Exercice 1 Première partie : Calculer l`intégrale . Deuxième partie La

Exercice 1 Première partie : Calculer l’intégrale



1

xex dx .

0

Deuxième partie La figure ci-dessous représente une cible rectangulaire OIMN telle que, dans le repère orthonormal  O ; OI , OJ  , la ligne courbe C reliant le point O au point M est une partie de la courbe représentative de la fonction f définie sur ℝ par f  x   xex . Cette courbe partage la cible OIMN en deux parties A et B comme l’indique la figure cidessous. Un jeu consiste à lancer une fléchette qui atteint soit l’extérieur de la cible, soit l’une des parties A ou B. On admet que la fléchette ne peut atteindre aucune des frontières de la cible, ni la courbe C . Une étude statistique a montré que la fléchette tombe à M

l’extérieur de la cible avec une probabilité de

N

1 2

et que les

probabilités d’atteindre les parties A et B sont proportionnelles à leurs aires respectives. 1. Démontrer que la probabilité d’atteindre la partie A est égale à

partie B

J

partie A

0

O

0

I

1 . 2e

Quelle est la probabilité d’atteindre la partie

B? 2. On lance de manière indépendante trois fléchettes. a. Soit X la variable aléatoire qui est égale au nombre de fléchettes ayant atteint la partie A. Définir la loi de probabilité de X. En déduire la valeur exacte de son espérance mathématique. b. Soit E l’évènement : « Exactement deux fléchettes atteignent la partie A ». Calculer une valeur approchée au millième de la probabilité de E. c. Soit F l’évènement : « les trois fléchettes atteignent la partie B ». Calculer la probabilité de F (on donnera la valeur exacte). Sachant qu’aucune fléchette n’a atteint l’extérieur de la cible, quelle est la probabilité que toutes les trois se trouvent dans la partie B ? 3. On lance cette fois de manière indépendante n fléchettes. a. Déterminer en fonction de n la probabilité pn pour qu’au moins une des fléchettes atteigne la partie A. b. Déterminer le plus petit naturel n tel que pn  0,99 .

Exercice 2 On dispose d’un dé cubique équilibré dont une face porte le numéro 1, deux faces portent le numéro 2 et trois faces portent le numéro 3. On dispose également d’une urne contenant dix boules indiscernables au toucher, portant les lettres L, O, G, A, R, I, T, H, M, E (soit quatre voyelles et six consonnes). Un joueur fait une partie en deux étapes : Première étape : il jette le dé et note le numéro obtenu. Deuxième étape : • si le dé indique 1, il tire au hasardune boule de l’urne. Il gagne la partie si cette boule porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. • si le dé indique 2, il tire au hasard et simultanément deux boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces deux boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. • si le dé indique 3, il tire au hasard et simultanément trois boules de l’urne. Il gagne la partie si chacune de ces trois boules porte une voyelle et il perd dans le cas contraire. À la fin de chaque partie, il remet dans l’urne la ou les boules tirée(s). On définit les évènements suivants : D1 : « le dé indique 1 », D2 : « le dé indique 2 », D3 : « le dé indique 3 », G : « la partie est gagnée ». A et B étant deux évènements tels que p( A)  0 , on note pA(B) la probabilité de B sachant que A est réalisé. 1. a. Déterminer les probabilités pD1 (G) , pD2 (G) et pD3 (G) . b. Montrer alors que p(G) 

23 . 180

2. Un joueur a gagné la partie. Calculer la probabilité qu’il ait obtenu le numéro 1 avec le dé. 3. Un joueur fait six parties. Calculer la probabilité qu’il en gagne exactement deux et en donner une valeur arrondie à 10−2 près. Quel nombre minimal de parties un joueur doit-il faire pour que la probabilité d’en gagner au moins une soit supérieure à 0,9 ?

Correction

4 . 10  4  4.3  10  10.9  6 chances sur   45 , pD2 (G) : s’il tire un 2, il gagne s’il tire 2 voyelles, soit     2 2 2    2  6 2 ; pD2 (G)   45 15  4  4.3.2  10  10.9.8  4 chances sur   120 , pD3 (G) : s’il tire un 3, il gagne s’il tire 3 voyelles, soit     3 3.2 3.2    3  4 1 . pD3 (G )   120 30 b. On applique les probabilités totales : 1. a. pD1 (G) : s’il tire un 1, il gagne s’il tire une voyelle, soit 4 chances sur 10, pD1 (G) 

p(G )  p  D1  G   p  D2  G   p  D3  G   pD1 (G ). p( D1 )  pD2 (G ). p( D2 )  pD3 (G). p( D3 ) 

4 1 2 2 1 3 23 . .  .  .  . 10 6 15 6 30 6 180

4 1 . p(G  D1 ) pD1 (G ). p( D1 ) 10 6 180 4 12 2. Ce coup-ci on cherche pG ( D1 )  .    .  23 p(G ) p(G ) 23 60 23 180 23 3. Un joueur fait six parties : loi binomiale avec n = 6 et p  . On cherche 180

 6   23   23  p( k  2)     1     0,14 . 180   2   180   2

4

 n   23   23   157  On remplace 6 par n et k par 0 : p( k  1)  1  p( k  0)  1     1  1     ; il faut 180   180   0   180   0

n

n

n

n

ln(0,1)  157   157   16,8 soit 17 parties minimum. donc résoudre 1     0, 9     0,1  n  ln(157 / 180)  180   180 