Exemple : Lors d`un lancer de dés

PROBABILITES Tandis que les statistiques permettent d’évaluer la fréquence de phénomènes constatés lors d’expériences passées, les probabilités permettent de prévoir la fréquence probable de phénomènes lors d’expériences dont on ne connaît pas le résultat. I)

PROBABILITE D’UN EVENEMENT a. Expérience

On lance un dé ( non truqué ) et on repère le numéro obtenu.  Y a-t-il plus de chances d’obtenir un 2 qu’un 6 ? …………………………………………………………  Combien y a-t-il d’issues ( résultats ) possibles ? …………………………………………………………  Donner la fraction représentant le nombre de « chances » (probabilité) d’obtenir un 6 ? ……………………………  Même question pour 2 ? …………………………………………………………  Soit A l’évènement « on obtient un nombre pair » o

Combien y a-t-il d’issues favorables pour cet évènement ? …………………………………………………………

o

Quelle proportion cela représente-t-il par rapport à toutes les issues possibles ? ……………………….. 

On dira que la probabilité de l’évènement A (nombre pair) est ……… ; on note p(A)= ………

 Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 ? …………………………………………………………  Quelle est la probabilité d’obtenir un 7 ? ………………………………… ( évènement ……………………………… )  Quelle est la probabilité d’obtenir un nombre compris entre 0 et 7 ? …………………………………………………………

b. Définition • La probabilité d’un évènement A est la proportion probable, parmi tous les cas possibles, des cas où A sera réalisé si on répète un grand nombre de fois l’expérience. • La probabilité de l’évènement A se note p(A). • Lorsqu’on peut définir tous les cas possibles, la probabilité d’un évènement est donné par : 𝒑(𝑨) =

𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒇𝒂𝒗𝒐𝒓𝒂𝒃𝒍𝒆𝒔 𝒏𝒐𝒎𝒃𝒓𝒆 𝒅𝒆 𝒄𝒂𝒔 𝒑𝒐𝒔𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆𝒔

Remarque : si on ne peut pas déterminer le nombre de cas possibles, on répète un grand nombre de fois l’expérience pour approcher la vraie valeur de la probabilité d’un évènement. ( la fréquence d’apparition de l’évènement a tendance à se stabiliser après un grand nombre d’expériences ) c. Propriétés • La probabilité d’un évènement est compris entre ………………………………… • La probabilité d’un évènement qui se produit à coup sûr ( évènement ……………………………… ) est égale à ……… • La probabilité d’un évènement qui ne peut pas se produire ( évènement ……………………………… ) est égale à ……… • La somme des probabilités associées à chaque issue est égale à ……………

1

II)

PROBABILITE DE PLUSIEURS EVENEMENTS a. Evènement ( A et B )

Définition Si A et B sont deux évènements, l’évènement ( A et B ) est l’évènement qui se produit lorsque les évènements A et B ont lieu tous les deux simultanément. Exemple : Lors d’un lancer de dés : si P est l’évènement « nombre pair » et si S est l’évènement « nombre supérieur à 3 », l’évènement ( P et S ) correspond à « …………………………………………………………………………………………………………… » Le tirage possible est ……………………………………… b. Evènement ( A ou B ) Définition Si A et B sont deux évènements, l’évènement ( A ou B ) est l’évènement qui se produit lorsque l’un des deux évènements, ou les deux, se produit. Exemple : Lors d’un lancer de dés : si A est l’évènement « nombre pair » et B est l’évènement « nombre inférieur ou égal à 4 », l’évènement ( A ou B ) correspond à « ……………………………………………………………………………………………… » Le tirage possible est ……………………………………… c. Evènements incompatibles Définition Deux évènements sont dits incompatibles s’ils ne peuvent pas se produire en même temps. Exemple : Lors d’un lancer de dés « sortir un 2 » est incompatible avec « sortir un nombre impair ». Propriété : Si deux évènements sont incompatibles, la probabilité que l’un ou l’autre se produise est égale à la somme de leurs probabilités : p ( A ou B ) = p ( A ) + p ( B ) Exemple : Une urne contient 3 boules blanches, 2 boules rouges et 5 boules jaunes. Soit les évènements B « tirer une boule blanche » et R « tirer une boule rouge » et J « tirer une boule jaune » Il y a ………… issues possibles. p ( B ) = …………

p ( R ) = …………

p ( J ) = …………

On ne peut pas tirer une boule blanche et une boule jaune en même temps. Ce sont donc des évènements …………………………………………………….. Donc l’évènement « tirer une boule blanche ou une boule jaune » a pour probabilité : p ( B ou J ) = ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………… d. Evènements contraires Définition L’évènement contraire de A correspond à la « non réalisation de A » ( celui qui se réalise quand A n’a pas lieu ). ̅ » ou « non A ». On le note : « 𝑨 2

Exemple : Lors d’un lancer de dés « obtenir un nombre pair » et « ……………………………………………………………………… » sont des évènements contraires. Propriété : Si deux évènements sont contraires, la somme de leurs probabilités est égale à ........... : on peut donc écrire

̅ ) = …… p(A)+p( 𝑨

soit

…………………………………………………………………………

Exemples : Lors d’un lancer de dés • Si A est l’évènement « nombre pair » alors p ( A ) = ………………………………… et on a 𝐴̅ est l’évènement « ………………………………………………… » et p ( 𝐴̅ ) = ……………………………… on a bien p ( A ) + p ( 𝐴̅ ) = ………… • Si A est l’évènement « sortir un 2 » : ………… chance sur 6 donc p ( A ) = ………… Alors 𝐴̅ est l’évènement « ne pas sortir un 2 » : ………… chances sur 6 donc p ( 𝐴̅ ) = ………… Vérification : on a bien p ( A ) + p ( 𝐴̅ ) = ………………

III)

REPRESENTATION PAR UN ARBRE DES POSSIBLES

Exemple : Un sac de 6 boules avec : 1 verte – 2 rouges – 3 bleues

Représentation possible :

IV)

EXPERIENCE A DEUX EPREUVES

Exemple : On dispose de deux urnes : Urne 1 Une première urne avec 3 boules bleues et une boule rouge

Urne 2 Une deuxième urne avec 4 boules jaunes, 3 boules vertes et 2 boules noires

Dans un premier temps, on tire une boule dans l’urne 1 et on note sa couleur. Dans un deuxième temps, on tire une boule dans l’urne 2 et on note sa couleur. 3

On peut représenter l’arbre des possibles de chaque épreuve : Première épreuve

Remarque :

Deuxième épreuve

……………………………………………..

…………………………………………………………………….

On peut alors construire l’arbre pondéré des possibles de cette expérience à deux épreuves.

Epreuve 1

………………

………………

Epreuve 2

Issues

p ( épreuve 1 et épreuve 2 )

………………

………………

………………………………………………………

………………

………………

………………………………………………………

………………

………………

………………………………………………………

………………

………………

………………………………………………………

………………

………………

………………………………………………………

………………

………………

………………………………………………………

Propriété : Dans un arbre, la possibilité du résultat auquel conduit un chemin est égal au produit des probabilités rencontrées le long de ce chemin. Dans l’exemple précédent, on aura 3 4 × = …………………… 4 9

•

𝑝 ( 𝐵 𝑒𝑡 𝐽 ) =

•

S = p ( B et J ) + p ( B et V ) + p ( B et N ) + p ( R et J ) + p ( R et V ) + p ( R et N ) S = ………………………………………………………………………………………………………. S = ……………………………………………………………………………………………………….. S = ……………

4