Mr Serge - Guenaman
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Préface Les gammes de documents intitulés ‘’ GUENAMAN ’’ sont l’œuvre de Mr Serge-GUENAMAN, Etudiant en Licence Mathématique-Informatique Appliqués à l’Université d’Abobo-Adjamé en Côte d’Ivoire. Il entend par l’édition de ces documents contribuer à la formation intellectuelle des élèves des classes de Terminale Scientifiques. Selon lui, le travail est le seul moyen pour une personne de s’affirmer, de retrouver la liberté. Vous trouverez dans ce document ‘’ GUENAMAN, OPTION MATH ‘’ des sujets de Math de la France, de quelques états des Etats-Unis et de l’Afrique septentrionale aux fins de vous confronter aux élèves de ces états qui prône l’éducation et la formation. Ceci vous élargie certainement votre champ d’action et vous prépare efficacement à affronter le BAC. Pour une meilleure et rapide compréhension, les exercices de ce document sont regroupés par thèmes. Ils sont tous corrigés, commentés et plusieurs fois révisés. Cependant, tout homme étant sujet à l’erreur, il est possible que vous y déceliez des erreurs. Dans ce cas, contactez rapidement la maison d’édition par appel au +225 05 76 90 45 ou par mail à l’adresse
[email protected] pour une éventuelle correction du document. Toutefois, Mr Serge-GUENAMAN tient à rappeler que la chance d’y trouver des erreurs est très minime, vue le sérieux dont il a usé lors de la rédaction du document. Aussi se met-il à votre entière disposition pour une meilleure explication des exercices que vous trouverez difficiles. Que le courage et la persévérance soient vos alliées dans ce long et pénible combat que vous avez entrepris: les études. Mr Serge-GUENAMAN s’excuse pour la qualité des caractères, c’est juste pour luter contre toute photocopie illégale du document. « La photocopie tue l’auteur alors aider-nous à vous aider ». Il existe aussi ‘’ GUENAMAN, OPTION PHYSIQUES ‘’ et ‘’ GUENAMAN, OPTION CHIMIE ‘’. Bonne compréhension à vous et bonne chance pour le BAC.
Mr Serge-GUENAMAN
‘’ Jésus -Christ
fait ma Force ‘’
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Exercice n°1 Six personnes sont invitées à s’assoir autour d’une table ronde. Combien peut-on dénombrer de dispositions différentes de ces personnes les unes par rapport aux autres ? Exercice n°2 Dans une banque, chaque client possède un compte dont le code est composé de trois lettres et cinq chiffres non nécessairement distincts du type LMD12345. 1) On impose que les 3 lettres entrant dans la composition d’un code soient distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code : a) Commence par AB ? b) Commence par A ? c) Contient un A ? d) Contient un A ou un B ? e) Contient un A et un B ? f) Commence par A et se termine par 123 ? 2) On suppose que les trois lettres ne sont plus nécessairement distinctes. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code : a) Commence par A ? b) Finit par 999 ? c) Contient au moins deux A ? 3) On suppose que les trois lettres ne sont plus nécessairement distinctes et qu’il est impossible d’utiliser les chiffres 0 1 2 3 4 qui sont réservés à des codes spéciaux. Combien peut-on ouvrir de comptes dont le code : a) Commence par A ? b) Finit par 999 ? c) Commence par A et finit par 89 ? Exercice n°3 La société CAILLAIT fabrique des yaourts aux fruits avec dix parfums différents. Le directeur des ventes propose de constituer des lots de quatre pots de parfums différents. 1) Combien de lots distincts peut-on former ? 2) Combien de lots distincts peut-on former sachant qu’ils ne doivent contenir simultanément un pot à la banane et un pot à la mangue ? 3) Combien de lots distincts peut-on former sachant que si un lot contient un pot au citron, il doit obligatoirement contenir un pot au fruit de la passion ? Exercice n°4 On extrait une carte au hasard d’un jeu de 52 cartes. Calculer la probabilité des événements suivants : 1) « La carte est une dame » 2) « La carte est une dame ou un cœur » 3) « La carte est une dame ou un cœur ou un roi » 4) « La carte est une dame ou un cœur ou un carreau »
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Exercice n°5 Dans un hôpital, on soigne 400 malades pour trois symptômes A, B et C. 120 malades présentent le symptôme A seulement, 64 le symptôme B seulement, 72 le symptôme C seulement, 72 les symptômes A et B seulement, 20 les symptômes B et C seulement et 12 le symptôme A et C seulement. On rencontre un malade de cet hôpital au hasard. Déterminer la probabilité que ce malade : a) Présente les 3 symptômes. b) Présente le symptôme A c) Ne présente pas le symptôme B d) Ne présente ni le symptôme A ni le symptôme C. Exercice N°6 Un joueur lance deux dés dont les faces sont numérotées de 1 à 6. On suppose que les dés sont non-truqués et donc que pour chaque dé, toutes les faces ont la même probabilité d'apparition. Le joueur suivant les règles suivantes: - Si les deux dés donnent le même numéro alors le joueur perd 10 points - Si les deux dés donnent deux numéros de parités différentes (l'un est pair et l'autre impair) alors il perd 5 points. - Dans les autres cas il gagne 15 points. Le joueur joue une partie et on note X la variable aléatoire correspondant au nombre de points obtenus. a . Déterminez la loi de probabilité de X puis calculez l'espérance de X. b. Représentez graphiquement la fonction de répartition de X. Le joueur effectue 10 parties de suites. Les résultats des parties sont indépendants les uns des autres. On appelle alors Y la variable aléatoire égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points. c. Expliquez pourquoi Y suit une loi binomiale. Quels sont les paramètres de Y? d. Quelle est la probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points? e. Combien de fois le joueur peut espérer gagner 15 points? Le joueur joue n parties de suite. f. Quelle est la probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points? g. A partir de quelle valeur de n sa probabilité de gagner au moins une fois15 points est strictement supérieure à 0,9999 ? Exercice N°7 Amérique de Nord Juin 2000 Bac ES Les résultats de cet exercice seront donnés sous forme décimale arrondie au centième. Un camp d'adolescents propose des stages d'activités nautiques pour débutants avec au choix: Planche à voile , plongée ou ski nautique. Lors d'un stage donné, ce camp accueille vingt jeunes don sept seront initiés à la planche à voile, huit à la plongée et cinq au ski nautique. Chaque stagiaire ne pratique qu'une seule des trois activités. I. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt. a: Combien de groupes est-il possible de former? b: Déterminez la probabilité de chacun des événements suivants:
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A : " les trois stagiaires pratiquent des activités différentes " B : " Les trois stagiaires pratiquent la même activité " C : " Au moins l'un des trois stagiaires pratique le ski nautique ". II . Parmi les trois stagiaires, un seul se prénomme Christian. Chaque jour, on choisit un groupe de trois stagiaires chargé du service au repas de midi. a. Montrez que la probabilité que Christian soit choisi un jour donné pour le service de midi est égale à 0,15. b. La durée du stage est de cinq jours. Quelle est la probabilité de ne jamais choisir Christian pour le service de midi pendant le séjour ? c. Quelle est la probabilité de le choisir exactement une fois ? d. Montrez que la probabilité de choisir Christian au moins deux fois est inférieure à 0,2 .
Exercice N°8 D'après France Métropolitaine Septembre 1999 - Bac ES Un entraineur d'une équipe de football a étudié les statistiques de tir au but (pénalty) de ses joueurs. Il a alors remarquer que sur une série de cinq tirs au but, un joueur pris au hasard dans son équipe marque - 5 buts avec une probabilité de 0,2 - 4 buts avec une probabilité de 0,5 - 3 buts avec une probabilité de 0,3. Chaque joueur, à l'entrainement, tire 2 séries de 5 ballons. On admet que les résultats d'un joueur à chacune des 2 séries sont indépendants. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de tirs aux buts réussis par un joueur au cours d'un entrainement. I. a . Calculez la probabilité, pour un joueur pris au hasard, de réussir tous ses tirs aux buts lors d'un entrainement. b . Précisez les valeurs possibles pour X et établir sa loi de probabilité. (on pourra s'aider d'un arbre). c . Calculez l'espérance de X . II. L'entraineur considère que le joueur a réussi l'épreuve des tirs au but lorsque X > 8. Montrez que la probabilité pour un joueur de réussir cette épreuve lors d'un entrainement est égale à 0,61 . III. Chaque joueur participe à 10 séances d'entrainement. On admet que les épreuves de tirs au but sont indépendantes les unes des autres. On appelle Y la variable aléatoire égale au nombre de succès d'un joueur à l'épreuve des tirs au but au cours des ces 10 entrainements, c'est à dire le nombre de fois où il a marqué au moins 8 buts. Si au cours d'une séance d'entrainement, il ne marque pas au moins 8 buts, on dit qu'il a eu un échec. Les résultats seront donnés par défaut, avec 3 chiffres après la virgule. Calculez pour un joueur :
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a . la probabilité de n'avoir aucun échec lors des 10 séances. b . la probabilité d'avoir exactement 6 succès. c . la probabilité d'avoir au moins 1 succès. III .Calculez le nombre minimale d'entrainement auxquels doit participer un joueur pour que la probabilité d'avoir au moins un succès soit supérieure à 0,99.
Exercice N°9 Une urne contient 5 boules noires, 4 boules blanches et 1 boule verte. On tire simultanément 5 boules de cette urne. a. Combien y-a-t-il de tirages possibles? b. Si tous les tirages sont équiprobables, quelle est la probabilité de tirer i. aucune boule noire? ii. autant de boules vertes que de boules blanches? iii. au moins une boule noire? iv. exactement une boule noire et exactement une boule verte? Exercice N°10 Une classe de terminale compte 30 élèves dont 20 filles. A chaque cours de mathématiques, le professeur de cette classe interroge au hasard un élève. D'un cours à l'autre, le professeur ne se rappelle pas de l'élève interrogé au cours précédent ce qui fait qu'à chaque cours, le choix de l'élève par le professeur est indépendant des choix précédents. a. Quelle est la probabilité, à un cours donné, que l'élève interrogé soit une fille? n est un entier positif. On appelle X la variable aléatoire définie par: "X=nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques consécutifs" b. Quelle est la loi de probabilité de X? c. Quelle est la probabilité que le nombre de filles interrogées soit égal à 4 durant 10 cours consécutifs? d. Quelle doit être le nombre minimum de cours consécutifs pour la probabilité qu'aucune fille ne soit interrogée soit inférieur à 0,001? Durant un trimestre, il y a 36 cours de mathématiques. Quel nombre de filles interrogées peut-on espérer? Exercice N°11 (Série S, Amérique du Nord, 1996) On désigne par n un entier naturel supérieur ou égal à 2. On imagine n sacs de jetons S1, S2, ., Sn . Au départ, le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 blanc, et chacun des autres sacs contient 1 jeton noir et 1 jeton blanc. On se propose d'étudier l'évolution des tirages successifs d'un jeton de ces sacs, effectués de la façon suivante : - Première étape : on tire au hasard un jeton de S1 ; - Deuxième étape : on place ce jeton dans S2, et on tire, au hasard, un jeton de S2 ;
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- Troisième étape : après avoir placer dans S3 le jeton sorti de S2, on tire, au hasard, un jeton de S3. et ainsi de suite. Pour tout entier naturel k tel que 1< k < n, On note Ek l'événement "le jeton tiré de Sk est blanc" 1: a) Déterminez la probabilité de E1, notée P(E1), et les probabilités conditionnelles: Déduisez-en la probabilité de E2, notée P(E2). b) Pour tout entier k tel que 1 < k < n, la probabilité de Ek est notée pk. Justifiez la relation de récurrence suivante :
2: Etude d'une suite (uk).
On note (uk) la suite définie par a) On considère la suite (vk) définie par, pour tout élément k de N*, vk = uk - 0,5. Démontrez que la suite (vk) est une suite géométrique. b) Déduisez-en l'expression de uk en fonction de k. Montrez que la suite (uk) est convergente et précisez sa limite. 3: Dans cette question, on suppose que n = 10. Déterminez pour quelles valeur de k on a: 0,4999 < pk < 0,5
Exercice N°12 Un gardien de but doit faire face, lors d'une démonstration, à un certain nombre de tirs directs. Les expériences précédentes conduisent à penser que :
s'il a arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant [ le (n + 1)ieme] est 0,8; s'il n'a pas arrêté le nième tir, la probabilité pour qu'il arrête le suivant est 0,6 . la probabilité pour qu'il arrête le premier tir est 0,7
Dans tout l'exercice, si E est un événement, on note p(E) la probabilité de E, E, l'événement contraire de E. On note p(E/f ) la probabilité conditionnelle de l'événement E sachant que F est réalisé. An est l'événement ''le gardien arrête le nieme tir''. On a donc p(A1 )= 0,7. 1. a: Donnez pour n > 1 les valeurs de p(An+1 / An ) et p( n+1 / An) b: Exprimez p(An+1 An ) et p(An+1 n ) en fonction de p(An ) c:Déduisez-en que, pour tout entier strictement positif n ³ 1 on a :p(An+1 ) = 0,2 p(An ) + 0,6.
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2. On pose à présent, pour n > 1, pn = p(An ) et un = pn - 0,75 a: Démontrez que (un) est une suite géométrique de raison 0,2 b:Déduisez-en une expression de pn en fonction de n c:Montrez que (pn ) admet une limite que l'on calculera.
Exercice N°13 Dans une salle de jeu un appareil comporte 4 roues, chacune portant à sa périphérie 8 images de fruits différents: Ananas, Bananes, Cerises, Dattes, Fraises, Groseilles, Poires, Raisins. Une mise de 1F déclenche le fonctionnement de l'appareil pour une partie. Chacune des quatre roues affiche au hasard dans une fenêtre un de ces 8 fruits. Exemple d'affichage :
On admettra que tous les événements élémentaires sont équiprobables. 1. Calculez la probabilité des événements suivants : E : on obtient quatre fruits identiques; F : on obtient trois fruits identiques et trois seulement; G : on obtient quatre fruits distincts. 2. Certains résultats permettent de gagner de l'argent : 50 F pour quatre fruits identiques;5 F pour trois fruits identiques;1 F pour quatre fruits distincts; 0 F pour les autres résultats. Soit X la variable aléatoire qui à chaque résultat associe le gain indiqué ci-dessus. a: Quelle est la probabilité de l'événement "obtenir un gain non nul "? b: Déterminez l'espérance mathématique de X, notée E[X]. N.B. Les résultats seront donnés sous forme décimale avec trois chiffres significatifs. Exercice N°14 Dans une population donnée, 15 % des individus ont une maladie Ma. Parmi les individus atteints de la maladie Ma, 20 % ont une maladie Mb et parmi les individus non atteints de la maladie Ma, 4 % ont la maladie Mb. 1. On prend un individu au hasard et on désigne respectivement par A et B les événements suivants : " l'individu est atteint de la maladie Ma " " l'individu est atteint de la maladie Mb" désigne l'événement contraire de A, PA (B) désigne la probabilité de "B sachant A" c'est à dire la probabilité conditionnelle de B par rapport à A. a: Donnez les valeurs de p(A), pA(B) et p (B)
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b: Calculez p(B A ) et p(B c: Calculez pB(A)
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). Déduisez-en p(B)
On prend 10 individus au hasard dans cette population et on désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de ceux ayant la maladie Ma et la maladie Mb. a:Quelle est la loi de probabilité de X ? (Donnez, en fonction de k, la probabilité P(X=k), où O < k < 10 ) b: Déterminez la probabilité de l'événement "deux individus au plus sont atteints de la maladie Ma et la maladie Mb " Dans cet exercice les résultats seront donnés sous forme décimale à 10-3 près
Exercice N°15 Polynésie juin 1999 Une urne contient 5 boules noires et 5 boules blanches. On prélève n boules successivement et avec remise, n étant un entier naturel supérieur ou égal à 2. On considère les deux événements suivants: A:" On obtient des boules des deux couleurs"; B:" On obtient au plus une boule blanche ". 1: a:: Calculez la probabilité de l'événement: "Toutes les boules tirées sont de même couleur " b: Calculez la probabilité de l'événement: "On obtient exactement une boule blanche". n c: Déduisez-en que les probabilités p(A et B) , p(A) et p(B) sont: P( A B) n , 2 1 n 1 P( A) 1 n 1 et P ( B ) n 2 2 2: Montrez que p(A B) = p(A).p(B) si et seulement si 2 ( n - 1) = n+1. 3: Soit (Un) la suite définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2 par: Un= 2 (n - 1) - (n+1) a: Calculez les trois premiers termes de cette suite. b: Démontrez que cette suite est strictement décroissante. 4: Déduisez-en la valeur de l'entier n tel que les événements A et B soient indépendants
Exercice N°16 Amérique du Nord juin 1999 Partie I
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Lors de la préparation d'un concours, un élève n'a étudié que 50 des 100 leçons. On a mis 100 papiers contenant chacun une question dans une urne, ces questions portant sur des leçons indépendantes. Le candidat tire simultanément au hasard 2 papiers. On donnera les réponses sous forme de fractions irréductibles. 1: Quelle est la probabilité qu'il ne connaisse aucun de ces sujets? 2: Quelle est la probabilité qu'il connaisse les deux sujets? 3: Quelle est la probabilité qu'il connaisse un et un seul de ces sujets? 4: Quelle est la probabilité qu'il connaisse au moins un de ces sujets? Partie II On considère maintenant que l'élève a étudié n des 100 leçons ( n étant un entier naturel inférieur ou égal à 100). 1: Quelle est la probabilité Pn qu'il connaisse au moins un de ces sujets? 2: Déterminez les entiers n tels Pn soit supérieur ou égal à 0,95.
Exercice N°17 Centres Etrangers Groupe 1 999 1: Une urne U 1 contient 2 jetons numérotés 1 et 2. Une urne U 2 contient 4 jetons numérotés 1 , 2 , 3 et 4. On choisit au hasard une urne, puis un jeton dans cette urne.(Les choix sont supposés équiprobables). a: Quelle est la probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1? b: On a tiré un jeton portant le numéro1. Quelle est la probabilité qu'il provienne de l'urne U 1? 2: On rassemble maintenant les deux urnes en une seule, qui contient donc les 6 jetons précédents. On tire simultanément et au hasard 2 jetons de cette urne. Les tirages sont supposés équiprobables. a: Calculez la probabilité de tirer 2 jetons identiques. b: Soit S la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe la somme des numéros des 2 jetons tirés. Déterminez la loi de probabilité de S. c: Deux joueurs, Claude et Dominique, décident que si la somme des numéros est impaire, Claude donne 10 euros à Dominique et que dans le cas contraire, Claude reçoit x euros de Dominique. On note X la variable aléatoire qui, à chaque tirage, associe le gain algébrique de Claude. Calculez l'espérance mathématique de X en fonction de x, puis déterminez x pour que le jeu soit équitable.
Exercice N°18 France-Métropolitaine juin 98 Dans cet exercice, A et B étant deux événements, p(A) désigne la probabilité de A; p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé. 1: Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est
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une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité: p i = p( X = i ) et p 0 = 0,1 ; p 1 = 0,5 ; p 2 = 0,4 a: Définir et représentez graphiquement la fonction de répartition de X. b: Calculez l'espérance mathématique de X 2: Dans cette station service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7; celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant des autres clients. On considère les événements suivants: C1 :" En cinq minutes, un seul client se présente" ; C2 :" En cinq minutes, deux clients se présentent"; E :" En cinq minutes, un seul client achète de l'essence". a: Calculer p( C1 et E ). b: Montrer que p(E / C2) = 0,42 et calculez p(C2 et E). c: En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'essence. 3: Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en cinq minutes. Déterminer la loi de Y Exercice N°19 Guadeloupe-Guyane-Martinique juin 98 Un jeu de dominos est fabriqué avec les sept couleurs: violet, indigo, bleu, vert, jaune, orange, rouge. Un domino se décompose de deux cases portant chacune l'une des sept couleurs. Chaque couleur peut figurer deux fois sur le même domino: c'est un double. 1: Montrer que le jeu comporte 28 dominos différents. Les 28 dominos, indiscernables au toucher, sont mis dans un sac. 2: On tire simultanément trois dominos du sac. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux doubles parmi ces trois dominos? 3: Dans cette question, on tire un seul domino. Calculer la probabilité des événements suivants: a: J2: " Le jaune figure deux fois " b: J1: " Le jaune figure une seule fois " c: J : " Le jaune figure au moins une fois " 4: On effectue n tirages successifs d'un domino, en notant à chaque tirage la ou les couleurs obtenues avant de remettre dans le sac le dominé tiré et de procéder au tirage suivant; les tirages sont indépendants. a: Calculer, en fonction de n, la probabilité Pn que J soit réalisé au moins une fois. b: Calculer la plus petite valeur de l'entier naturel n pour laquelle Pn soit supérieur ou égal à 0,99 . Exercice N°20 Guadeloupe-Guyane-Martinique-juin99 Lors d'un examen, un questionnaire à choix multiple (Q.C.M) est utilisé. On s'intéresse à cinq questions de ce (Q.C.M) supposées indépendantes. A chaque question sont associées quatre affirmation, numérotées 1 , 2 , 3 et 4 , dont une seule est exacte. Un candidat doit répondre à chaque question en donnant seulement le numéro de l'affirmation qu'il juge exacte. Sa réponse est correcte si l'affirmation qu'il a
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retenue est vraie, sinon sa réponse est incorrecte. Dans cet exercice, les probabilités demandées seront données sous forme fractionnaire. 1: Un candidat répond à chaque question au hasard, c'est à dire qu'il considère que les quatre affirmations correspondantes sont équiprobables. a: Calculer la probabilités des événements suivants: A: " Le candidat répond correctement à la première des cinq questions"; B: " Le candidat répond correctement à deux questions au moins sur les cinq questions ". b: On attribue la note 4 à toute réponse correcte et la note (-1) à toute réponse incorrecte. Calculer la probabilité de l'événement C: " Le candidat obtient une note au moins égale à 10 pour l'ensemble des cinq questions." 2: on suppose maintenant qu'un candidat connaît la réponse correcte à deux questions et qu'il répond au hasard aux trois autres questions. Quelle est alors la probabilité de l'événement C décrit en 1:b: ?
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SOLUTION DE L’ARTICLE Par Serge-GUENAMAN
Exercice N°1 Dans cet exercice, il est question de la position des invités les uns par rapport aux autres et non par rapport aux chaises ni à la table. Ainsi pour avoir le nombre total de positions, prenons un invité comme référence c'est-à-dire fixons-le dans une chaise quelconque et faisons varier la position des cinq autres invités. Il s’agit donc d’un arrangement de cinq personnes dans cinq chaises : c’est précisément une permutation de cinq personnes. Nous obtiendrons le même résultat si la personne servant de référence change de chaise. Par conséquent le nombre total de positions des invités les uns par rapport aux autres est (6-1) ! = 5 ! = 120. De manière générale, il y a (n-1) ! positions de n personnes assises autour d’une table ronde les unes par rapport aux autres. Exercice N°2 1) Pour cette première question, les 3 lettres doivent être obligatoirement différentes. Aussi, il n’y a pas de conditions sur les cinq chiffres. Alors comme le système de numérotation décimale compte 10 chiffres allant de 0 à 9, on dispose de 10 chiffres. a) Pour ce type de code, les deux premières lettres sont fixées. Seule la troisième lettre reste à être choisie parmi les 24 lettres restant ( car A et B ne doivent plus figurées dans le code) et les 5 chiffres parmi les 10 du système décimal. Ainsi il y a exactement 24×105 codes possibles. b) Pour les codes commençant par la lettre A, on dispose de 25 lettres possibles pour le choix de la deuxième lettre (car A ne doit pas être choisi) et de 24 choix possibles pour la troisième (car A et la deuxième lettre ne doivent plus être choisies) puisque les lettres doivent absolument être différentes. Soit exactement 25×24×105 codes possibles. c) Ce type de code contient une lettre A, la lettre A ne devant pas se répéter, cela nous impose 25 choix différents pour la deuxième lettre et 24 choix pour la troisième. Comme il y a 3 lettres dans le code, il y a aussi 3 positions différentes de A. Il peut être soit à la première, soit à la deuxième ou soit à la troisième place. Pour chacune de ces trois positions, nous comptons exactement le même nombre de codes c'est-à-dire 25×24×105. Soit au total 3×25×24×105 codes contenant une lettre A. d) Ici le code contient une lettre A ou une lettre B. Cela est bien différent de « une lettre A et une lettre B ». Pour être plus claire, les lettres A et B ne doivent pas figurer simultanément dans ce type de code. Ce qui nous impose 24 choix pour la deuxième lettre et 23 choix pour la
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troisième lettre du code, A ou B figurant déjà dans le code. Notons qu’il y a 3 positions de la lettre A et 3 positions de la lettre B comme précédemment. Par conséquent, le nombre total de codes est 3(24×23×105) + 3(24×23×105)= 6×24×23×105 e) Pour ce type de codes, les deux lettres A et B doivent simultanément figurées dans le code. Pour la troisième lettre, il y a donc 24 choix possibles car les lettres A et B ne doivent plus être tirées. Cette fois il y a 6 dispositions différentes des lettres qui sont : (A,B,X), (A,X,B), (X,A,B), (B,A,X), (B,X,A) et (X,B,A) où X désigne la troisième lettre à choisir. Pour chacune de ces positions, il y a 24 105 codes possibles. D’où le nombre total de codes de ce type est 6×24×105. f) Il y a une très grande différence entre « commence par un A » et « contient un A ». Ici les codes commencent par A, donc il y a 25 choix pour la deuxième lettre (car A ne doit pas se répéter) et 24 choix pour la troisième lettre (car A et la deuxième lettre ne doivent pas se répéter). Aussi ils se terminent par 123 donc le choix des deux premiers chiffres est libre. Par exemple le code ABC00123 commence bien par A et se termine par 123. Par conséquent il y a exactement 25×24×102 codes possibles de ce type. 2) Ici les lettres ne sont plus nécessairement distinctes c'est-à-dire qu’elles peuvent éventuellement se répéter. a) Remarquons qu’un code peut commencer par A et contenir une seule ou deux ou trois lettres A car les lettres peuvent se répéter. Alors pour le choix de chacune des deux dernières lettres, nous disposons de 26 choix possibles. Comme il n’y a pas de condition sur les chiffres du code, nous les choisissons parmi les dix que compte le système décimal. Par conséquent, il y a au total 262×105 codes. b) En procédant au même raisonnement que dans la précédente question, il y a exactement 263×102 codes se terminant par 999. c) Contenir au moins 2 A sur 3 lettres revient à contenir soit exactement 2 A soit exactement 3 A. Pour les codes contenant exactement 2 A, il y a trois dispositions différentes des lettres A qui sont (AAX) , (AXA) , (XAA) où X est une lettre distinctes de A. Pour chacun de ces trois cas, nous disposons de 25×105 codes. Soit 3×25×105 codes contenant 2 A. Pour les codes contenant exactement 3 A, nous en disposons 105 car il n’y a que les cinq chiffres à choisir. Au total il y a 3×25×105 + 105 codes contenant au moins deux A. 3) Ici les 3 lettres ne sont pas nécessairement distinctes, nous les choisirons donc parmi les 26 que compte l’alphabet. Les chiffres 0, 1, 2, 3, 4 ne pouvant être utilisés, nous choisirons les chiffres parmi les 5 derniers chiffres que sont 5, 6, 7, 8 et 9. a) Ainsi, en se servant d’un raisonnement analogue à celui des questions précédentes, il y a exactement 262×55 codes commençant par A. b) De même il y a 263×52 codes se terminant par 999. c) Il y a 262×53 codes commençant par A et se terminant par 89
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Exercice N°3 1) La société dispose de 10 parfums différents parmi lesquels l’on doit choisir 4 pour constituer un lot. Comme il n’y a pas d’ordre de disposition des pots dans le lot, le nombre total de lots est donc le nombre de combinaisons de 4 éléments pris parmi 10 : C104 . 2) Les lots ne contenant pas simultanément un pot à la banane et un pot à la mangue se regroupent en trois cas : - Ceux ne contenant ni un pot à la banane, ni un pot à la mangue. Pour ces lots, on a choisi les 4 pots parmi 8 : Il y en a C84 - Ceux contenant un pot à la banane et trois autres pots tous distincts du pot à la mangue. Sachant que le pot à la banane figure déjà dans le lot, il nous reste à choisir les trois autres pots parmi 8. Il y en a C83 - Ceux contenant un pot à la mangue et trois autres pots tous distincts du pot à la banane. Sachant que le pot à la mangue figure déjà dans le lot, il nous reste à choisir les trois autres pots parmi 8. Il y en a C83 Il y a au total C84 2 C83 182 lots. Une deuxième méthode beaucoup plus simple est de procéder par événement complémentaire. Elle consiste à soustraire le nombre de lots contenant simultanément les 2 pots cités du nombre total de lots. Il y C82 lots contenant simultanément le pot à la mangue et à la banane. Comme il y a au total C104 lots, il y a alors C104 C82 182 lots. 3) La condition « si un lot contient un pot au citron, il doit obligatoirement contenir un pot au fruit de la passion » n’implique pas que les lots doivent obligatoirement contenir les pots de citron et de passion. Deux cas s’imposent : - Les lots ne contenant ni le pot de citron ni le pot de passion. Il s’agit de choisir les quatre pots constituant ces lots parmi les 8 pots restant (distincts de citron et de passion). Il y en a donc C84 . -Les lots contenant les pots de citron et de passion. Ces deux pots figurant déjà dans le lot, il reste à choisir les deux autres pots parmi les 8 pots restant (distincts de citron et de passion). Il y en a C82 . Au total il y a C84 + C82 lots
Exercice N°4 1) Il est dit que l’on tire une carte parmi les 52 que compte le jeu alors il y 52 tirages possibles. Dans un jeu de 52, il y a exactement 4 dames : dame de pique, dame de trèfle, dame de carreaux et dame de cœur. Ainsi nous n’avons que 4 cas favorables sur 52. D’où la probabilité 4 1 . est 52 13
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2) Ici nous devons faire attention au cas « dame de cœur ». En effet il est bien dit « une dame ou un cœur » donc la carte « dame de cœur » n’est pas favorable car c’est à la fois une dame et un cœur. Ainsi nous avons 15 cas favorables dont 3 dames et 12 cœurs. Par conséquent la 15 probabilité de cet événement est . 52 3) Ici également nous devons faire attention à 2 cas : « dame de cœur » et « roi de cœur » car ils ne sont pas favorables pour la même raison que précédemment. Ainsi nous avons 17 cas favorables dont 3 dames, 3 rois et 11 cœurs. Par conséquent la probabilité de cet événement 17 est 52 4) Evidemment nous devons exposer 2 cas critiques non favorables que sont « dame de cœur » et « dame de carreau » car la question précise bien « OU » et non « ET ». Nous avons donc 26 cas favorables dont 2 dames, 12 cœurs et 12 carreaux. La probabilité de cet événement est 26/52 = ½.
Exercice N°5 Dans tout l’exercice, désignons par : A : l’ensemble des malades présentant le symptôme A seulement B : l’ensemble des malades présentant le symptôme B seulement C : l’ensemble des malades présentant le symptôme C seulement AB : l’ensemble des malades présentant les symptômes A et B seulement AC : l’ensemble des malades présentant les symptômes A et C seulement BC : l’ensemble des malades présentant les symptômes B et C seulement ABC : l’ensemble des malades présentant les 3 symptômes A, B et C. M : l’ensemble des malades de l’hôpital. a) Calculons d’abord le nombre de malades présentant les 3 symptômes c'est-à-dire le cardinal de l’ensemble ABC. Les ensembles A, B, C, AB, AC, BC et ABC tels que définis, forment une partition de l’ensemble des malades M c'est-à-dire qu’ils sont 2 à 2 disjoints et leur réunion donne l’ensemble M. Alors : card(M)=card(A)+card(B)+card(C)+card(AB)+card(AC)+card(BC)+card(ABC) → card(ABC)=card(M)-( card(A)+card(B)+card(C)+card(AB)+card(AC)+card(BC) ) →card(ABC)=400-(120+64+72+72+12+20)= 40. Soit PABC la probabilité que le malade présente les 3 symptômes. card ( ABC ) 40 1 Alors PABC card ( M ) 400 10 b) Les malades présentant le symptôme A ne se réduisent pas uniquement à ceux qui présentent le symptôme A seulement. Les malades des ensembles A, AB, AC et ABC présentent tous le symptôme A. Certes ils présentent soit A et B, soit A et C ou même les 3 symptômes à la fois mais ils présentent quand même le symptôme A. Soit PA la probabilité que le malade présente le symptôme A.
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card ( A) card ( AB) card ( AC ) card ( ABC ) card ( M ) 120 72 12 40 244 61 PA 400 400 100 c) Les malades ne présentant pas le symptôme B sont ceux des ensembles A, AC et C. Soit PB la probabilité que le malade ne présente pas le symptôme B. card ( A) card ( AC ) card (C ) 120 72 10 51 PB card ( M ) 400 100 PA
d) Seul les malades de l’ensemble B sont les seuls à ne présenter ni le symptôme A ni le card ( B) 64 16 symptôme C. Alors probabilité de cet événement est : P card (M ) 400 100
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Exercice N°6 L'univers est l'ensemble des résultats possibles après le lancer des deux dés. Ici, correspond au produit cartésien {1,2,3,4,5,6}x{1,2,3,4,5,6}. Son cardinal est Card( ) = 6² = 36. Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des résultats des lancers, on a alors: pour card ( A) tout evenement A de , P( A) card () a: La variable aléatoire X peut prendre les valeurs -10 , -5 , +15. L'événement "X = -10" est l'événement "obtenir le même numéro". C'est donc l'événement A = {(1,1) , (2,2) , (3,3) , (4,4) , (5,5) , (6,6) }. La probabilité de "X = -10" est donc : 6 1 P( X 10) . 36 6 De même, l'événement "X = -5" est l'événement "obtenir 2 numéros de parités différentes". C'est donc l'ensemble des couples (a , b) tels que a soit dans {1,3,5} et b soit dans {2,4,6} ou bien a soit dans {2,4,6} et b soit dans {1,3,5}. Le cardinal de cet événement est donc : 3 3 + 3 3 = 18. 18 1 p( X 5) . D'où : 36 2 Comme
p( X k ) 1 ,c'est-à-dire P( X 10) P( X 5) P( X 15) 1 on en déduit
que 1 1 1 P( X 15) 1 P( X 10) P( X 5) : p ( X 15) 1 . On résume cela 6 2 3 sous la forme d'un tableau :
X=k P(X = k)
-10 - 5 15 1 6
1 2
1 3
L'espérance de X est alors : 5 1 1 1 E ( X ) k . p ( X k ) 10 5 15 E ( X ) 6 6 2 3
b: La fonction de répartition de X est la fonction F définie sur IR par : Pour tout x réel, F(x) = P( X < x ). D'après le tableau de la loi de probabilité de X, on en déduit que : Si x < -10 alors F(x) = 0. Si -10 < x < -5 alors F(x) = 1/6
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Si -5 < x < 15 alors F(x) = 1/6 + 1/2 = 2/3 . Si x > 15 alors F(x) = 1/6 + 1/2 + 1/3 = 1 . D'où la courbe de la fonction de répartition de X.
c: Si le joueur effectue 10 parties de suite dont les résultats sont indépendants les uns des autres, comme pour chaque partie, la probabilité d'obtenir 15 points est constante et égale à 1/3 , on peut dire que la variable aléatoire Y égale au nombre de fois que le joueur gagne 15 points en 10 parties suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 1/3. Y suit donc la loi B(n = 10 , p = 1/3) On peut donc dire que pour entier 0 k 10, on a :
d: La probabilité que le joueur gagne au moins une fois 15 points est : 10 58025 2 P(Y 1) 1 P(Y 0) 1 59049 3 ( Nous avons procédé par évènements complémentaires ) e: Le nombre de fois que le joueur peut espérer gagner 15 points en 10 parties est l'espérance de la variable aléatoire Y. On sait que pour une variable aléatoire X de paramètre (n , p) , l'espérance de X est : E[X] = n.p Comme Y a pour paramètre n = 10 et p = 1/3 , on en déduit que l'espérance de Y est : 1 10 E[Y] = 10 . 3 3 f: Si le joueur joue n parties de suite alors la variable aléatoire Z égale au nombre de fois où il gagne 15 points suit une loi binomiale de paramètre (n , p =1/3 ). La probabilité qu'il gagne au moins une fois 15 points durant ces n parties est alors: P( Z > 1 ) =1 - P( Z = 0) n n 2 2 Comme P( Z = 0) = , on a alors P( Z > 1) = 1 3 3 g: On veut alors que P( Z > 1 ) > 0,9999. Ou encore que : 1 - (2/3)n > 0,9999.
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ou encore que (2/3)n < 0,0001. En utilisant la fonction logarithme népérien, on peut alors écrire que : n n 2 2 2 4 0, 0001 ln ln(10 ) n.ln 4 ln(10) 3 3 3 2 car n et ln 0 4.ln(10) n n 22, 71 n 23 3 2 ln 3 Le joueur a donc une probabilité de gagner au moins une fois 15 points supérieure à 0,9999 s'il joue au moins 23 parties de suite. Exercice N°7 I: a: Il y a 20 stagiaires. On veut en choisir 3. Cela revient à choisir 3 éléments parmi 20. C'est donc le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 20. Le nombre de choix possibles pour les groupes de 3 est donc: 3 C20
20! 20! 1140 3! 20 3! 3!17!
b: A est l'événement " les 3 stagiaires pratiquent des activités différentes" Comme on suppose qu'il y a équiprobabilité des choix des stagiaires, on a: P(A) = card(A) / 1140 Si on appelle V l'ensemble des stagiaires qui seront initiés à la planche à voile, P l'ensemble des stagiaires qui seront initiés à la plongée et S l'ensemble des stagiaires qui seront initiés au ski nautique, un événement élémentaire appartient à A si et seulement il contient exactement 1 élément de V , 1 élément de P et 1 élément de S. Comme Card(V) = 7 , Card(P) = 8 et Card(S) = 5 , on obtient: Card(A) = 7x8x5 = 280. 280 14 1140 57 L'événement B "les 3 stagiaires pratiquent la même activité" correspond à choisir 3 stagiaires parmi V ou P ou S. Comme Card(V) = 7, le nombre de choix de 3 éléments de V est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 7. De même, le nombre de choix de 3 éléments de P est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 8 et le nombre de choix de 3éléments de S est le nombre de combinaisons de 3 éléments parmi 5. Donc , on a : P( A)
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L'événement C est "au moins un des trois stagiaires pratique le ski nautique". L'événement contraire de C est "aucun des trois stagiaires pratique le ski nautique" Il correspond au choix de 3 stagiaires parmi les 15 qui ne font pas de ski nautique. Son cardinal est alors :
II. a: On sait qu'il y a chaque jour 1140 choix possibles de 3 stagiaires parmi les 20. Choisir un groupe de 3 avec Christian revient à choisir Christian et 2 stagiaires parmi les 19 qui ne sont pas Christian. Il y a 171 choix possibles de deux autres stagiaires. C'est le nombre de combinaisons de 2 éléments parmi 19. Parmi les 1140 groupes possibles de 3 stagiaires, il y a donc exactement 171 groupes qui contiennent Christian. 171 0,15 La probabilité que Christian soit choisi un jour donné est donc: P 1140 b: Si on appelle X la variable aléatoire égale au nombre de fois que Christian est choisi durant le séjour de 5 jours, X suit une loi binomiale de paramètre (n = 5 , p = 0,15 ). Donc, pour tout k entier, on a : En particulier, la probabilité de ne jamais choisir Christian durant le séjour est : c: La probabilité de choisir exactement une fois Christian est :
d: La probabilité de choisir au moins 2 fois Christian est : P( X > 2). Or P( X > 2 ) = 1 - P( X = 0) - P( X = 1). Les calculs précédents montrent bien alors que cette probabilité est inférieure à 0,2
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Exercice N°8 Avant de commencer cet exercice, il faut mieux faire un arbre qui résume la situation. Un joueur tire donc deux séries de 5 ballons. Pour chaque série, le joueur marque 3 ou 4 ou 5 buts avec des probabilités respectives de 0,2 ou 0,5 ou 0,3. Ceci conduit alors à l'arbre suivant. Les probabilités calculées tiennent compte du fait que les résultats des tirs sont indépendants les uns des autres.
I. X est la variable aléatoire égale au nombre de buts réussis par un joueur au cours d'un entrainement. Les valeurs que peut prendre X sont donc: 6 ou 7 ou 8 ou 9 ou 10 a: Le joueur réussit tous ses tirs au but s'il marque 5 buts à chaque série. Comme la probabilité de marquer 5 buts durant une série est 0,2 et que les résultats des séries de tirs sont indépendants, on a donc: Probabilité de marqués 5 buts à chaque série = (0,2)² = 0,04. b: On a vu que les valeurs que peut prendre X sont 6 - 7 - 8 - 9 - 10. D'après l'arbre construit, on obtient alors : P(X=6) = 0,3x0,3 = 0,09 P(X=7) = 0,3x0,5 + 0,5x0,3 = 0,30 P(X=8) = 0,3x0,2 + 0,5x0,5 + 0,2*0,3 = 0,37 P(X=9) = 0,5x0,2 + 0,2x0,5 = 0,20 P(X=10)=0,2x0,2 = 0,04. On présente alors ces résultats sous forme de tableau: Tableau : Loi de Probabilité de X X=k
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P(X=k) 0,09 0,30 0,37 0,20 0,04 c: On vérifie que l'espérance de X est : E ( X ) k P( X k ) 7,8 k
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II. L'entrainement est réussi si le joueur marque au moins 8 buts durent deux séries. On veut P( X > 8) = P( X = 8 ) + P( X = 9 ) + P( X = 10 ). D'après le tableau précédent, on a donc: P( X > 8 ) = 0,37 + 0,20 + 0,04 = 0,61. C'est bien la valeur demandée. III. Y est la variable aléatoire égale au nombre de séances d'entrainement réussies ou succès en 10 séances d'entrainement. Comme pour chaque séance, la probabilité que la séance soit un succès est p = 0,61 et que les résultats des séances sont supposés indépendants les une des autres, on voit alors que Y suit une loi Binomiale de paramètre ( n = 10 , p = 0,61).
a: La probabilité que le joueur n'ait aucun échec lors des 10 séances est alors:
b: La probabilité d'avoir exactement 6 succès est :
c: La probabilité d'avoir au moins un succès est :
III. Pour n séances d'entrainement de suite, la probabilité que le joueur n'ait aucun succès est (0,39)n. Donc la probabilité que le joueur ait au moins un succès est : 1 - (0,39)n On veut donc déterminer la plus petite valeur de n telle cette probabilité soit > 0,99.
Exercice N°9
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Il y a 10 boules au total dans l'urne. On en tire 5 simultanément. a: Le nombre de tirages possibles est le nombre de parties à 5 éléments dans un ensemble à 10 éléments. Ou le nombre de combinaisons de 5 éléments parmi 10. . L'univers des tirages possibles b: Si il y a équiprobabilité de tous les tirages, pour un événement donné card ( A) A de , la probabilité de A est : P( A) card () i. L'événement A : "aucune boule noire" correspond aux tirages 5 boules de parmi les 5 boules non noires. Il y a 1 seul tirage possible: 1 Card(A)=1 donc P ( A) 252 ii. Il n' y a deux cas de figures possibles où un tirage contient autant de boules vertes que de boules blanches: 1° cas: 0 boule verte, 0 boule blanche et 5 boules noires: Nombre de cas = 1 2° cas: 1 verte, 1 blanche et 3 noires: Nombre de cas= Il y a donc au total 41 cas favorables.
iii. L'événement contraire de "au moins une boule noire" est "aucune boule noire". Donc P("au moins une noire") = 1 - P("aucune noire"). D'après la question i. , on a donc :
iv. L'événement "exactement 1 noire et exactement 1 verte" correspond au choix d'une noire parmi les 5 noires, au choix d'une verte parmi la verte, au choix de 3 blanches parmi les 4 blanches. Le nombre de cas favorables à cet événement est donc:
Exercice N°10 a: Comme il y a 30 élèves dans la classe dont 20 filles, la probabilité que l'élève interrogé soit une fille est : 2/3
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X est la variable aléatoire égale au nombre de filles interrogées durant n cours de mathématiques par le Professeur. b: Comme on suppose que le Professeur interroge de façon indépendante les élèves d'un cours à l'autre, pour chaque cours, la probabilité qu'une fille soit interrogée est constamment égale à p = . La variable X suit donc une loi Binomiale de paramètres (n , p = 2/3).
c: En particulier, pour n = 10 et k = 4 , on a:
d: On cherche n tel que P( X = 0 ) < 0,001. En utilisant la fonction ln (logarithme népérien) , on doit donc avoir :
e: Le nombre filles interrogées que l'on peut espérer est l'espérance de X. On sait que l'espérance d'une variable aléatoire X suivant une loi Binomiale de paramètres (n , p) est : E[X] = n.p Sur 36 cours de mathématiques, on peut donc espérer filles interrogées.
Exercice N°11 Le sac S1 contient 2 jetons noirs et 1 jeton blanc. et tous les autres sacs contiennent un jeton noir et 1 jeton blanc. Ek est l'événement " le jeton tiré du sac k est blanc" 1: a) D'après le texte , on a: D'après la loi des Probabilités Totales, on a donc :
b) Si pk est la probabilité de Ek, la probabilité de l'événement contraire de Ek est alors 1 pk.
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Or, d'après le principe de tirage des jetons, on a :
2: a) Pour k entier quelconque > 1 , on a :
La relation qui vient d'être démontrée entre vk+1 et vk ne signifie rien d'autre que cette suite est bien géométrique de raison (1/3). b) On connait l'expression du terme général d'indice n en fonction de n d'une suite géométrique. Dans le cas de la suite (vk) , on peut alors dire que pour tout k > 1 , on a: vk = v1qk-1 . Comme v1 = (1/3) - (1/2) = -1/6 , on peut alors dire que : De la relation entre uk et vk, on obtient alors :
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3: La relation 0,4999 < pk < 0,5 , donne , d'après l'expression de uk en fonction de k, en remarquant que cette suite n'est rien d'autre que la suite pk. On détermine alors sans difficulté, en utilisant la fonction logarithme, ou simplement par un calcul "machine", que k est > 8. Comme n = 10 , les valeurs de k solutions sont 8 ; 9 ; 10 .
Exercice N°12 1. a: D'après l'énoncé, la probabilité qu'a le gardien d'arrêter le tire (n+1), s'il a arrêté le tir n est 0,8: Donc P(An+1 / An) = 0,8 De même, la probabilité qu'il n'arrête le tire (n+1) s'il n'a pas arrêté le tir n est 0,6. Donc, P(An+1 / n ) = 0,6 . b: D'après le principe des probabilités conditionnelles, on a: P(An+1 An) = P(An+1 / An).P(An) donc P(An+1 An) = 0,8.P(An) De même, on a : P(An+1 n) = 0,6.P( n) c: D'après la loi des Probabilités Totales, on a: P(An+1 An) + P(An+1 n) = P(An+1) Mais d'après la question précédente, on a aussi: P(An+1 An) + P(An+1 n) = 0,8.P(An) + 0,6.P( n). Comme P( n) = 1 - P(An), on comparant ces deux égalités, on peut écrire: P(An+1) = 0,8.P(An) + 0,6.P( n) = 0,8.P(An) + 0,6[1- P(An)] = 0,2.P(An) + 0,6. ce qui est bien l'égalité demandée. pn = P(An) et un = pn - 0,75. a: Si n est un entier positif quelconque, alors on a: un+1 = pn+1 - 0,75 = 0,2pn + 0,6 - 0,75 , d'après la relation établie dans la question 1.c: = 0,2pn - 0,15 = 0,2[pn - 0,75] = 0,2.un , d'après la définition de la suite (u). La suite (u) est donc bien une suite géométrique de raison r = 0,2 et de premier terme u1 = p1 - 0,75 = -0,05. b: L'expression de un en fonction de n est alors: un = (-0,05).(0,2)n-1. On en déduit alors l'expression de pn en fonction de n: pn = 0,75 -0,05.(0,2)n-1 c: Comme (0,2)n-1 tend vers 0 si n tend vers +oo, on en déduit que la suite (p) tend vers 0,75
Exercice N°13
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Appelons E={a ; b; c; d ; f ; g ; p ; r }les résultats possibles sur une roue. Il y a 4 roues , l'ensemble des résultats possibles de ces 4 roues correspond alors au produit cartésien ExExExE = E4 = . Le cardinal de cet ensemble est alors Card(E4) = Card( ) = 84 . On est en situation d'équiprobabilité. 1. E :" 4 fruits identiques" . Le cardinal de E est 8. Donc F : "3 fruits identiques et 3 seulement": Une éventualité de F correspond au choix de 2 fruits parmi les 8 fruits, a et b par exemple. Il y a C28 = 28 façons de choisir ces 2 fruits. Puis, une fois le choix des 2 fruits {x ; y} , il y a 4 façons de placer le fruit x sur une des roues et d'attribuer alors les 3 places restantes à y. Même résultat si on place y sur une roue et x sur 3 roues. Le cardinal de F est alors : C82 8 et donc : G :" 4 fruits distincts" Il y a C48 =70 façons de choisir 4 fruits distincts parmi les 8. Pour chaque choix de ces 4 fruits, il y a 4! = 24 façons de les placer sur les 4 roues. Le cardinal de G est donc : 70x24 = 1680. Donc:
"X = 50" = "4 fruits identiques " = E "X = 5" = "3 fruits identiques (sous-entendu, 3 seulement)" = F "X = 1" = "4 fruits distincts" = G Donc : P(X=0) = 1- P(E) - P(F) - P(G). Il ne reste plus qu'à faire le calcul. L'espérance de X est : E[X] = P(X=0)x0 + P(X=1)x1 + P(X=5)x5 + P(X=50)x50. D'où:
Exercice N°14 D'après le texte, 15% sont Ma , parmi les malades Ma, 20 % sont Mb. Et parmi les nonMa, 4 % sont Mb. Ceci peut se traduire, en utilisant les événements A et B par: 15 20 4 0,15 ; PA ( B) 0, 2 : PA ( B ) =0,04 100 100 100 b) D'après la loi des Probabilités Totales, on a : P( B A) PA ( B) P( A) 0, 2 0,15 0,03
1. a) P( A)
De même, P( B A) PA ( B) P( A) PA ( B) (1 P( A)) 0, 04(1 0,15) 0, 034 donc: P(B) = P(B A) + P(B ) = 0,03 + 0,034 = 0,064. c) En utilisant la définition de la probabilité conditionnelles "A sachant B", comme on connait P(B A), on obtient : PB(A) = 0,46875.
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Dans cette question, on est obligé de supposer que les choix sont indépendants les uns des autres, sinon, on ne peut pas répondre aux questions. a)Dans ce cas, si X est la variable aléatoire correspondant au nombre d'individus atteints des maladies Ma et Mb, alors X suit une loi binomiale de paramètres n = 10 et p = 0,03. Donc, pour tout k compris entre 0 et 10, on a : b) En particulier, on cherche : P(X < 2). Comme X prend des valeurs entières entre 0 et 10, on a donc : P(X< 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2). Ce qui donne : P(X < 2) = (0,97)10 + 10(0,03)1(0,97)9 + 45(0,03)2(0,97)8 dont une valeur approchée est : 0,997235
Exercice N°15 Il y a 10 boules dans l'urne, on effectue n tirages avec remise successivement donc l'univers Ω, l’ensemble de tous les tirages possibles a pour cardinal 10n . Pour un événement quelconque A de l'univers, comme il y a équiprobabilité des tirages, card ( A) la probabilité de A est: P( A) 10n 1: a) Il y a 5 boules noires, donc, il y a 5n façons de tirer n boules noires. Même chose pour les boules blanches. Il y a donc 2.5n façons de tirer toutes les boules de la même couleur. 2 5n 1 n1 . La probabilité demandée est donc: n 10 2 1 2n Mais c'est la même probabilité que de tirer en seconde position une boule blanche et le reste que des boules noires, ou de tirer à la k-IIème place une boule blanche et le reste que des boules noires. Comme il y n façons de choisir "l'emplacement" de la boule blanche, n on en déduit que la probabilité demandée est : n . 2
b) La probabilité de tirer en premier une boule blanche, puis (n-1) boules noires est :
On peut aussi utiliser une loi binomiale: On appelle X le nombre de boules blanches obtenues après n tirages. Pour chaque tirage, la probabilité d'obtenir une boule blanche est p=0,5. Les tirages sont indépendants. Donc X suit la loi binomiale de paramètres n=5 , p=0,5 : "X --> B ( n = 5 ; p = 0,5 )" On sait alors que pour tout k entier, P( X k ) Cnk p k (1 p)( n k ) n! où Cnk . Pour k=1, on a la réponse. k ! n k !
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c) L'événement (A et B) correspond à " On obtient exactement une blanche", donc, d'après la question b), n on a bien p(A et B) = n . 2 A est l'événement contraire de " On obtient des boules toutes de même couleur", donc, d'après a), 1 on a: P ( A) 1 ( n 1) 2 B est la réunion disjointe des événements "On obtient que des boules noires" et " On obtient exactement une boule blanche", donc : P( B)
1 n n 1 n n n 2 2 2
2: La réponse résulte directement de la réponse de la question précédente. Simple calcul. 3: Les trois premiers termes de cette suite sont: -1 ; 0 ; 3. 4: Pour n entier supérieur à 2, on a Un+1 – Un = 2(n-1) - 1, qui est bien strictement positif . La suite est donc strictement croissante. Comme U3 = 0, la seule valeur qui annule la suite est n = 3. Donc les événements A et B sont indépendants si et seulement si n = 3.
Exercice N°16 Partie I L'univers est l'ensemble des choix de sujets possibles par le candidat. Il en choisit 2 parmi 100, 100! 100! 100 99 98! 2 4950 donc le cardinal de l'univers est: C100 2!100 2 ! 2 98! 2 98! 1: Le candidat ne connait aucun des deux sujets si et seulement si il les choisit parmi les 50 qu'il ne connait pas. 50! Il y a C502 1225 façons de faire un tel choix, donc, la probabilité que le 2!(50 2)! 1225 49 candidat ne connaisse aucun des deux sujets est: 4950 198 2: C'est la même question car il connait exactement 50 sujets sur les 100 possibles. 3: Le candidat à 50x50 = 2500 façons de choisir les sujets et d'en connaitre exactement 1.
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La probabilité qu'il a de choisir les sujets et d'en connaitre exactement 1 est donc: 2500 50 4950 99 4: L'événement contraire est qu'il ne connaisse aucun des sujets. 49 149 Donc la probabilité demandée est: 1 198 198 Partie II 1: L'événement contraire de connaitre au moins un sujet est "ne connaitre aucun sujet". C'est à dire, de choisir les deux sujets parmi les (100-n) inconnus du candidat. (100 n)! (100 n)(100 1 n) 2 Il y a alors C100 choix de sujets inconnus du n 2!100 n 2 ! 2 candidat. La probabilité que le candidat connaisse au moins un sujet est alors:
Ce qui se simplifie en: 199n n2 Pn 9900 9900 2: Simple "inéquation" du second degré. On trouve que n doit supérieur à 77.
Exercice N°17 Rappelons la loi des Probabilités Totales: Si (A 1 , A 2 , A 3 , ..., An ) forme une partition de l'univers E muni d'une probabilité P, alors pour tout événement B de E on a : P(B) = P(B \ A 1 ).P(A 1 ) + P(B \ A 2 ).P(A 2 ) + ...+ P(B \ An).P(An) 1: a:La probabilité de tirer un jeton portant le numéro 1 est donc: P("1") = P( "1" \ U 1 ).P(U 1 ) + P("1" \ U 2 ).P(U 2 ) = (1/2).(1/2) + (1/4).(1/2) d'où P("1") = 3/8 = 0,375 b: On cherche la probabilité d'avoir choisi l'urne U 1 sachant que le jeton tiré porte le numéro 1, à savoir: P(U 1 \ "1").
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Or P(U1 \ "1")
P(U1 \ "1")
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P(U1 "1") 1 1 1 et P(U1 "1") P("1"\ U1 ) P (U1 ) 2 2 4 P("1")
1 3 2 4 8 3
2:On tire 2 jetons parmi 6 simultanément. Le nombre de tirages possibles est donc C62 15 a: Il y a 2 façons d'obtenir 2 jetons portant le même numéro, à savoir 1,1 ou 2,2. La probabilité demandée est donc 2/15. b: Les valeurs que peut prendre S sont: 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7. On a S=2 pour le tirage des 2 jetons portant le numéro 1 donc P(S=2) = 1/15 On a S=3 pour le tirage d'un numéro 1 et d'un numéro 2 donc P(S=3) = 4/15 On a S=4 pour le tirage d'un numéro 1 et d'un numéro 3 ou de deux numéros 2 donc P(S=4) = 3/15. On continue ainsi et P(S=5) = 4/15 , P(S=6) = 2/15 et P(S=7) = 1/15. On vérifie que
P( S k ) 1 . k
L'espérance de S est E ( S ) k.P( S k ) k
65 13 15 3
c: On a P("X=-10") = P(S=3) + P(S=5) + P(S=7) = 9/15. Donc P("X=x") = 6/15. 9 6 2x L'espérance de X est alors: E ( X ) 10 x 6 15 15 5 E[X] est nulle pour x = (30/2) = 15.
Exercice N°18 1: a:La fonction de répartition F de X est définie par : F(x) = P( x X ) . D'où : F(x) = 0 pour x B( n ; p = 0,25) . La probabilité que J ne se réalise pas en n tirages est (0,75)n. Donc la probabilité que J se réalise au moins une fois est: Pn = 1 - (0,75)n. La plus petite valeur telle Pn soit supérieur ou égal à 0,99 est (No = 17) que l'on détermine en plaçant par la fonction logarithme.
Exercice N°20 1: Si X est le nombre réponse correcte du candidat sur les cinq questions, comme ses réponses sont indépendantes et que la probabilité pour chaque question d'avoir une réponse correcte est (p = 0,25), on peut dire que X suit une loi binomiale de paramètre (n = 5) et (p = 0,25), et pour tout k entier, P( X k ) C5k (0, 25) k (0, 75)5k a: P(A) = 0,25 , réponse évidente. P(B) = P( X 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)
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47 = 0,3671875. 128 b: Si le candidat obtient un note 4 pour une réponse correcte et une note (-1) pour une réponse incorrecte, alors la variable aléatoire N correspondant au nombre total de ses points s'exprime en fonction de X de la façon suivante: N = 4X + (5-X)(-1) = 5X - 5
= 1 - (0,75)5 - 5.(0,25).(0,75)4 =
L'événement "N supérieur ou égal à 10" s'écrit alors "X supérieur ou égal à 3". La probabilité pour le candidat d'obtenir une note au moins égale à 10 est donc: P = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) 47 135 53 = P(B) - P(X=2) = 128 512 512 2: Si le candidat connaît lé réponse correcte à deux questions, il a déjà 8 points. La probabilité demandée est alors celle de l'événement suivant " Obtenir au moins 2 points en 3 questions", ce qui correspond à "Avoir au moins une réponse correcte en 3 questions". L'événement contraire est "Aucune réponse correcte en 3 questions". La probabilité demandée est donc : 1 -(0,75)3 =
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37 = 0,578125 64
