Experimentalphysik 2 - TUM

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Ferienkurs

Experimentalphysik 2 Sommer 2014 Vorlesung 3

Thema: Zeitlich ver¨anderliche Felder und elektromagnetische Schwingungen

Technische Universit¨at M¨unchen

1

Fakult¨at f¨ur Physik

Merlin Mitschek, Verena Walbrecht

Inhaltsverzeichnis 4

5

Zeitlich ver¨anderliche Felder

3

4.1

Faradaysches Induktionsgesetz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4.2

Lenzsche Regel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

4.3

Selbstinduktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4.4

Die Energie des magnetischen Feldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

4.5

Der Verschiebungsstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

4.6

Maxwellgleichungen und elektrodynamische Potentiale . . . . . . . . . . . . .

6

Elektromagnetische Schwingungen

8

5.1

Wechselstromkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

5.2

Komplexe Widerst¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

5.3

Schwingkreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

5.4

Hertzscher Dipol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

5.5

Abgestrahlte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Technische Universit¨at M¨unchen

2

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4

Zeitlich ver¨anderliche Felder

Bisher: zeitlich konstante elektrische und magnetische Felder. Alle Eigenschaften dieser station¨aren Felder lassen sich durch die folgenden Gleichungen herleiten: ~ · E~ = % ~ × E~ = 0 ∇ ∇  ~ ·B ~ ×B ~=0 ~ = µ0 · ~j ∇ ∇ (1) ~ ·φ E~ = −∇

4.1

~ ×A ~=∇ ~ B

Faradaysches Induktionsgesetz

Entlang eines Leiters in einem zeitlich ver¨anderlichen Magnetfeld entsteht eine elektrische Spannung: Induktionsspannung Uind = −

d d φm = − dt dt

Z

~ dA ~ B

(2)

Weiterhin kann die Spannung auch auf ein elektrisches Feld E~ zur¨uckgef¨uhrt werden: I Uint = E~ d~s Unter Verwendung des Stokesschen Satz ergibt sich: I Z Z d~ ~ ~ × E~
dA ~ B dA = E~ d~s = ∇ Uint = − dt

(3)

(4)

Da dies f¨ur beliebige Fl¨achen muss, folgt: ~ ~ × E~ = − d B ∇ dt

(5)

d.h., dass ein zeitlich ver¨anderliches magnetisches Feld ein elektrisches Wirbelfeld erzeugt.

4.2

Lenzsche Regel

Aus dem negativen Vorzeichen im Induktionsgesetz ergibt sich folgender Sachverhalt: ¨ ¨ • Anderung von Uint ist der Anderung von φm entgegengerichtet ~ ind • Die durch diese Spannung erzeugten Str¨ome erzeugen ein Magnetfeld B ~ int ist vom Vorzeichen von φ˙ abh¨angig: Zeigt in Richtung des urspr¨ungli• Richtung von B chen Magnetfeldes • Die bei der Bewegung eines Leiters im Magnetfeld induzierten Str¨ome sind immer so gerichtet, dass sie die Bewegung, durch die sie erzeugt werden versuchen zu hemmen Allgemein wird dies als Lenzsche Regel bezeichnet: Die durch Induktion entstehenden Str¨ome, Felder und Kr¨afte sind stets so gerichtet, dass sie ihrer Ursache entgegen wirken. Technische Universit¨at M¨unchen

3

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4.3

Selbstinduktion

¨ In einer stromdurchflossenen Spule wird bei einer zeitlichen Anderung des Stromes der magnetische Fluss durch die Spule ge¨andert. Nach dem Induktionsgesetz entsteht deshalb in der Spule eine Induktionsspannung. Das magnetische Feld einer Spule mit N Windungen, der L¨ange l und dem Radius r ist: N B = µ0 · · I (6) l Der magnetische Fluss ist somit: Z 2 2 ~ dA ~ = N · B · πr2 = µ0 · π · r · N ·I = L · I φm = B (7) l | {z } =L

L ist die Induktivit¨at mit der Einheit [L] = 1 V s A−1 = 1 H. F¨ur die Induktionsspannung ergibt sich: Uind = −

dφm dI = −L · dt dt

(8)

Stromkreis mit Induktivit¨at: Betrachte: Stromkreis mit einer Spule und einem Widerstand in Reihe geschalten. Es liegt eine konstante Spannung U0 an, die durch schließen eines Schalters angelegt werden kann. Wird der Schalter zur Zeit t = 0 geschlossen so ergibt sich nach der Kirchhoffschen Regel: U0 = I · R − Uint = I · R + L ·

dI dt

(9)

L¨osung der Differentialgleichung: R 1 dt = dI L I − UR  U/R − I  R − t = ln L U/R  R U 1 − e− L ·t I(t) = R −

(10)

Der Strom steigt beim Einschalten nicht pl¨otzlich an, sondern meiner Zeitverz¨ogerung, die von der Induktivit¨at der Spule abh¨angt. Beim springt der Strom von UR auf I = 0 Abschalten dI ⇒ ist groß ⇒ hohe Induktionsspannung ⇒ Spannungsstoß dt

4.4

Die Energie des magnetischen Feldes

Die Energie des magnetischen Feldes ist: dWmag = Uind · I · dt = L · I · Technische Universit¨at M¨unchen

4

dI dt = L · I · dI dt

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Somit ergibt sich: Wmag =

1 2 LI 2

(12)

F¨ur eine Spule ergibt sich dann mit (6) und einem Volumen von V = πr2 l: Wmag =

B2 µo N 2 πr2 B2 l2 = ·V 2µ0 2lµ20 N 2

(13)

Wmag 1 = BH V 2

(14)

Die Feldenergiedichte ist dann: wmag =

4.5

Der Verschiebungsstrom

In vielen F¨allen ist die bisherige Formulierung des Ampereschen Gesetzes I Z ~ d~s = µ0 I = µ0 ~j dA ~ B

(15)

F

nicht eindeutig. Um die differentielle Form

~ ×B ~ = µ0 ~j ∇

(16)

zu erhalten, muss (15) f¨ur beliebige Wege um den Strom f¨uhrenden Leiter gelten, sowie f¨ur beliebige Fl¨achen A, die von diesem Weg umrandet werden. Betrachte: Stromkreis mit einem Kondensator so sind zwei Integrationswege m¨oglich 1. kreisf¨ormige Kurve s1 um den Leiter 2. kreisf¨ormige Kurve s2 zwischen den Kondensatorplatten Im ersten Fall ergibt sich f¨ur (15): I

~ d~s1 = µ0 I B

(17)

~ d~s2 = 0 B

(18)

Im zweiten Fall erh¨alt man hingegen: I

Um diesen Widerspruch aufzul¨osen wird der Verschiedungsstrom eingef¨uhrt. Wenn in einem Leitungen ein Strom I fließt, a¨ ndert sich die Ladung Q auf den Kondensatorplatten. Diese La¨ dungs¨anderung f¨uhrt zu einer Anderung des elektrischen Feldes zwischen den Platten. Dadurch kann man zwischen den Platten einen Verschiebungsstrom definieren: IV =

~ dQ d ~ E) ~ = 0 A ~ · ∂E = (0 A dt dt ∂t

(19)

Die Verschiebungsstromdichte ist dann: ~ ~jV = 0 · ∂E ∂t Technische Universit¨at M¨unchen

5

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Damit ergibt sich dann der Verallgemeinerte Strom: I0 = I + IV

(21)

¨ Durch die Einf¨uhrung des Verschiebungsstroms gilt nun uberall Hieraus ergibt sich:

H

~ d~s = µ0 I0 . B

~ ~ ×B ~ = µ0 ~j + µ0 0 · ∂E ~ d~s = µ0 I + µ0 0 · ∂φel und ∇ B ∂t ∂t

I

(22)

Es gilt die Relation: µ0 0 =

1 c2

(23)

Anmerkung: Durch Einf¨uhrung des Veschiebungsstroms folgt die Kontinuit¨atsgleichung aus den Maxwellgleichungen:    ~ ~× ∇ ~ ×B ~ · ~j + 0 ∇ ~ · ∂E = µ0 ∇ · ~j + ∂% = 0 ~
= µ0 ∇ ∇ ∂t ∂t

4.6

(24)

Maxwellgleichungen und elektrodynamische Potentiale

Die Maxwellgleichungen im Vakuum sind: ~ × E~ = − ∂B ∇ ∂t

~ × E~ = % ∇ 0

~ ×B ~ = µ0 ~j + 1 ∂E ∇ c2 ∂t

~ ·B ~=0 ∇

(25)

Und in Materie: ~ × E~ = − ∂B ∇ ∂t ~ ×H ~ = ~j + ∂D ∇ ∂t

~ ·D ~ =% ∇ ~ ·B ~=0 ∇

(26)

Das elektrostatische Potential: ~ × E , 0 kann E~ nicht mehr als ∇φ ~ el geschrieben werden. Aber: Wegen ∇   ~ ~ × E~ + ∂ B = ∇ ~ E~ + ∂A = 0 ∇ ∂t ∂t

(27)

Deshalb:

~ · φel = E~ + ∂A ⇒ E~ = −∇ ~ · φel − ∂A −∇ ∂t ∂t Eichfreiheit: Lorentz-Eichung ~ ·A ~ = − 1 · ∂φel ∇ c2 ∂t Mit dieser Eichung folgt dann:   2 ~ × E~ = ∇ ~ · −∇ ~ · φel − ∂A = % ⇒ ∆φel − 1 ∂ φel = % ∇ 2 ∂t 0 0 c ∂t2 Technische Universit¨at M¨unchen

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(28)

(29)

(30)

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Das Vektorpotential: ~ ergibt sich: F¨ur das Vektorpotential A ~× ∇ ~ × A) ~· ∇ ~ ·A ~ el − ∆A ~ = µ0 ~j + 1 ∂E = ∇ ~
− ∆ A ~ = − 1 ∂ ∇φ ~ ∇ 2 c ∂t c2 ∂t ~ el : ~ = E~ + ∇φ Mit − ∂t∂ A ~− ∆A

~ 1 ∂2 A = −µ0 ~j 2 2 c ∂t

(31)

(32)

Zusammen: ∆φel −

% 1 ∂2 φel = 0 c2 ∂t2

und

~− ∆A

~ 1 ∂2 A = −µ0 ~j c2 ∂t2

(33)

Integralform der Maxwellgleichungen:

Q=

Ladung:

Z

% dV

ZV

~j dA ~ I= ZA ~ dA ~ φel = D A Z ~ dA ~ φm = B

Strom: elektrischer Fluss: magnetischer Fluss:

(34)

A

I

dφm E~ d~s = − dt I dφ ~ d~s = I + el H dt ~ dA ~=Q D ~ dA ~=0 B

Induktionsgesetz: Ampere-Maxwell-Gesetz: Coulomb-Gauss-Gesetz: Quellfreiheit des B-Feldes:

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5 5.1

Elektromagnetische Schwingungen Wechselstromkreise

Effektivwerte:

s U0 cos ωt s

Die anliegende Wechselspannung ist: U(t) = U0 cos ωt Somit ergibt sich f¨ur den Strom mit I = I(t) =

(35)

U I :

U0 cos ωt = I0 cos ωt R

(36)

F¨ur die mittlere Leistung folgt deshalb: Z Z Z U2 T U2 1 T 1 T P¯ = P(t) dt = U(t) · I(t) dt = 0 cos2 ωt dt = 0 T 0 T 0 RT 0 2R

(37)

Verglichen mit der Leistung in einem Gleichspannungsstromkreis ergeben sich effektive Werte f¨ur die Spannung und den Strom: U0 Ue f f = √ 2

5.2

und

I0 Ie f f = √ 2

(38)

Komplexe Widerst¨ande

Wechselstromkreis mit Induktivit¨at:

s U0 cos ωt s

UL

L

Die von außen angelegte Eingangspannung U0 muss im geschlossenen Stromkreis der entgegengesetzten induzierten Spannung Uint entsprechen: U0 cos ωt = L · Technische Universit¨at M¨unchen

8

dI dt

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F¨ur den Strom ergibt sich deshalb: I=

U0 L

Z

cos ωt dt =

U0 sin ωt ωL |{z}

(40)

=I0

Spannung und Strom sind nicht mehr in Phase. Der Wechselstrom wird durch die Spule um 90◦ gegen¨uber der Wechselspannung verz¨ogert:

U(t)

1

I(t)

-π

π

2π

-1

Der induktive Widerstand ist wie folgt definiert: |RL | =

U0 =ω·L I

(41)

Strom und Spannung k¨onnen auch in komplexer Schreibweise geschrieben werden: U = U0 eiωt und I = I0 ei(ωt−ϕ

(42)

Somit l¨asst sich ein komplexer Widerstand definieren: Z=

U U0 iϕ = e = R + iX I I0

(43)

R ist der Ohmsche Widerstand und X der Blindwiderstand. F¨ur die Spule ergibt sich demnach: π

ZS p = ωLei 2 = iωL

(44)

Wechselstromkreis mit Kapazit¨at:

s U0 cos ωt s

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UC

9

C

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Die Eingangspannung ist: U(t) = U0 cos ωt

(45)

Somit ergibt sich f¨ur den Strom: I=


dQ d = C · U(t) − ω · C · U0 sin ωt dt dt

(46)

Der Strom eilt also der Spannung um 90◦ voraus. F¨ur den komplexen Widerstand ergibt sich: π

ZC = e−i 2

1 U0 = I0 iωC

(47)

Zeigerdiagramm: Die komplexen Widerst¨ande k¨onnen in einem Zeigerdiagramm veranschaulicht werden: Im(Z)

X ϕ

Re(Z)

R

F¨ur die verschiedenen komplexen Widerst¨ande gilt: R

iωL 1 iωC

Sind nun z.B. eine Spule, ein Kondensator und ein Widerstand in Reihe geschalten, so addieren sich die einzelnen komplexen Widerst¨ande zu einem gesamten komplexen Widerstand:  1  Zges = R + i · ωL − (48) ωC Der Gesamtwiderstand entspricht einem Vektor in der komplexen Zahlenebene mit einem Betrag von: s  1 2 (49) |Zges | = R2 + ωL − ωC

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5.3

Schwingkreise UC

C

s UL

s

L

R Nach der Kirchhoffschen Regel gilt:UR UC + U R + U L = 0 d Q dI  ⇒ + RI + L =0 dt C dt dI d2 I I +R +L 2 =0 C dt dt

(50) (51)

Die Differentialgleichung ist die einer ged¨ampften Schwingung. Der L¨osungsansatz hierf¨ur lautet: 1 R (52) I = Aeλt ⇒ λ2 + λ + L LC Die L¨osung dieser Gleichung ist: r q R 1 R2 λ1,2 = − ± − = −γ ± γ2 − ω20 (53) 2L 4L2 LC R und ω20 . mit γ = 2L Es ergeben sich drei F¨alle:

1. schwache D¨ampfung: γ < ω0 Mit ω2 = ω20 − γ2 :

λ1,2 = −γ ± iω

(54)

Der allgemeine L¨osungsansatz I(t) = I0 exp(−γt) · c1 exp(iωt) + c2 exp(−iωt) f¨uhrt mit ˙ = 0 auf folgende L¨osung: den Randbedingungen I(0) = I0 und I(0)


I(t) = I0 e−γt cos(ωt + φ0 )

(55)

2. starke D¨aqmpfung: γ > ω0 Mit α = γ2 − ω20 ⇒ λ1,2 = −γ + α ergibt sich f¨ur den Strom:   I(t) = I0 e−γt c1 eαt + c2 e−αt

(56)

3. aperiodischer Grenzfall: γ = ω0 Nur eine L¨osung f¨ur λ ⇒ λ = −γ. F¨ur den Strom ergibt sich dem zufolge: I(t) = (c1 + c2 t) · e−γt

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(57)

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Erzwungene Schwingungen: Bei anlegen einer a¨ ußeren Wechselspannung schwingt der Kreis mit der station¨aren Schwingungsamplitude U0 . Der komplexe Widerstand ist wider die Summe der einzelnen komplexen Widerst¨ande. Die am Widerstand R verbrauchte Wirkleistung ist: P=

U02 cos2 ωt · R U2 · R = Z2 Z2

⇒

1 P¯ = · 2

1 ωC

U02 R2
+ ωL 2 + R2

(58)

Der Leistungsverlust wird also maximal, wenn ω = ω0 .

5.4

Hertzscher Dipol

Der geschlossene Schwingkreis, bei dem der Kondensator und die Spule noch r¨aumlich getrennt sind, kann kontinuierlich in einen offenen Schwingkreis u¨ berf¨uhrt werden. Die Induktivit¨at der Spule geht u¨ ber in die Induktivit¨at der Leiterschleife. Die Kapazit¨at wird beim aufbiegen immer kleiner und geht in die des geraden Leiters mit Endplatten u¨ ber. Diese kann man noch weglassen und erh¨alt einen geraden Draht: Dies kann als offener Schwingkreis angesehen werden. Unterschied: • Ladungen schwingen periodisch zwischen den Enden des Drahtes • Das magnetische und elektrische Feld reicht weit in den Raum hinaus ¨ • Bei zeitlicher Anderung von Strom und Ladungsdichte a¨ ndern sich die magnetischen und elektrischen Felder ¨ • Diese Anderung breitet sich in Lichtgeschwindigkeit aus und f¨uhrt zu einer Energieabstrahlung in Form von elektromagnetischen Wellen Fließt jetzt in einem Stab der L¨ange l ein Wechselstrom I(z, t, ) = I0 (z) sin ωt so erzwingt die Randbedingung I(z = ±l/2) = 0 eine stehende Welle mit Knoten an den Enden. Die m¨oglichen Wellenl¨angen sind 2l λ= (59) n Somit erh¨alt man f¨ur die niedrigste Resonanzfrequenz eines Stabes: ω = 2π f = mit v ph =

2πv ph π = v ph λ l

(60)

√c µ

Herzschen Dipol: Der Herzsche Dipol wird als zeitlich variables Dipolmoment angesehen. Er erzeugt zeitlich ~ und E~ Felder, die in den Raum eindringen. ver¨anderliche BDas magnetische Feld ist: ~ r, t) = B(~

 d~p   1 r r d2 ~p  r ~ ~ t − × r + t − × r c dt2 {z c } 4π0 c2 r3 |dt {zc } | Nahfeld

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(61)

Fernfeld

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In großer Entfernung vom Dipol steht das Magnetfeld senkrecht zur Dipolachse ~p und senkrecht auf der Ausbreitungsrichtung r der vom Dipol ausgesandten Welle. Hieraus kann mit Hilfe der Maxwellgleichungen das Elektrische Fernfeld hergeleitet. Dieses ist: ~ r, t) = E(~

 d2 ~p  r  1 t − × ~r × r c 4π0 c2 r3 dt2

(62)

F¨ur die Betr¨age des elektrischen und magnetischen Fernfeldes ergibt sich: p ω2 sin θ sin(ωt − kr) E~ F (r, t, θ) = 0 2 r 4π0 c

5.5

und

2 ~ F (r, t, θ) = p0 ω sin θ sin(ωt − kr) B r 4π0 c3

(63)

Abgestrahlte Leistung

Die Ausbreitung und die Energiedichte der elektromagnetischen Strahlung wird mit dem PoyntingVektor beschrieben: ~ ~ = 1 E~ × B S~ = E~ × H (64) µ0 ~ · | B| ~ kann der Betrag des Unter Verwendung der Energiedichte wem = wel + wmag = µ10 c |E| Poynting-Vektors (Energieflussdichte) geschrieben werden als : 1 ~ S~ = E~ · B = c · wem µ0

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(65)

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