Exercices de manipulation des tables

Faculté de psychologie et Institut de Statistique Université Catholique de Louvain

LPSP1209 : STATISTIQUE II INFERENCE SUR UNE OU DEUX VARIABLES Syllabus d’exercices Correctif étudiant (Diffusé TP par TP)

Auteurs : Bernadette Govaerts Cedric Taverne

Titulaire : Bernadette Govaerts

Exercices de manipulation des tables 1. Probabilité sur une variable aléatoire normale réduite a) P (Z ≤ 1.29) = 0.9015 b) P (Z < 1.29) = 0.9015 A l’inverse des variables discrètes les signes « plus petit ou égal » et « plus petit » ne font pas de différence, de même que les signes « plus grand ou égal » et « plus grand ».

c) P (Z = 1.29) = 0 Nous sommes dans le cas d’une variable continue qui peut prendre une infinité de valeurs, donc la probabilité de tomber exactement sur une valeur est nulle.

d) P (Z ≥ 1.29) = 1- P (Z ≤ 1.29) = 0.0985 e) P (Z ≥ - 1.29) = P (Z ≤ 1.29) = 0.9015 f) P (-1.29 ≤ Z ≤ 1.29) = P (Z ≤ 1.29)- P (Z ≤ -1.29) = P (Z ≤ 1.29) - (1- P (Z ≤1.29)) = 0.90151+0.9015 = 0.803 2. Quantile de la variable aléatoire normale réduite a) P (Z ≤ z) = 0.975 pour un z = 1.96 b) P (Z ≥ z) = 0.95. On retourne la probabilité : P (Z ≤ z) = 0.05 pour un z = -1.6449 c) P (-z ≤ Z ≤ z ) = 0.95. On en déduit que P (Z ≥ z) + P (Z ≤ - z) = 0.05 Autrement dit, puisqu’il y a symétrie autour de 0, P (Z ≥ z) = 0.025 et P (Z ≤ - z) = 0.025 Pour P (Z ≥ z), on doit encore retourner la probabilité : P (Z ≥ z) = 1 - P (Z ≤ z) = 0.025 ; soit : P (Z ≤ z) = - 0.025 +1 = 0.975. Avec la table des quantiles, on trouve ensuite que : z = 1.96 et –z = -1.96 d) P(Z ≤ z) = 0.1 pour un z = -1.2816 e) P(Z > z) = 0.01 pour un z = 2.3263 en appliquant la même démarche qu’au b. 3. Probabilité sur une variable aléatoire normale générale Soit X une v.a. N (100, 225) qui correspond à la distribution du QI dans la population. Pour le calcul d’une variable Normale générale, il faut tout d’abord standardiser cette variable pour obtenir une Normale réduite et avoir accès aux probabilités des tables. Ensuite, il faut s’arranger pour avoir une écriture de type P (X ≤ x). a) P (X = 89) = 0 pour le même raison qu’au 1. c) b) P (X > 130) = P (Z > (130-100)/15) = P (Z > 2) = 1- P (Z ≤ 2) = 1- 0.9772 = 0.0228 c) P (X < 95) = P ( Z < (95-100)/15) = P (Z ≤ -0.33) = 1- P (Z ≤ 0.33) = 1-0.6293 = 0.3707 d) P (X ≤ 95) = 0.3707 e) P (85 < X < 115) = P (-1 < Z < 1) = P (Z ≤ 1)- P (Z ≤ -1) = P (Z ≤ 1) - (1- P (Z ≤1)) = 0.84131+0.8413 = 0.6826 4. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la table Soit X une v.a. Bi (n, p) ici (25 ; 0.4) -

le 25 veut dire que l’on répète 25 fois une expérience aléatoire de Bernoulli dont les résultats possibles sont soit réussi soit échoué le 0.4 signifie que pour chaque expérience aléatoire de Bernoulli, la probabilité de réussir est de 0.4 X compte le nombre de réussite à l’expérience de Bernouilli parmi les 25 essais. X peut donc prendre des valeurs entières comprises entre 0 et 25, ces valeurs y compris.

Exemple : un questionnaire de 25 questions indépendantes (les résultats à une questions n’influencent pas les résultats à une autres questions) dont la probabilité de réussite est toujours la même (ici 0.4). Il faut se référer aux tables de la binomiale pour effectuer les calculs.

Lorsque l’on travaille avec des variables des lois classiques comme la binomiale, il faut toujours s’arranger pour avoir une écriture de type P (X ≤ x) car c’est la forme sous laquelle les probabilités sont présentées dans les tables. a) P (X < 8) = P (X ≤ 7) = 0.1536 Attention, la binomiale est une variable discrète donc le signe < est différent de ≤ et le signe > est différent de ≥ , puisque dans les variables discrète les chiffres sont entiers. 0 …5 6 7 8 9 10 11 12 …. 25

La double flèche représente la probabilité totale sur l’ensemble des résultats. Si nous voulons la probabilité que le résultat soit strictement plus petit que 8, nous devons calculer la probabilité qu’il soit plus petit ou égal à 7. b) P (X = 11) = P (X ≤ 11) – P (X ≤ 10) = 0.7323-0.5858 = 0.1465 0…

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c) P (X > 8) = P ( X ≥ 9) = 1- P (X ≤ 8) = 1-0.2735 = 0.7265 d) P (X ≥ 8) = 1 – P(X ≤ 7) = 1-0.1536 = 0.8464 e) P (10 < X < 13) = P(X≤12) – P(X≤10) = 0.8462 - 0.5858 = 0.2604 Dans cet exercice, il faut être particulièrement attentif au fait que la binomiale est une variable discrète. 0…

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5. Probabilité sur une variable aléatoire binomiale à l’aide de la méthode exacte Si X est une variable aléatoire Bi(23;0,2) :  a)
 = 4 =  1 −  =  0.2 1 − 0.2  = 8855 × 0.0016 × 0.0144 = 0.2042  b)
 ≥ 1 = 1 −
 = 0 = 1 −  0.2 1 − 0.2  = 1 − 1 × 1 × 0.0059 = 0.9941