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Exercices de probabilités élémentaires Exercice 1 Dans chacune de situations décrites ci-dessous, énoncer l’événement contraire de l’événement donné. 1. 2. 3. 4.
Dans une classe, on choisit deux élèves au hasard. A : « Les deux élèves sont des filles ». Dans un groupe de suisses et de belges, on discute avec une personne. B : « La personne est un homme belge ». Au restaurant, Luc prend un plat et un dessert. C : « Luc prend une viande et une glace ». A une loterie, Elise achète 3 billets. D : « L’un des billets au moins est gagnant » , E : « Deux billets au maximum sont gagnants.
Exercice 2 Une urne contient des boules blanches, noires et rouges. On tire une boule de l’urne. On note : A : « Tirer une boule blanche ». B : « Tirer une boule ni blanche ni rouge ». C : Tirer une boule noire ou une boule rouge ». 1. 2. 3.
A et B sont-ils incompatibles ? B et C sont-ils incompatibles ? തതet ത തܣ തത ത ܤ Traduire par une phrase ne comportant pas de négation les événements
Exercice 3 Lors d’un jet de deux dés cubiques, on s’intéresse aux événements suivants : A : « La somme obtenue est au moins égale à 5 ». B : « La somme obtenue est au plus égale à 5 ». C : « La somme obtenue est strictement inférieure à 3 ». 1. 2. 3. 4.
A et B sont-ils contraires ? ത തതet C sont-ils incompatibles ? ത ܤ തത . Traduire par une phrase ത ܥ ത ത ത A et ܥsont-ils incompatibles ?
Exercice 4 Un enfant joue avec des objets de différentes couleurs, répartis de la façon suivante : Couleur Nombre d’objets
Tout rouge 6
Tout vert 5
Tout bleu 7
Bleu et rouge 4
Vert et bleu 3
L’enfant prend un objet totalement au hasard. Il dit que l’objet est rouge s’il est rouge ou s’il contient du rouge; de même pour les autres couleurs. On se propose de déterminer les probabilités des évènements suivants : A = " prendre un objet rouge "; B =" prendre un objet bleu "; C = " prendre un objet bleu et rouge "; D = " prendre un objet bleu ou rouge "; E = " prendre un objet ni rouge, ni bleu "; F = " prendre un objet qui n’est pas rouge ".
Exercice 5 On dispose de cinq boules numérotées de 1 à 5. On les place au hasard dans six boites nommées A, B, C, D, E et F. Chaque boite peut recevoir jusqu’à 5 boules. e e e e On note ACCBE l’événement : « la 1ere boule est dans la boite A, le 2 et la 3 dans la boite C, la 4 dans la boite B et la 5 dans la boite E » 1.
Soit l’univers associé à cette expérience aléatoire. Quel est son nombre d’issues ?
2.
Calculer la probabilité que toutes les boules soient dans des boites différentes.
3.
a. Calculer la probabilité qu’aucune boule ne soit dans la boite A b. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins une boule dans la boite A
4.
Calculer la probabilité que les boules numérotées 1 et 2 soient dans la même boite.
5.
Calculer la probabilité que la somme des numéros des boules placées dans la boite A soit égale à 6.
Exercice 6 On lance au hasard un dé équilibré quatre fois de suite et on considère le nombre formé par les quatre numéros pris dans l'ordre de sortie. désigne l'ensemble des issues possibles. Calculer les probabilités des évènements suivants : A : " Le nombre est 4211 " B : " Le nombre est formé de quatre chiffres distincts " C : " Le nombre est formé d'au moins deux chiffres identiques " P : " Le nombre est pair " E : " Le nombre est impair et est formé de quatre chiffres distincts " Exercice 7 On choisit une carte au hasard dans un jeu de 32 cartes. On définit les événements : A : "La carte choisie est un pique". B : "La carte choisie est rouge (cœur ou carreau)". C : "La carte choisie est une figure (valet, dame, roi)". 1.
Présenter un modèle mathématique décrivant l’expérience aléatoire.
2.
Déterminer les probabilités des évènementsܣ, ܤ, ܥ, ܤ ∩ ܣ, ܥ ∩ ܤ, ܤ ∪ ܣ, ܥ ∪ ܣ.
3.
Déterminer la probabilité de l'événement D : "La carte choisie n'est ni un pique ni une figure".
Le corrigé de l’exercice 5 5 1. card = 6 En effet, chaque boule peut être placée dans n’importe quelle boîte soit 6 possibilités par boule. 2.
On peut placer la 1ere boule dans n’importe quelle boîte soit 6 possibilités. e Pour chaque boule soit dans une boîte différente il ne reste plus que 5 possibilités pour la 2 boule puis 4 pour e la 3 boule, etc… 6x5x4x3x2 5 La probabilité cherchée est donc : = 5 6 54
3.
a. On a 5 possibilités par boule. La probabilité cherchée est donc :
5
b.
5 5. 6 « il y a au moins une boule dans la boite A » est l’événement contraire de « in n’y a aucune boule dans la 5 5 boite A ». La probabilité cherchée est donc de : 1- 5 6
4.
Les boules 1 et 2 sont dans la même boite soit : 6 possibilités 3 Les 3 autres boules sont dispersés au hasard dans les 6 boites soit : 6 possibilités 3 6x6 1 La probabilité cherchée est donc : 5 = 6 6
5.
La somme des numéros des boules placées dans la boite A est égale à 6 si - on a placé les boules numérotées 1,2 et 3. Il reste alors 2 boules à placer dans 5 boites soit 25 possibiltés. - on a placé les boules numérotées 1 et 5 3 Il reste 3 boules à placer dans 5 boites soit 5 possibilités. - on a placé les boules numérotées 2 et 4. 3 Il reste 3 boules à placer dans 5 boites soit 5 possibilités 3
La probabilité cherchée est donc :
2x5 + 25 275 = 5 5 6 6
Le corrigé de l’exercice 6 On lance au hasard un dé équilibré quatre fois de suite et on considère le nombre formé par les quatre numéros pris dans l'ordre de sortie. désigne l'ensemble des issues possibles. 4
card = 6 = 1296 Les 1296 issues sont équiprobables. Calculer les probabilités des évènements suivants : A : " Le nombre est 4211 " 1 p (A ) = 1296 B : " Le nombre est formé de quatre chiffres distincts " D'après le principe multiplicatif, card B = 6 5 4 3 ( on peut utiliser un shéma à cases ) 6543 5 p(B)= = 1296 18 C : " Le nombre est formé d'au moins deux chiffres identiques " C= B 13 p ( C ) = p (B ) = 1 – p ( B ) = 18 P : " Le nombre est pair " D'après le principe multiplicatif, 1 card P = 6 6 6 3 et ... p ( P ) = 2 E : " Le nombre est impair et est formé de quatre chiffres distincts " D'après le principe multiplicatif, 5 card E = 3 5 4 3 et P ( E ) = 36
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