Exercice 100. Dans un lot de 20 yaourts, il y en a 3 qui ont dépassé

Exercice 100. Dans un lot de 20 yaourts, il y en a 3 qui ont dépassé la date de péremption. On extrait au hasard et simultanément 4 yaourts. Quelle est la probabilité qu'un seul de ces yaourts ait dépassé la date de péremption ? Exercice 101. Une urne contient 18 boules dont 13 rouges et 5 bleues. On tire au hasard et simultanément 6 boules de l'urne. Calculer la probabilité d'obtenir exactement 4 boules bleues. Exercice 102. Dans une loterie, un joueur achète 5 numéros différents. Un juge tire au hasard et simultanément 5 boules dans une urne en contenant 50 numérotées de 1 a 50. Les numéros des boules tirées deviennent alors les gagnants. Quelle est la probabilité que le joueur ait exactement un numero gagnant ? /(Exercice 103. Le mot de passe d'une carte bancaire est une suite ordonnée de 4 chiffres pris au hasard dans l'ensemble { O , . . . , 9}. Calculer la probabilité qu'un mot de passe choisi au hasard : 1. soit forme de chiffres distincts, 2, soit forme d'une suite strictement croissante. Exercice 104. Un étang contient 10 poissons : 7 gardons et 3 koi's. L'eau est suffisamment trouble pour qu'on ne puìsse voir l'espèce d'un poisson avant de l'avoir sorti de l'eau. On extrait au hasard, successivement et avec remise, 2 poissons. Calculer la probabilité d'obtenir 2 poissons d'espèces différentes. Exercice 105. On dispose d'un de cubique honnète. Quelle est la probabilité que le de afriche au moins une fois le numero 6 en 4 lancers ? Exercice 106. On dispose de 2 dés cubiques honnètes. On répète n fois le lancer de ces 2 dés et on s'interesse a chaque lancer aux deux numéros affichés. Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois le numero 6. Quelle valeur donner a n pour que cette probabilité soit au moins 0,5 ?

Solution 100. On choisit l'univers Sì = {combinaisons de 4 yaourts parmi 20}. Donc Card(n) = On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "un seul des 4 yaourts choisis a dépassé la date de peremption" se réalise. Gomme fi est finì et qu'il y a équiprobabilite, on considère l'espace probabilisé (Q,P(f2),P), où P désigne la probabilité uniforme. Donc

II reste a déterminer Card(.4). Gomme le tirage est simultané, il y a (j) possibilités pour le yaourt ayant dépassé la date de peremption et (^ possibilités pour les yaourts consommables. Donc

On en déduit que P(A)

- SKil - 3 X W f e v _ 3 x ( 1 7 x 8 x 5 ) - 1 ~ o 421 " " ~ 5 x 1 9 x 3 x 1 7 -19- 0 ' 4 ' 1 '

1 }~

Solution 101. On choisit l'univers fi = {combinaisons de 6 boules parmi 18}. Donc Card(Q) = On cherche a calculer la probabilité que l'événement B ="on obtient exactement 4 boules bleus" se réalise. Gomme fi est fini et qu'il y a équiprobabilite, on considère l'espace probabilisé (f^T^fl),!1), où P est la probabilité uniforme. Donc

II reste a calculer Card(B). Il y a (') possibilités pour les boules bleues et (j 3 ) possibilités pour les boules rouges. Donc

On en déduit que "" ijr _

5 x (13x6)

Solutìon 102. On choisit l'univers O = {combinaisona de 5 numéros parmi 50}. Donc Card(fi) = On cherche a calculer la probabilité que l'événement A = "un seul des 5 numéros est gagnant" se réalise. Gomme Sì est fini et qu'il y a équiprobabilite, on considère l'espace probabilisé (fZ,"?^),?), où P désigne la probabilité uniforme. Donc

II reste a déterminer Card(/4). Gomme le tirage est sans ordre et sans répétition, il y a (j) possibilités pour le numero gagnant et (445) possibilités pour les 4 numéros perdants. Donc Card(^l) = P On en déduit que iiK±l - 5 x 4i(44sB-4)i _ 5 x 15 x 11 x 43 x 21 (so) ~ gy^i ~ 10 x 49 x 4 x 47 x 23 ~ '

3.3 Solutions

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Solution 103. Analyse de l'énoncé. On choisit l'univers fi = {O, . . . ,9}4. Donc Card(n) = IO4. Gomme Q est fini et qu'il y a équiprobabilité, on considère l'espace probabilisé (fi, P(£l), P), où IP désìgne la probabilité uniforme. Pour tout événement A, on a Card(Q) ' 1. On cherche a calculer la probabilité que l'événement B = "les chifFres du mot de passe sont distincts" se réalise. On cherche a calculer P(B). On a B = {arrangements de 4 chiffres parmi 10}, donc Card(5) = AW = 10 x 9 x 8 x 7. Par conséquent, w=

10X9X8X7

=0j6M<

2. On cherche a calculer la probabilité que l'événement C = "les chiffres du mot de passe forme une suite croissante" se réalise. On cherche a calculer P((7). Comine il y a autant de suites croissantes de 4 chiffres parmi 10 que de combinaisons de 4 chiffres parmi 10, on a Card(