Exercices I. Récurrence. La suite (un) est définie par : u0=2 , u1=7 et

Exercices I. Récurrence. La suite (u n ) est définie par : u 0 =2 , u 1 =7 et pour tout n ∈ℕ : u n+2 =7 u n+1−10 u n . a) Calculer u 2 et u3 . b) On veut démontrer que pour tout entier n⩾1 , u n =5 n +2n . Pour cela on pose P(n) la propriété : « pour tout entier k ⩽n , u k =5k +2 k ». Démontrer par récurrence la formule annoncée. II. Optimisation.

Le bateau en A se dirige vers le point H à la vitesse de 4 km/h. Une fois sur la plage, la vitesse (à pied) est de 6km/h. Déterminer le point H pour que la durée de la course soit la plus courte. III. Suite homographique. On considère la suite récurrente définie par u 0 =5 et pour tout entier naturel n : u n+1 = a) Déterminer la nature de la suite (vn ) définie pour tout entier naturel n par : v n = b) En déduire une formule explicite de un en fonction de n . c) Déterminer la limite de la suite (u n ) .

4u n −1 . u n +2

1 . u n −1

IV. Probabilités. On lance simultanément dix pièces de monnaie. Le lancer est considéré comme gagnant si le nombre de « Pile » n'est pas compris entre 4 et 6 inclus. 1. On définit la variable aléatoire X donnant le nombre de « pile » obtenus sur 10 lancers. 10 k a) Montrer que P (X=k) = . 1024 21 b) En déduire que P (4⩽X⩽6)= . 32 c) Quelle est la probabilité que le lancer soit gagnant ?

( )

2. On joue six fois de suite à ce jeu. a) Quelle est la probabilité de gagner au moins une fois ? b) Combien de fois gagne-t-on en moyenne ?