Exo.1) Donner les conditions d`application de la loi Binomiale

January 13, 2018 | Author: Anonymous | Category: Mathématiques, Statistiques et probabilités
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Exo.1) Donner les conditions d’application de la loi Binomiale. Quelles sont les caractéristiques de la loi binomiale. Exo.2) On suppose que 10% des malades guérissent. On tire au hasard un échantillon composé de 6 personnes malades et soit X la variable aléatoire qui présente le nombre de malade qui vont guérir. 1-Calculer la probabilité pour : 1.1 Seulement une personne qui guérit, 1.2 entre trois et cinq personnes qui guérissent 1.3 Au moins une personne qui guérissent 2- La valeur espéré E(X) , La variance de X Var (X) et L’écart type (X) Exo.3) Le tableau suivant donne la répartition des personnes selon l’âge : Age

2

3

4

5

6

Effectif

10

45

25

15

5

3.1)- Calculer la moyenne et l’écart type de la série précédente 3.2)- On met les 100 personnes dans une chambre, puis on tire trois personnes successivement en remettant à chaque fois la personne tirée. Soit X la variable qui, à chaque tirage, associe l’âge de personne portant l’âge 4. Déterminer la loi de probabilité 3.3) calculer l’espérance de X ainsi que son écart-type. Exo.4) Quelle est la probabilité pour que dans une famille de 4 enfants il y ait, (a) au moins 1 garçons, (b) au moins un garçon et une fille. On supposera que la probabilité de naissance d’1 garçon est égale à celle d’avoir une fille. 4.2) Sur 2000 familles de 4 enfants chacune, combien peuvent être supposées comprendre (a) au moins un garçon, (b) 2 garçon, (c) 1 ou 2 filles, () pas de filles Exo.5) Forme de la loi Binomiale : Le nombre d’étudiants dans une université est 30000 étudiants. Le nombre d’étudiant en 1 année est 10000 étudiants. Le nombre d’étudiants en première et en deuxième année est 15000. Le nombre d’étudiants pour les trois premières années toutes spécialité confondue est 20000. On tire au hasard 5 étudiants ; 1- Donner le tableau de distribution des trois cas précédents 2- Tracer le diagramme de chaque distribution et donner E(X) et Var(X). Conclusion 3- Calculer le mode et la médiane 4- Donner la position de mode et médiane par rapport à E(X). G.S Exo.6) Nous avons la distribution suivante : A On s’intéresse à la modalité GS O. 1- Mettez le tableau précédent sous forme de schéma de Bernoulli. AB 2- On tire au hasard un échantillon de 10 individus. Soit X la variable B aléatoire qui donne le nombre d’individus de G.S O dans l’échantillon. O Donner la loi de probabilité suivie par X 3- Donner le tableau de distribution des probabilités 4- Calculer les probabilités suivantes : - Il y’a deux individus de G.S O – Il y’a entre 2 et 6 individus de G.S O –Il y’a moins 3 individus de G.S O – Il y’a au plus 8 individus de G.S O

ni 120 280 150 250

au

Exo.1) Donner la définition générale de la loi de Poisson. Quelles sont les caractéristiques de la loi de Poisson.

Exo.2 ) Pour la distribution de Poisson

P( k ;  ) 

k   e

 2.1) Calculer e pour   0,10 2.2) Calculer P(2 ;1) , P(3 ;0.5) , P(2 ;2) et P(2 ;5) 2.3) Pour P(3;2) calculer : P(0  k  2) , P(k  1) ,

k!

2.4) Pour P(3;2) calculer : P(0  k  2) , P(k  1) , 2.5) Donner une relation entre P(k ,  ) et P(k  1,  ) Exo.3) Le nombre annuel de pannes d’une machine suit une loi de Poisson de paramètre =3. Quelle est la probabilité pour que cette machine ait au moins 2 pannes dans l’année. Exo.4) Le nombre d’accident sur une période d’une semaine pour une entreprise est une variable aléatoire T qui suit une loi de Poisson de paramètre 2. 4.1) Donner la distribution de probabilité de la variable T . 4.2) Calculer l’espérance, la variance et l’écart type de T 4.3) Donner le tableau de la distribution pour k  [0, 9] et tracer le diagramme en bâton. 4.4) Calculer les probabilités des événements A, B, C, D, E, F et G tels que : A : au moins quatre accidents dans la semaine B : exactement trois accidents sachant qu’il y’en a eu au moins deux C:

T  2  3 ;

D=

T  5 sachant que T  4 ;

T  5  3 F= T  1  4 G= 1  T  5  3 E=

Exo.5) Une maladie a une prévalence de 0.0001. -Calculer l’epérance mathématique et la variance pour une ville contenant 20000 habitants - Quelle loi de probabilité suivie par cette variable - Calculer la probabilité de trouver dans une ville, de 20000 habitants, au moins 5 personnes malades - Calculer la probabilité de trouver entre 2 et 5 individus. Exo.6) La probabilité d’observer une mutation sur un individu est 0.0001. Combien d’individus faut-il s’attendre à examiner pour être sur d’observer au moins un mutant. Exo.7) Tracer sur le même diagramme la loi de Poisson pour les valeurs du paramètre =0.5, =2, =5, =10.

Exo.1) Lecture de table de la loi Normale centrée Réduite N(o,1) Calculer les probabilités suivantes : 1.1) P(u  0) , P(u  0.17) , P( U  1.96 ) , P(u  2.59) P(u  1.5) , 1.2) P( u

 1.96 ) , P( u  1.2 ) , P( u  7 ) , P( u  1.96 )

1.3) P( 0.5  u  1.96 ) , P( 0.84  u

 1.02 ) , P( 7  u  0.12 ) , P( 0.47  u  0.12 ) ,

P(0.12  u  0.08) , P(1  u  1) Exo.2) Calculer les réels > connaissant les probabilités suivantes : 2.1) P(u  x)  0.5 ; P( u  x )  0.6628 , P( u  x )  0.975 2.2)

P( u  x )  0.025 , P( u  x )  0.9901, P( u  x )  0.1736

Exo.3) La taille moyenne des 470 arbres d’une forêt suit une loi normale d’espérance 176 cm et de variance 49. 3.1) Donner la fonction de densité de probabilité f de la variable T qui donne la taille d’un arbre. 3.2) Quel changement de variable permet de revenir à la variable normale centrée réduite. 3.3) Calculer la probabilité qu’un arbre tiré au hasard ait une taille : 3.3.1) Inférieur à 164 cm ? à 204 cm ? Supérieure à 183 cm ? Supérieur à 162 cm 3.3.2) Comprise entre 169 et 183 cm ? Inférieure à 169 cm ou supérieur à 183 cm ? 3.3.3) Inférieure à 191 cm et supérieure à 165 cm ? Supérieure à 171 cm ou inférieur à 181 cm ?. Exo.4) Soit une variable X de la loi Normale N(6 ;2). 4.1) Calculer les probabilités suivantes : P( 4  X  8 ) , P( 2  X  10 ) , P( 0  X  12 ) , P( 2  4.2) Déterminer les réels a,b,c d, e, et f tels que

X  14 )

P( X  a ) =0.951, P( X  b ) =90% ; P( X  c ) =97.51% ; P( X  d ) =0.25 P( e  6  X  e  2 ) =0.9 . Exo.5) Dans une certaine population, la probabilité qu’une personne demande à être vacciné contre la grippe est p=0.4. On tire au hasard un échantillon de n individus de cette population et on note X la variable aléatoire comptant le nombre de personnes de l’échantillon demandant à être vacciné. 5.1) Quelle est la loi de la variable aléatoire X? 5.2) On suppose que n=10. Calculer la probabilité >. Calculer la probabilité >. 5.3) On considère le cas n=2000 5.3.1) Quelle approximation peut-on choisir pour la loi de la variable X ? 5.3.2) Calculer P(750
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