EXERCICE 3 (4 points) Au cours d`une séance, un joueur de tennis

EXERCICE 3 (4 points) Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et ̅̅̅̅ l’évènement contraire. Soit la probabilité de et celle de ̅̅̅̅. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées — si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8 . — si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7. 1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. a. Déterminer la loi de probabilité de X. (On pourra utiliser un arbre de probabilité) b. Calculer l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. 2. On s’intéresse maintenant au cas général. a. Donner les probabilités conditionnelles suivantes : ( ) ) ̅̅̅̅ ( b. Montrer que, pour tout entier naturel non nul n, on a : . 3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par . Dans ces deux questions, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. a. Déterminer la nature de la suite ( ). b. En déduire la limite de la suite ( )

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Au cours d’une séance, un joueur de tennis s’entraîne à faire des services. Pour tout entier naturel non nul, on note l’évènement « le joueur réussit le n-ième service » et ̅̅̅̅ l’évènement contraire. Soit la probabilité de et celle de ̅̅̅̅. La probabilité qu’il réussisse le premier service est égale à 0,7. On suppose de plus que les deux conditions suivantes sont réalisées — si le joueur réussit le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,8 . — si le joueur ne réussit pas le n-ième service, alors la probabilité qu’il réussisse le suivant vaut 0,7. 1. On s’intéresse aux deux premiers services de l’entraînement. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de services réussis sur ces deux premiers services. a. On a l’arbre de probabilité suivant :

𝑅

Déterminons la loi de probabilité de X. ( ( (

) ) )

(

( ( ( (

) ) ) )

( (

) ) )

(̅̅̅

( ( (

0,8

𝑅

)

0,2 ̅̅̅) ̅̅̅)

(̅̅̅ (̅̅̅

) )

0,7

0,3

̅̅̅)

̅̅̅ 𝑅

̅̅̅ 𝑅 𝑅 ̅̅̅ 𝑅

0,3

Récapitulons ces résultats dans un tableau donnant la loi de probabilités de X. ( )

b. Calculons l’espérance mathématique E(X) de la variable aléatoire X. ( ) ( ) 2.a. On s’intéresse maintenant au cas général. D’après l’énoncé, on a : ( ) ) ̅̅̅̅ (

𝑅𝑛

b. Montrons que, pour tout entier naturel non nul n, on a : On a donc l’arbre de probabilités suivant : D’après la loi des probabilités totales : ( ) ( ) ( ) (

𝑥𝑛 (̅̅̅̅)

̅̅̅̅ (

0,8

0,2

)

)

0,7

1- 𝑥𝑛 ̅̅̅̅ 𝑅𝑛

0,3

𝑅𝑛

̅̅̅̅̅̅ 𝑅𝑛 𝑅𝑛 ̅̅̅̅̅̅ 𝑅𝑛

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3. Soit la suite (un) définie pour tout entier naturel non nul par a. Déterminons la nature de la suite ( ). (

(

(

.

)

)

) est une suite géométrique de raison 0,1 et de premier terme

b. Déterminons la limite de la suite (

.

)

On a, d’après le cours de Première S : Attention, un piège est ici de mal se remémorer cette formule et donc d’écrire à tort :

(

) (

( (

) ) )

Sur un très grand nombre de services le pourcentage de services réussis se rapproche de 77,8 %.

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