Exercices de probabilités

Exercices de probabilités Semaine 36 1-Une carte est tirée au hasard à partir d’un jeu de 52 cartes à jouer. Trouver la probabilité qu'il soit (a) un as (b) un valet de cœur (c) trois de trèfle ou six de carreau (d) un cœur (e) toute carte sauf un cœur (f) un dix ou un pique (g) ni un 4 ni un trèfle On peut prendre le diagramme suivant pour déterminer la probabilité, ici 4 et trèfle, les cartes sont numérotées de 1 à 13, 11 = Valet, 12 = Reine, 13 = Roi.

2 - Une boule est tirée au hasard dans une boîte contenant 6 boules rouges, 4 boules blanches et 5 boules bleues. Déterminez la probabilité qu'elle soit (a) (b) (c) (d) (e)

rouge blanche, bleue pas rouge rouge ou blanche

3- Trouver la probabilité de ne pas obtenir un total de 7 ou 11 sur l'un des deux lancers d'une paire de dés équilibrés. On peut se référer au diagramme suivant, premier dé en x et deuxième dé en y.

4- Deux cartes sont tirées d'un jeu ordinaire bien mélangées de 52 cartes. Trouver la probabilité qu'elles soient à la fois un as si la première carte est remplacée ou pas remplacée. 5- Trois boules sont tirées successivement dans la zone du problème 1. Trouver la probabilité qu'ils soient établis dans l'ordre rouge, blanc et bleu si chaque boule est (a) remplacée (b) pas remplacée 6- Trouver la probabilité d’avoir un 4 au moins une fois dans deux lancers d'un dé équilibré.

7- Un sac contient 4 boules blanches et 2 boules noires; un autre contient 3 boules blanches et 5 boules noires. Si une boule est tirée de chaque sac, trouver la probabilité que (a) les deux sont blanches (b) les deux sont noires (c) l'une est blanche et l'autre noire. 8- Un comité de 3 membres doit être formé composé d'un représentant de la maind'œuvre, la gestion et le public. S'il y a 3 représentants possibles de la main-d'œuvre, 2 de la direction, et 4 du public, déterminer le nombre de différents comités peuvant être formés en utilisant. (a) le principe fondamental de comptage (b) un diagramme d'arborescence. 9- Combien de numéros à 4 chiffres peuvent être formés avec les 10 chiffres 0, 1, 2, 3, . . ., 9 si (a) les répétitions sont autorisées (b) les répétitions ne sont pas autorisées (c) le dernier chiffre doit être nul et les répétitions ne sont pas autorisées 10- La formule de Stirling donne approximativement la valeur de n! quand n tend vers l’infini.

𝑛 𝑛 𝑛! ≈ ( ) √2𝜋𝑛 𝑒 101 1000 Donner une estimation de 256!, ( ) et ( ) , astuce : utiliser les logarithmes. 33 500 11- On suppose que les numéros de téléphone sont de la forme 0Z-YX-XX-XX-XX avec X un nombre entier entre 0 et 9, Y un nombre entier entre 2 et 9 et Z un entier entre 1 et 9. En France, il y a environ 40 millions d’abonnements à un « fixe » et 69 millions à un « mobile » (données du quatrième trimestre 2011). Est-on tranquille ? Supposons qu’en Palombie, il y ait 109 millions d’abonnés à un téléphone fixe et que le Y soit fixé par opérateur et qu’il n’y ait que deux opérateurs. De combien de zones a-t-on besoin ?

12- Le capitaine des pompiers de New-York est marié et a quatre enfants dont un mange un yaourt aux fruits tous les matins. Il ne fume pas, aime regarder des films de gladiateurs et réside à l’angle de la 1ère avenue et de la 33ème rue. La caserne se trouve à l’angle de la 9ème avenue et de la 40ème rue. Il s’y rend tous les jours à pied en sifflant «O du schöner Westerwald » et sans perdre de temps (i.e. dans le sens des numéros croissants aussi bien pour les rues que pour les avenues). Sachant qu’il a commencé à travailler le jour de ses 18 ans, et sachant qu’il n’est jamais passé deux fois par le même chemin, qu’il boîte légèrement de la jambe droite après avoir participé au championnat d’Écosse de lancement d’enclume, qu’il est sourd de l’oreille gauche depuis qu’il a plongé dans un lac gelé pour sauver son petit frère John qui était en train de se noyer après que la glace sur laquelle il patinait craqua, quel est l’âge (maximum) du capitaine ? 13- Permutations, on note les permutations par 𝜋 usuellement, comme par exemple avec l’ensemble {1,2,3}, on a la permutation 𝜋 = (2,3,1).

14- Combien de salades différentes peut être faite de laitue, scarole, endive, cresson, et la chicorée ? 15- A partir de 7 consonnes et 5 voyelles, combien de mots peuvent être formés composés de 4 consonnes différentes et 3 voyelles différentes ? Les mots ainsi formés n’auront pas nécessairement de sens. 16- Trouver la probabilité que n personnes (n ≤ 365 ) choisies au hasard auront n différents anniversaires, on ne tient pas compte d’un 29 février éventuel, on pose que le 29 février = 28 février. Astuce, raisonner avec n=1, 2, 3,…

17- Les probabilités que le mari et la femme soient en vie dans 20 ans sont données par 0,8 et 0,9 respectivement. Trouver la probabilité que dans 20 ans : (a) les deux soient vivants (b) ni l’un et l’autre (c) au moins un soit vivant 18- Le Risk est un jeu de société inventé en 1957 par Albert Lamorisse, il a été réalisateur de films comme Fifi la plume et d’autres films. Le jeu se déroule sur une mappemonde et le but est de conquérir le monde en utilisant des armées. Ce jeu a presque autant été vendu que le Monopoly.

Ici une version du jeu sur PC (Risk II).

Dans ce jeu, les adversaires s’affrontent avec des dés, 3 pour l’attaquant et 2 pour le défendant. Cependant à dé égal le défendant a l’avantage. L’attaquant a le choix d’utiliser de 1 à 3 dés et le défendant a le choix d’utiliser 1 ou 2 dés. Si l’attaquant utilise 3 dés et le défendant 1 dé : quelle sont les probabilités pour 1 coup de perdre 1 soldat pour l’attaquant ou le défendant ? La même chose avec 3 dés (attaquant) et 2 dés (défendant). Exemple : l’attaquant obtient (4,3,1) et défendant (4,2) : Ils perdent chacun 1 soldat. Référence : Article sur le Risk (en anglais) sur wikipedia. 18 – Les plaques d’immatriculations françaises depuis avril 2009 comportent 2 lettres – 3 chiffres et 2 lettres sous la forme XX NNN XX, les chiffres du centre vont de 001 à 999 et les lettres A à Z excepté I, O, U. Le choix de ne pas avoir O ou I est pour éviter la confusion avec 0 ou 1 et le U pour ne pas avoir de plaques avec des mots à consonance malencontreuse comme CU 888 CU ou pire. Certaines combinaisons de lettres sont évitées comme SS mais ici dans notre modèle on en tiendra pas compte. Les numéros de plaques sont émis séquentiellement de AA 001 AA à ZZ 999 ZZ. Combien de véhicules exactement pourront être immatriculés de cette façon ? Ou si vous voulez, à raison de 3 millions de véhicules immatriculés par an, on a combien d’années devant soi avant que tous les numéros soient épuisés ? Question supplémentaire pour les braves : Une plaque est palindromique si elle peut se lire à l’endroit ou à l’envers et donner la même chose comme AB 020 BA. À l’aide d’un programme dans le langage de votre choix ou bien en raisonnant de la bonne façon : quelle est la probabilité de rencontrer par hasard une voiture dont le numéro est palindromique ? (On ne tient compte que des plaques émises depuis avril 2009). Référence https://fr.wikipedia.org/wiki/Plaque_d%27immatriculation_fran%C3%A7aise Autres références : Notes de cours de Guillaume Connan Probabilities and Statistics : Série Schaum

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19 – astuce : utiliser un diagramme en arbre.

20- L’écrivain Georges Perec a eu l’idée tordue une fois d’écrire un roman complet ne contenant aucune lettre e, le titre étant La Disparition dont voici un extrait. Anton Voyl n'arrivait pas à dormir. Il alluma. Son Jaz marquait minuit vingt. Il poussa un profond soupir, s'assit dans son lit, s'appuyant sur son polochon. Il prit un roman, il l'ouvrit, il lut; mais il n'y saisissait qu'un imbroglio confus, il butait à tout instant sur un mot dont il ignorait la signification. Il abandonna son roman sur son lit. Il alla à son lavabo; il mouilla un gant qu'il passa sur son front, sur son cou. Son pouls battait trop fort. Il avait chaud. Il ouvrit son vasistas, scruta la nuit. Il faisait doux. Un bruit indistinct montait du faubourg. Un carillon, plus lourd qu'un glas, plus sourd qu'un tocsin, plus profond qu'un bourdon, non loin, sonna trois coups. Du canal Saint-Martin, un clapotis plaintif signalait un chaland qui passait. Sur l'abattant du vasistas, un animal au thorax indigo, à l'aiguillon safran, ni un cafard, ni un charançon, mais plutôt un artison, s'avançait, traînant un brin d'alfa. Il s'approcha, voulant l'aplatir d'un coup vif, mais l'animal prit son vol, disparaissant dans la nuit avant qu'il ait pu l'assaillir. Étant donné que la fréquence d’apparition de la lettre e est de 15% en langue française, quelle est la probabilité d’avoir un mot de 5 lettres ne contenant aucun e ? Encouragé par cette prouesse, il décida par la suite d’écrire un roman avec des mots ne contenant que la voyelle e. Le titre étant Les Revenentes. Pour y arriver, il a utilisé une ‘licence littéraire’, il s’est permis de modifier l’orthographe de certains mots en plus d’être plutôt graveleux. Le texte est lisible oui mais un peu limite, par contre : quelle prouesse !