelle sachant A.  également PA (B)  P(A / B) . Remarque : On note Propriété 3. 1. 1 : Formule des probabilités totales : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et Ai iI un système complet d’événements, alors BA, P(B)   P(B / A i )P(A i ) iI

Propriété 3. 1. 2 : Formule de Bayes : Soit ( ;A, P) un espace probabilisé et A i  un iI



système complet d’événements, alors BA, i  I, P(A i / B) 

P(A i )P(B / A i ) P(B / A j )P(A j ) jI



3.2. Indépendance de deux événements  espace probabilisé. On dit que deux événements A Définition 3. 2. 1 : Soit ( ;A, P) un et B sont indépendants si PB(A)=P(A)

Propriété 3. 2. 1 : A et B sont indépendants P(AB)  P(A)  P(B)



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