Exercice 1 (6 points) On considère l`équation notée (E) : ln = − . Le

Exercice 1 (6 points) On considère l’équation notée (E) : ln = − . Le but de l’exercice est de prouver que l’équation (E), admet une solution unique notée appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ et d’utiliser une suite convergente pour en obtenir un encadrement. Partie A : existence et unicité de la solution On considère la fonction définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par 1. Déterminer le sens de variation de la fonction est dérivable sur ]0; +∞[ et

=

+ ln .

sur l’intervalle ]0 ; +∞[.

= 1 + > 0.

est donc strictement croissante sur ] ; +∞[.

= 0 admet une unique solution notée α appartenant

2. Démontrer que l’équation à l’intervalle ]0 ; +∞[.

est continue et strictement croissante sur ]0; +∞[. De plus lim → = −∞ (par somme) et lim → = +∞ (par somme), [. donc 0 ∈ ]lim → ; lim → Le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires permet alors de conclure que l’équation admet une solution ! dans ] ; +∞[. 3. Justifier que : On a Ainsi

"

≤

≤1

$"% = " + ln $"% = " − ln 2 < 0 et

( )

≤ ! ≤ (.

1 = 1 + ln 1 = 1 > 0.

Partie B : encadrement de la solution !

On considère la fonction * définie sur l’intervalle ]0 ; +∞[ par *

=

+ ,-. /

1. Étude de quelques propriétés de la fonction *. a. Étudier le sens de variation de la fonction * sur l’intervalle ]0 ; +∞[. * est dérivable sur ]0; +∞[ et * Donc *

Comme

= / $4 − % = / $

> 0, *′

+ ,

= / 4 − ln

%=

+ , /

.

et 4 − 1 ont le même signe sur ]0; +∞[. D’où le tableau suivant :

=

3 4

Calcul de * $ % : * $ % = +

3 4

+× ,-.$ %

+

/

-. +

=

/

Soit

appartient à cet intervalle.

un réel tel que

"

≤

≤1

Alors * $ % ≤ *

Comme * $ % = "

3 3 +× ,-. 7 7

On en déduit que Donc, si

(

"

/

"

≤*

≤ * 1 car * est croissante sur 5 ; 16

" -. "

=

≈ 0,54 et * 1 =

/

∈ 5) ; (6, alors <

≤1

/

appartenant à l’intervalle 5 ; 16, "

b. En déduire que pour tout nombre réel *

" -. "

=

+×

/

-.

"

+

= = 0,8 ; /

(

∈ 5) ; (6

c. Démontrer qu’un nombre réel appartenant à l’intervalle ]0 ; +∞[ est solution de l’équation (E) si et seulement si * = . Soit un réel dans ]0 ; +∞[. On a alors : est solution de l’équation (E) ⟺ ln = − ⟺ − ln = ⟺ 4 − ln = 5 ⟺

+ ,-.

⟺*

/

=

=

2. On considère la suite >? définie par > = " et pour tout entier naturel @, par

>? = * >? a. En utilisant le sens de variation de la fonction * , démontrer par récurrence que pour tout entier naturel @,

Soit A @ la propriété : " •

"

≤ >? ≤ >?

≤ >? ≤ >?

≤ 1.

≤1"

Initialisation : On a > = " et > = * > Donc

•

"

"

= * $"% =

" -. " /

≤ > ≤ > ≤ 1 et A 0 est vraie.

≈ 0,54

Hérédité : On suppose que A @ est vraie pour un entier naturel @. Ainsi

"

≤ >? ≤ >?

≤1

Donc * $"% ≤ * >? ≤ * >?

Donc

Donc

" -. " /

"

≤ >?

≤ >?

≤ >?

≤ >?

"

"

≤1

+

≤/

≤ * 1 car * est croissante sur 5" ; 16

Ainsi A @ + 1 est vraie et l’hérédité est montrée. •

Conclusion : on a démontré par récurrence que pour tout entier naturel C,

( )

≤ DC ≤ DC

(

≤(

b. En déduire que la suite >? converge. On admettra que sa limite est . D’après la question précédente, DC est croissante et majorée par 1 donc elle converge. 3. Recherche d’une valeur approchée de α a. On considère l’algorithme suivant : Saisir N U prend la valeur 0,5 Pour K allant de 1 à N faire U prend la valeur (4U ln(U))/5 FinPour Afficher U Quel est le rôle de cet algorithme ? Cet algorithme permet de calculer les termes de la suite >? . L’utilisateur saisit le rang N et l’algorithme renvoie le terme de rang N, DE , de la suite. b. On entre N=10, quel valeur est affichée en sortie ? (arrondir à 10,+ près) La valeur affichée est D( 8 , FGH( c. On admet que > est une valeur approchée à 10,+ près de . Donner un encadrement de d’amplitude 10,I sous la forme > # décimaux écrits avec trois décimales. On a

# J où > et J sont deux

, FGH # ! # , FGH

Exercice 2

(5 points)

Partie A: Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est demandée. Cette partie est notée sur 3 points. Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse est comptée 0 point. Si le total est négatif, la note de la partie A est ramenée à zéro. Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O. 1. Une solution de l’équation 2K K 9 M est : a. 3 b. M c. 3 + M ) N

O

N

O

P

O

2. Soit K un nombre complexe ; |K a. |K| |OR

M| est égal à : b. |K

1 (|

|O R

O |

|O||R

O|

c. |MK

1| SR

OS

|R

O|

1|

3. Soit K un nombre complexe non nul d’argument T. Un argument de X

a. − + T I

YZ< [

b.

"X I

+T

,

U√I

c.

W "X I

est :

−T

−( + O√N −( + O√N )_ \ = YZ 1,28155 soit „ < 49,462.

La valeur maximale de Ž arrondi au centième le plus proche est donc ≈ iP, iG . Partie B. Le temps de fonctionnement sans panne, en jours, de cette machine est une variable aléatoire •qui suit la loi exponentielle de paramètre •. Les résultats seront arrondis au millième le plus proche. 1. On sait que A • < 30 = 0,44. En déduire la valeur de •. • suit la loi exponentielle de densité de probabilité

= •| ,‘ donc

I

A • < 30 = 0,44 si, et seulement si, ’ •| ,‘ “ = ”−| ‘ •

D’où A • < 30 = 0,44 ⇔ | ,I

‘

= 0,56 ⇔ • =

, -. ,/— I

I

= 1 − | ,I

‘

et donc ˜ ≈ , (P

= 0,44

Pour cette question on prend • = 0,02. Calculer la probabilité que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours. A • > 60 = 1 − A • ≤ 60 = 1 − 1 − | ,

, "×—

= |,

, "×—

≈ 0,301 , car • = 0,02.

La probabilité pour que la machine fonctionne sans panne plus de 60 jours est donc de 30,1% au millième prés.

Exercice 4 (5 points) pour les candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Un joueur débute un jeu vidéo et effectue plusieurs parties successives. On admet que : • la probabilité qu’il gagne la première partie est de 0,1 ; • s’il gagne une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,8 ; • s’il perd une partie, la probabilité de gagner la suivante est égale à 0,6. On note, pour tout entier naturel n non nul : • ™? l’évènement « le joueur gagne la @-ième partie » ; • š? la probabilité de l’évènement ™? · On a donc š = 0,1. 1. Montrer que š" = 0,62. On pourra s’aider d’un arbre pondéré. 2. Le joueur a gagné la deuxième partie. Calculer la probabilité qu’il ait perdu la première. 3. Calculer la probabilité que le joueur gagne au moins une partie sur les trois premières parties. 4. Montrer que pour tout entier naturel @ non nul, š?

I

= / š? + /.

I

5. Soit >? la suite définie pour tout entier @ non nul telle que >? = š? − +. a) Démontrer que >? est une suite géométrique de raison /.

b) Exprimer >? en fonction de @, puis montrer que, pour tout entier naturel @ non nul : 3 13 1 ? š? = − Œ • 4 4 5 6. Déterminer la limite de la suite š? quand @ tend vers +∞. 7. Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même infructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. Pour quelles valeurs de l’entier naturel @ a-t-on :

I +

− š? < 10,› ?