Exercices

Psi 945  2016/2017

Exercices

http://blog.psi945.fr

Probabilités On commence par un exercice posé aux mines. On notera le réel eort de l'examinateur pour évaluer la capacité du candidat à faire des probabilités...

Exercice 1  Mines 2015 (PC) Soit P une probabilité sur (N, P(N)). Montrer : P({n}) −→ 0 n→+∞

Exercice 2  Traductions ensemblistes A, B et C sont trois événements quelconques. Exprimer en termes d'union, intersection, complémentaire...

les événements suivants :  Seul A se produit.  A et B se produisent, mais pas C .  Les trois événements se produisent.  Au moins l'un des événements se produit.  Au moins deux des événements se produisent.  Deux événements au plus se produisent.  Exactement un événement se produit.  Aucun des trois événements ne se produit.  Pas plus de deux événements ne se produisent. On fera systématiquement un dessin patatoïdique.

Exercice 3  Et pour une innité d'événements... On suppose cette fois que A1 , A2 , ..., An , ... constituent une innité d'événements. Exprimer en termes d'union, intersection, complémentaire... les événements suivants : 1. Au moins un des événements se produit. 2. Tous les Ai se produisent à partir du rang N0 . 3. Tous les Ai se produisent à partir d'un certain rang. 4. Au moins l'un des Ai se produit, pour i > N0 . 5. Une innité des Ai se produisent.

1 Dénombrement, probabilités nies Exercice 4  Vers la formule du crible Soit E un ensemble ni. 1. Montrer que si A, B et C sont trois parties de E , alors : |A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − (|A ∩ B| + |A ∩ C| + |B ∩ C|) + |A ∩ B ∩ C|

(les valeurs absolues désignent des cardinaux).

2. Traduire cette relation en termes probabilistes. 3. Quelle serait la tête de la formule pour la réunion de quatre parties ? Exercice 5  Surjections Déterminer le nombre de surjections de [[1, 4]] dans [[1, 3]]. Exercice 6  Et l'as On tire successivement une carte de deux jeux de 52 cartes.

1

1. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins un as ? 2. Quelle est la probabilité d'obtenir exactement un as ? Exercice 7  Permutations aléatoires Les nombres 1, 2, ..., n sont disposés au hasard dans un tableau à n cases. 1. Quelle est la probabilité pour que 1 et 2 apparaissent dans cet ordre, côte à côte ? 2. Quelle est la probabilité pour que 1, 2 et 3 apparaissent dans cet ordre, côte à côte ? 3. Quelle est la probabilité pour que 1 et 2 apparaissent dans cet ordre (pas nécessairement côte à côte) ? Exercice 8  Deux sur deux Dans une famille avec 2 enfants : 1. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons ? 2. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant que l'aîné est un garçon ? 3. Quelle est la probabilité pour que les deux enfants soient des garçons sachant qu'il y a au moins un garçon ? Exercice 9  Mines 2015 [8/10] On note Cn,p (respectivement SCn,p l'ensemble des suites croissantes (respectivement strictement croissantes) de p éléments de [[1, n]]. 1. Déterminer le cardinal de SCn,p . 2. Montrer que l'application Φ : (u1 , ..., up ) ∈ Cn,p 7−→ (u1 , u2 + 1, u3 + 2, ..., up + (p − 1))

établit une bijection entre Cn,p et SCn+p−1,p . 3. On eectue p tirages successifs avec remise de n jetons numérotés de 1 à n. Estimer la probabilité pour que la suite obtenue soit :  croissante ;  strictement croissante ;  monotone ;  strictement monotone. 4. Même chose avec un tirage sans remise ! C'était l'énoncé rapporté... mais dont je doute.

2 Dés, urnes et pièces Exercice 10  Six fois deux On jette 12 dés. Quelle est la probabilité d'obtenir chacune des 6 faces exactement deux fois ? Exercice 11  Dix dés On jette 10 dés. Quelle est la probabilité d'obtenir : 1. Au moins un  six  ? 2. Au moins deux ? 3. Au moins deux sachant qu'il y en a au moins un ? Exercice 12  Cinq faces On lance un dé non biaisé à 5 faces. On note pn la probabilité que la somme des résultats obtenus lors des n premiers lancers soit paire. 1. Calculer p1 et p2 . 2. Donner une relation de récurrence vériée par (pn )n∈N , et en déduire la valeur de pn , pour n > 1.

2

Exercice 13  n boules avec remises Une urne contient initialement une boule rouge et une boule blanche. On répète n fois l'opération suivante : tirer une boule, noter sa couleur, et la remettre dans l'urne accompagnée d'une autre boule de la même couleur (après k tirages-remises, il y a donc k + 2 boules dans l'urne). 1. Quelle est la probabilité de ne tirer que des boules rouges ? 2. Évaluer cette probabilité si à chaque étape on remet deux boules de la même couleur (valeur exacte et équivalent simple). Exercice 14  Remise ou non Une urne contient 5 boules rouges et trois boules blanches. On tire successivement trois boules, en remettant la boule si elle est blanche, et en ne la remettant pas si elle est rouge. 1. Déterminer la probabilité d'obtenir trois boules blanches. 2. Quelle est la probabilité d'obtenir au moins une boule blanche ? 3. Donner enn la probabilité d'obtenir exactement une boule blanche. Exercice 15  Deux urnes On dispose de deux urnes U1 et U2 . La première contient deux boules blanches et trois boules noires. La seconde contient quatre boules blanches et trois boules noires. On eectue des tirages successifs dans les conditions suivantes : on choisit initialement une urne au hasard et on tire une boule dans l'urne choisie. On note la couleur et on la remet dans l'urne. Si la boule tirée était blanche (respectivement noire), le tirage suivant s'eectue dans l'urne U1 (respectivement U2 ). Pour n ∈ N∗ , on note Bn l'événement  la boule tirée au n-ième tirage est blanche , et pn = P(Bn ). 1. Calculer p1 . 2. Montrer : ∀n ∈ N∗ ,

pn+1 = −

4 6 pn + · 35 7

3. En déduire la valeur de pn pour tout n ∈ N∗ . Exercice 16  Boules de même parité Une urne contient neuf boules numérotées de 1 à 9. On tire deux boules. Calculer la probabilité d'obtenir deux boules de même parité dans les diérents cas suivants :  on tire les deux boules simultanément ;  on tire une boule, on la remet, puis on tire la seconde ;  on tire une boule, on ne la remet pas, puis on tire la seconde. Exercice 17  Une innité de tirages On lance une pièce une innité de fois. Pour i > 1, on note Ai l'événement  le i-ème lancer tombe sur PILE . ∞ \

1. Décrire en français les événements

i=1

Ai et

∞ [

Ai .

i=42

2. Soit n ∈ N. Exprimer de façon ensembliste l'événement Dn :  on obtient au moins un pile au delà du n-ième lancer . 3. Décrire en français l'événement

∞ \

Dn . Le comparer à

n=1

∞ \

Dn .

n=945

Exercice 18  Les footeux doivent savoir ça On dispose d'une pièce truquée (mais able !) fournissant PILE avec probabilité p ∈]0, 1[ et FACE sinon. Concevoir un processus terminant avec une probabilité 1 et permettant de fournir un résultat R ∈ {A, B} avec probabilité uniforme. On pourra penser aux séances de penalty à la n des prolongations lors d'un match de foot !

Exercice 19  TPE 2015 [7/10] Alice et Bob jouent aux dés (parfaitement équilibrés).

3

 Alice commence à jouer en lançant deux dés en même temps. Si la somme des dés est > 9, alors elle gagne ; sinon la main passe à Bob.  Quand Bob joue, il lance deux dés et gagne si la somme est 6 6 ; sinon la main repasse à Alice. 1. Quelle est la probabilité pour qu'Alice (respectivement Bob) gagne à son premier coup ? 2. Quelle et la probabilité pour qu'Alice gagne ? 3. La partie peut-elle être innie ?

3 Diverses modélisations Exercice 20  Pénaux Le petit Olivier et le petit Franz s'arontent lors d'une compétition de penalty. À chaque essai, Olivier marque avec probabilité 5/6, et Franz avec probabilité 4/5. C'est Franz qui tire en premier. Ensuite, les tirs sont alternés, et le premier qui marque a gagné la compétition.

Figure 1  Platoche, avec 50 kg de moins !

1. Quelle est la probabilité pour que Franz gagne ? 2. Qu'en est-il si on change la règle en celle de la  mort subite  :  À chaque tour, les deux joueurs tirent. Si l'un marque et pas l'autre alors il a gagné ; sinon on continue.  ? Exercice 21  Transmission moyennement able Une information binaire (0/1) est transmise de proche en proche (aka  téléphone arabe ). La personne numéro 1 possède l'information 1. Au temps n > 1, la personne numéro n transmet son information à la personne numéro n + 1 :  avec une probabilité p ∈]0, 1[ elle transmet l'information dont elle dispose ;  avec une probabilité 1 − p elle transmet l'information inverse. (La personne numéro 2 aura donc l'information initiale  1  avec probabilité p). 1. Avec quelle probabilité la personne numéro 3 va-t-elle recevoir l'information initiale ? 2. Si on note pn la probabilité que la personne n possède la bonne information 1 , déterminer une relation de récurrence simple vériée par les pn , puis la valeur des pn . 3. Quel est le comportement de (pn )n∈N∗ lorsque n tend vers +∞ ? Exercice 22  Puce ivrognesse Une puce saute entre trois points P , Q et R. À chaque étape, elle saute vers l'un des deux autres points   pn

avec probabilité 1/2. On note, pour n ∈ N, Xn = qn , avec pn , qn et rn les probabilités pour qu'au rn

temps n la puce se trouve respectivement aux points P , Q et R. 1. Établir une relation entre pn+1 et (pn , qn , rn ). 1. Arrivés ici, vous connaissez p1 , p2 et p3 .

4

2. En déduire une relation matricielle de la forme Xn+1 = AXn , avec A à préciser. 3. Vérier : A2 = 12 A + 21 I3 , puis déterminer le reste dans la division euclidienne du polynôme X n par (X + 1/2)(X − 1). En déduire la valeur de la matrice An . 4. Montrer que Xn possède une limite qui ne dépend pas de X0 . Exercice 23  La taupe Une taupe rentre dans son terrier par un des deux trous. À chaque croisement, elle tourne à droite ou à gauche avec probabilité 1/2.

Figure 2  L'univers épanouissant de la taupe

Quelle est la probabilité qu'elle ressorte par le même trou ? Exercice 24  Dérivation formelle L'action se passe à une époque éloignée (et dicilement concevable...) où le taupin a du mal à dériver une expression sans calculatrice. Une proportion c = 43 des taupins utilise une calculatrice, mais fait tout de même une erreur avec une probabilité 1/4 (gros doigts, petites touches). Les aventuriers faisant le calcul à la main obtiennent le bon résultat avec une probabilité 1/2. Quelle est la probabilité pour qu'un taupin rendant un résultat faux ait utilisé une calculatrice ? A B B

A

A ∩B B B

A0

...

Ai0

B B

...

Ai0 ∩ B B B

Figure 3  Un petit dessin au passage Exercice 25  Veaux, vaches, cochons, couvée ; attention : il y a un piège ! Dans une ferme un peu bizarre, certains animaux possèdent trois pattes.  Les veaux constituent 20% du cheptel ; 10% possèdent 3 pattes.  Les vaches constituent 50% du cheptel ; 1% possèdent 3 pattes.  Les cochons constituent 10% du cheptel ; 2% possèdent 3 pattes.  Les volailles, qui constituent le reste du cheptel, possèdent 3 pattes avec une probabilité 5%. On tire au hasard un animal à trois pattes. Quelle est la probabilité pour qu'il fasse MEUHHH ?

Figure 4  Gruik

5

Exercice 26  Recrutement (dicile) L'académie des sciences veut recruter un probabiliste. Il y a n candidats de niveaux tous distincts. Le recrutement va se passer de la façon suivante : les k premiers candidats sont auditionnés puis renvoyés chez eux 2 , et le jury repère le meilleur parmi ces k. Ensuite, les candidats suivants sont auditionnés, et si un candidat est meilleur que le meilleur rencontré parmi les k premiers, alors il est choisi et le concours s'arrête (s'il n'y en a pas, personne ne sera donc recruté). 1. On suppose que le meilleur candidat est en position p > k. Quelle est la probabilité pour qu'il soit recruté ? 2. Quelle est la probabilité pn pour que le meilleur candidat soit recruté ? 3. En approchant cette probabilité par une intégrale, montrer que lorsque n tend vers +∞ avec le rapport nk xé, le meilleur choix possible pour ce rapport est 1e , et que la probabilité tend alors vers 1e · On autorisera une certaine légèreté dans le traitement de ce rapport : rationnel, mais pas trop...

4 Résultats un peu plus théoriques Exercice 27  Petit passage au complémentaire ? Soient A, B et C trois événements. Montrer : P(A ∩ B ∩ C) > 1 − P(A) − P(B) − P(C).

Exercice 28  Indépendance Montrer que si A et B sont deux événements indépendants, alors A et B le sont aussi. Exercice 29  Événements presque certains... et presque impossibles Un événement de l'espace probabilisé (Ω, T , P) est déclaré presque certain 3 (respectivement presque impossible ) lorsque sa probabilité vaut 1 (respectivement 0). 1. Dans une série innie de lancers de pile/face, citer un événement non vide mais de probabilité nulle... ainsi qu'un événement de probabilité égale à 1, sans qu'il soit égal à Ω. T 2. Montrer que si les événements Ei ∈ T (i ∈ N) sont tous presque certains, alors Ei est un i∈N

événement (est dans T ) et est également presque certain. S 3. Montrer que si les événements Ei ∈ T (i ∈ N) sont tous presque impossibles, alors Ei est un i∈N

événement... et est lui aussi de probabilité nulle. 4. Ces résultats s'étendent-ils à une réunion non dénombrable ?

Exercice 30  Loi du zéro-un de Borel Dans l'espace probabilisé (Ω, T , P), on dispose d'une innité d'événements de T : (An )n∈N . On note pn = P(An ) et \ [ B=

Ai .

n∈N i>n

1. 2. 3. 4.

Vérier que B appartient à T (et est donc  mesurable ). Que représente B ? P On suppose que pn converge. Montrer : P(B) = 0. P P On suppose que pn diverge et que les An sont indépendants. Montrer que ln(1−pn ) diverge, n∈N

puis : P(B) = 1. 5. Application classique : vérier qu'un singe devant un clavier possédant un temps inni va (avec probabilité 1) taper cette feuille d'exercice ainsi qu'un corrigé exact (avec même quelques bonnes blagues) une innité de fois. 2. Ils ne le savent pas, mais aucun parmi ces k ne sera recruté. 3. ou presque sûr.

6

6. Autre application classique : montrer que dans une série innie de lancers de pile-face, il existe presque sûrement une innité de séries de 945 PILE consécutifs. Dans les deux applications, on veillera à bien prendre des événements indépendants.

Exercice 31  Exercice interminable ! Les joueurs A et B jouent au tennis, et chaque point est remporté par A avec probabilité p ∈]0, 1[. Quelle est la probabilité que A remporte un jeu donné ?

Et un set ? Et le match ? Cet exercice ne serait pas posé sans des indications/étapes. Essayez tout de même d'en faire quelque chose !

5 Posé en 2016 Le premier exercice est un modèle de mauvaise foi ! ! ! Exercice 32  Mines-Télécom 2016 Soit E un espace probabilisé 4 de cardinal n. Dans la suite, X , Y et Z désignent des parties de E . Dénombrer : 1. les couples (X, Y ) constituant une partition de E ; 2. les couples (X, Y ) tels que X ∩ Y = ∅ ; 3. les couples (X, Y ) tels que X ∪ Y = E ; 4. les couples (X, Y ) tels que X ⊂ Y ; 5. les triplets (X, Y, Z) tels que X ∪ Y ∪ Z = E . Exercice 33  Minettes 2016 [3/10] On dispose de N cores. Avec probabilité p, on place un trésor dans l'un des cores (avec probabilité uniforme). On a ouvert N − 1 cores sans trouver de trésor. Quelle est la probabilité pour qu'on en trouve un dans le dernier ? Exercice 34  CCP 2016 [6/10]  joli et classique Soit s un réel strictement plus grand que 1. On travaille sur E = N∗ , qu'on va probabiliser sur la tribu complète T = P(N∗ ). On note (pn )n>1 la suite strictement croissante des nombres premiers (avec donc p1 = 2, p2 = 3, ...). Enn, pour p premier, on note Ap = {kp | k ∈ N∗ } l'ensemble de ses multiples. 1. Montrer qu'on peut dénir une probabilité en imposant pour tout k ∈ N∗ : P({k}) =

1 · ζ(s)k s

2. Pour p premier, calculer P(Ap ). 3. Déterminer

+∞ \

Apk ainsi que la probabilité de cet événement.

k=1

4. Montrer que la suite de terme général

n Y


P Apk est convergente.

k=1

On note sa limite comme vous l'imaginez...

5. Montrer nalement :

∞ Y


P Ap k =

k=1

4. Ça y est, c'est ni : on ne parlera plus de probabilités !

7

1 · ζ(s)

6 Indications  Exercice 1 : p.... la série P({n}) est convergente !  Exercice 2 : A ∩ B ∩ C ; A ∩ B ∩ C ; A ∩ B ∩ C ; A ∪ B ∪ C ; (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ; A ∩ B ∩ C ; (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ; A ∪ B ∪ C ; A ∩ B ∩ C (oui, on l'a déjà vu). P

 Exercice 3 :

∞ [

Ai ;

i=1

∞ \

∞ [

Ai ;

i=N0

∞ \

∞ [

Ai ;

N0 =1 i=N0

∞ \

Ai ;

i=N0

∞ [

Ai .

N0 =1 i=N0

 Exercice 4 : faire trois patates... Et pour ceux qui veulent des sensations fortes : n [

P

! Ai

=

i=1

n X

 X

(−1)k

P

 Ai j 

j=1

16i1